1、North China Electric Power UniversityDepartment of Electrical Engineering沈阳沈阳2012.10 第二章第二章 电力系统状态估计电力系统状态估计一概述一概述 二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 三三最小二乘估计最小二乘估计 四四静态最小二乘估计的改进静态最小二乘估计的改进 五五支路潮流状态估计法支路潮流状态估计法 六六电力系统的递推状态估计电力系统的递推状态估计 七七不良数据的检测与辨识不良数据的检测与辨识 八八.电力系统网络拓扑分析及网络结构辨识的基本概念电力系统网络拓扑分析及网
2、络结构辨识的基本概念 一一 状态估计的概念状态估计的概念 如果已知目标状态如果已知目标状态 的运动规律，则可的运动规律，则可根据运动方程从状态初值推算出任一时刻根据运动方程从状态初值推算出任一时刻的状态。这种方法是确定性的，没有估计的状态。这种方法是确定性的，没有估计问题。问题。如果计及随机因素的影响，则这种运动如果计及随机因素的影响，则这种运动方程是无法精确求解的。即使采取近似处方程是无法精确求解的。即使采取近似处理，其计算结果也会出现某种程度的偏差理，其计算结果也会出现某种程度的偏差而得不到实际状态（或称为状态真值）。而得不到实际状态（或称为状态真值）。一概述一概述x 这种环境称为噪声环境
3、，这些介入的和这种环境称为噪声环境，这些介入的和不可预测的随机因素或干扰称为动态噪声。不可预测的随机因素或干扰称为动态噪声。干扰或噪声具有随机性，因而，状态计算干扰或噪声具有随机性，因而，状态计算值的偏差也具有随机特性。值的偏差也具有随机特性。一概述一概述 在实际应用中经常遇到的另一种情况是在实际应用中经常遇到的另一种情况是对运动目标的参数进行观测以确定其状对运动目标的参数进行观测以确定其状态。假若测量系统是理想的，则所得到态。假若测量系统是理想的，则所得到的测量量向量是理想的，即可以用来确的测量量向量是理想的，即可以用来确定状态的真值。但是实际的测量系统是定状态的真值。但是实际的测量系统是有
4、随机误差的，测量向量不能直接通过有随机误差的，测量向量不能直接通过理想的测量方程，直接求出状态真值。理想的测量方程，直接求出状态真值。一概述一概述 可见，由于随机噪声及随机测量误差的可见，由于随机噪声及随机测量误差的介入，无论是理想的运动方程或测量方介入，无论是理想的运动方程或测量方程均不能求出精确的状态向量。只有通程均不能求出精确的状态向量。只有通过统计学的方法加以处理以求出对状态过统计学的方法加以处理以求出对状态向量的估计值。这种方法，称为向量的估计值。这种方法，称为状态估状态估计计。一概述一概述 状态估计分为动态估计和静态估计两状态估计分为动态估计和静态估计两种。根据运动方程以某一时刻的
5、测量数种。根据运动方程以某一时刻的测量数据作为初值进行下一个时刻状态量的估据作为初值进行下一个时刻状态量的估计，叫做计，叫做动态估计动态估计；仅仅根据某时刻测；仅仅根据某时刻测量数据，确定该时刻的状态量的估计，量数据，确定该时刻的状态量的估计，叫做叫做静态估计静态估计。一概述一概述 二二 电力系统状态估计的意义电力系统状态估计的意义 电力系统的信息需通过远动装置传送到电力系统的信息需通过远动装置传送到调度中心，由于远动装置及传送过程各个调度中心，由于远动装置及传送过程各个环节造成的误差，使这些数据存在不同程环节造成的误差，使这些数据存在不同程度的误差和不可靠性。此外，由于测量装度的误差和不可靠
6、性。此外，由于测量装置在数量上或种类上的限制，往往不能得置在数量上或种类上的限制，往往不能得到电力系统分析所需的完整、足够的数据。到电力系统分析所需的完整、足够的数据。为解决上述问题，除了不断改善测量与传为解决上述问题，除了不断改善测量与传输系统外，还可采用数学处理的方法来提输系统外，还可采用数学处理的方法来提高测量数据的可靠性与完整性。电力系统高测量数据的可靠性与完整性。电力系统状态估计就是为适应这一需要而提出的。状态估计就是为适应这一需要而提出的。一概述一概述 从了解电力系统运行情况的要求来看，从了解电力系统运行情况的要求来看，希望有足够多的测量信息送到调度中心，希望有足够多的测量信息送到
7、调度中心，但从经济性与可能性来看，只能要求将某但从经济性与可能性来看，只能要求将某些必不可少的信息送到调度中心，通常称些必不可少的信息送到调度中心，通常称能足够表征电力系统特征所需最小数目的能足够表征电力系统特征所需最小数目的变量为电力系统的变量为电力系统的状态变量状态变量。电力系统状。电力系统状态估计就是在测量量有误差的情况下，通态估计就是在测量量有误差的情况下，通过计算得到可靠的并且为数最少的状态变过计算得到可靠的并且为数最少的状态变量值。量值。一概述一概述 为了满足状态估计的上述需要，对电力为了满足状态估计的上述需要，对电力系统的测量量在数量上要有一定的裕度。系统的测量量在数量上要有一定
8、的裕度。通常将全系统中独立测量量的数目与状态通常将全系统中独立测量量的数目与状态量数目之比，称为量数目之比，称为冗余度冗余度。只有具有足够。只有具有足够冗余度的测量条件，才能通过电力系统调冗余度的测量条件，才能通过电力系统调度中心的计算机以状态估计算法提高实时度中心的计算机以状态估计算法提高实时信息的可靠性与完整性，建立实时数据库。信息的可靠性与完整性，建立实时数据库。一概述一概述 由于电力系统远动装置的工作情况经常由于电力系统远动装置的工作情况经常变化，当远动信息量严重不足时，状态估变化，当远动信息量严重不足时，状态估计无法工作。因此，在状态估计之前应先计无法工作。因此，在状态估计之前应先进
9、行进行可观察性检验可观察性检验。如果系统中某些部分。如果系统中某些部分被判定是不可观察的，无法通过状态估计被判定是不可观察的，无法通过状态估计建立实时数据库，则应把它从状态估计的建立实时数据库，则应把它从状态估计的计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。一概述一概述 协同状态估计工作的是协同状态估计工作的是不良数据的检测不良数据的检测与辨识与辨识，如果有误差很大的，一般没有随，如果有误差很大的，一般没有随机性的数据（也称不良数据），就应该将机性的数据（也称不良数据），就应该将它剔除，并重
10、新进行状态估计，最终建立它剔除，并重新进行状态估计，最终建立起完整的电力系统模型。起完整的电力系统模型。由于状态估计必须在几分钟内完成，因由于状态估计必须在几分钟内完成，因此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。一概述一概述一概述一概述网络结构处理不良数据检测与辨识可观察性检验状态估计器负荷预计实时数据库有无图图2-12-1电力系统状态估计的功能流程框图电力系统状态估计的功能流程框图 电力系统的测量向量电力系统的
11、测量向量 包括支路功率、包括支路功率、节点注入功率、节点电压模值等测量量，节点注入功率、节点电压模值等测量量，待求的系统状态量待求的系统状态量 是各节点的电压模是各节点的电压模值与电压相角。通过网络方程从估计出值与电压相角。通过网络方程从估计出的状态量的状态量 求出支路功率、节点注入功求出支路功率、节点注入功率等的估计计算值率等的估计计算值 。如果测量有误差，。如果测量有误差，则计算值则计算值 与实际值与实际值 之间有误差之间有误差 ，称为称为残差向量残差向量。一概述一概述zx x z zzzz zh x 假定状态量有假定状态量有 个，测量量有个，测量量有 个。各个。各测量量列出的计算方程式有
12、测量量列出的计算方程式有 个，当存个，当存在测量误差时，通过状态估计由测量量在测量误差时，通过状态估计由测量量求出的状态量不可能使残差向量为零。求出的状态量不可能使残差向量为零。但可以得到一个使残差平方和为最小的但可以得到一个使残差平方和为最小的状态估计值状态估计值 。一概述一概述 xnmm 19701970年年F.C.SchweppeF.C.Schweppe等人首先提出用最等人首先提出用最小二乘估计法进行电力系统状态估计。小二乘估计法进行电力系统状态估计。与之同时，与之同时，J.F.DopozoJ.F.Dopozo等人也提出使用等人也提出使用支路潮流测量值的最小二乘法。随后支路潮流测量值的最
13、小二乘法。随后R.E.LorsonR.E.Lorson、A.S.DebsA.S.Debs等人提出了应用等人提出了应用卡尔曼滤波的递推状态估计算法。至卡尔曼滤波的递推状态估计算法。至2020世纪世纪7070年代末期年代末期,状态估计在电力系统的状态估计在电力系统的应用的效果已被肯定应用的效果已被肯定,并在数十个电力系并在数十个电力系统中得到成功的应用。统中得到成功的应用。一概述一概述 三三 状态估计与常规潮流计算的比较状态估计与常规潮流计算的比较图图2-2 2-2 状态估计与潮流计算的比较框图状态估计与潮流计算的比较框图(a)(a)潮流计算；潮流计算；(b)(b)状态估计状态估计一概述一概述 潮
14、流计算方程式的数目等于未知数的数潮流计算方程式的数目等于未知数的数目。而状态估计的测量向量的维数一般目。而状态估计的测量向量的维数一般大于未知状态向量的维数，即方程数的大于未知状态向量的维数，即方程数的个数多于未知数的个数。其中，测量向个数多于未知数的个数。其中，测量向量可以是节点电压、节点注入功率、线量可以是节点电压、节点注入功率、线路潮流等测量量的任意组合。此外，两路潮流等测量量的任意组合。此外，两者求解的数学方法也不同。潮流计算一者求解的数学方法也不同。潮流计算一般用牛顿般用牛顿-拉夫逊法求解拉夫逊法求解 个非线性方程个非线性方程组。而状态估计则是根据一定的估计准组。而状态估计则是根据一
15、定的估计准则，按估计理论的方法求解方程组。则，按估计理论的方法求解方程组。一概述一概述2n 本章主要介绍：状态估计的基本概念，本章主要介绍：状态估计的基本概念，电力系统状态估计的理论与计算方法，电力系统状态估计的理论与计算方法，不良数据的检测与辨识的理论与计算方不良数据的检测与辨识的理论与计算方法，以及电力系统网络拓扑分析和网络法，以及电力系统网络拓扑分析和网络结构辨识的基本概念。结构辨识的基本概念。一概述一概述一一 电力系统测量系统的数学描述电力系统测量系统的数学描述 电力系统的运行状态可以用节点电压电力系统的运行状态可以用节点电压模值、电压相角、线路有功与无功潮流、模值、电压相角、线路有功
16、与无功潮流、节点有功与无功注入量等物理量来表示。节点有功与无功注入量等物理量来表示。状态估计的目的就是应用经测量得到的状态估计的目的就是应用经测量得到的上述物理量通过估计计算求出能表征系上述物理量通过估计计算求出能表征系统运行状态的状态变量。统运行状态的状态变量。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 电力系统静态运行的状态变量，通常电力系统静态运行的状态变量，通常取节点电压模值与电压相角。当有一个取节点电压模值与电压相角。当有一个平衡节点时，平衡节点时，个节点的电力系统状态个节点的电力系统状态变量维数为变量维数为 。如果系统结构与。如果系统结构与参数都已
17、知，根据状态变量就不难求出参数都已知，根据状态变量就不难求出各支路的有功潮流、无功潮流及所有节各支路的有功潮流、无功潮流及所有节点的注入功率。点的注入功率。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性N21nN 状态变量需借助测量方程式，即联系状态变量需借助测量方程式，即联系状态向量与测量量向量之间的函数关系状态向量与测量量向量之间的函数关系间接求得。在考虑有测量噪声时，它们间接求得。在考虑有测量噪声时，它们之间的关系为之间的关系为 (2-1)(2-1)式中：式中：为为 维的测量量向量；维的测量量向量；为测为测量函数向量量函数向量 (2-2)(2-2)为测量噪声
18、向量，其表达式为为测量噪声向量，其表达式为 (2-3)(2-3)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 zh xzm h x 12,Tmhhh hxxxx12,Tm 状态变量与支路潮流的非线性函数表达状态变量与支路潮流的非线性函数表达式，称为式，称为节点电压测量方程式节点电压测量方程式；节点注入；节点注入功率与支路潮流的非线性函数表达式，称功率与支路潮流的非线性函数表达式，称为为注入功率测量方程式注入功率测量方程式。表。表2-12-1列出五种列出五种基本测量方式。第一种测量其维数为基本测量方式。第一种测量其维数为 ，显然没有冗余度，这在状态估计是不实际显然
19、没有冗余度，这在状态估计是不实际的。第五种测量方式具有最高的维数和冗的。第五种测量方式具有最高的维数和冗余度，但所需投资太高，也是不现实的。余度，但所需投资太高，也是不现实的。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性12N表表2-1 五种基本测量方式五种基本测量方式 测量方式的分量方程式 的维数（1）平衡节点除平衡节点外所有节点的注入功率 、式(2-4)、(2-5)、(2-9)（2）（1）加上所有节点的电压模值 式(2-4)、(2-5)、(2-9)（3）支路两侧的有功、无功潮流 式(
20、2-6)、(2-7)（4）（3）加上所有节点的电压模值式(2-6)、(2-7)、(2-9)（5）完全的测量系统式(2-4)(2-7)、(2-9)z h xziPiQiuikikkikiPQPQ、21N 32N 4M4MN43MN二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 相应的方程式为相应的方程式为 (2-4)(2-4)(2-5)(2-5)(2-6)(2-6)(2-7)(2-7)(2-8)(2-8)(2-9)(2-9)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性11NNiikikkikikikkikkkPee Gf Bff Ge
21、 B11NNiikikkikikikkikkkQfe Gf Bef Ge BikiikiikikiikiikikPe e ef ffge fff e eb222ikikiikiikikiikiikikiiYQe e ef ffbe fff e egefarctaniiif e222iiiuef图图2-3 2-3 形线路元件模型形线路元件模型二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性,ikikPQ2ikYik,ikikrx,kikiPQjiiiiuefjkkkkuef2ikY 用测量量来估计系统的状态存在若干用测量量来估计系统的状态存在若干不准确的因素，概括起来
22、有以下几点。不准确的因素，概括起来有以下几点。（1 1）数学模型不完善。测量数学模型）数学模型不完善。测量数学模型通常有工程性的近似处理。此外，还存通常有工程性的近似处理。此外，还存在模型采用参数不精确的问题，另外，在模型采用参数不精确的问题，另外，网络结构变化时，结构模型不能及时更网络结构变化时，结构模型不能及时更新。上述问题属于参数不精确的，通常新。上述问题属于参数不精确的，通常用参数估计方法解决；属于网络结构错用参数估计方法解决；属于网络结构错误的，则采用网络接线错误的检测与辨误的，则采用网络接线错误的检测与辨识来解决。识来解决。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的
23、数学描述与可观察性 （2 2）测量系统的系统误差。这是由于仪）测量系统的系统误差。这是由于仪表不精确，通道不完善所引起的。它的表不精确，通道不完善所引起的。它的特点是误差恒为正或负而没有随机性。特点是误差恒为正或负而没有随机性。一般这类数据属于不良数据。清除这类一般这类数据属于不良数据。清除这类误差的方法，主要是依靠提高测量系统误差的方法，主要是依靠提高测量系统的精确性与可靠性，也可以用软件方法的精确性与可靠性，也可以用软件方法来检测与辨识出不良数据，并通过增加来检测与辨识出不良数据，并通过增加测量系统的冗余度来补救，但这仅是一测量系统的冗余度来补救，但这仅是一种辅助手段。种辅助手段。二电力系
24、统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 （3 3）随机误差。这是测量系统中不可避）随机误差。这是测量系统中不可避免会出现的。其特点是小误差比大误差免会出现的。其特点是小误差比大误差出现的概率大，正负误差出现的概率相出现的概率大，正负误差出现的概率相等，即概率密度曲线对称于零值或误差等，即概率密度曲线对称于零值或误差的数学期望为零。状态估计式的数学期望为零。状态估计式(2-1)(2-1)和式和式(2-3)(2-3)中的误差向量中的误差向量 就是这种误差。就是这种误差。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 测量的随机误差或嗓声向
25、量测量的随机误差或嗓声向量 是均值为是均值为零的高斯白噪声，其概率密度为零的高斯白噪声，其概率密度为 式中：式中：是误差是误差 的标准差；方差的标准差；方差 越大表越大表示误差大的概率增大。示误差大的概率增大。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性22222iiiipei2i 对对 进行多次测量后就可以用协方差进行多次测量后就可以用协方差 表示不同时刻测量数据误差之间均值的相表示不同时刻测量数据误差之间均值的相关程度关程度 (2-10)(2-10)若若 时，时，；时，时，这表示不同，这表示不同时间的测量之间是不相关的。时间的测量之间是不相关的。一般情况下，
26、不同测量的误差之间是不一般情况下，不同测量的误差之间是不相关的。相关的。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性iziRiikikmRttmt 0m 0iR 0m iiiRr 由于误差的概率密度或协方差很难由测量由于误差的概率密度或协方差很难由测量或计算确定，因此在实际应用中常用测量或计算确定，因此在实际应用中常用测量设备的误差来代替。测量误差的方差为设备的误差来代替。测量误差的方差为 (2-11)(2-11)式中：为仪表测量误差，一般取式中：为仪表测量误差，一般取0.01 0.02；为远动和模数转换的误差，一般取；为远动和模数转换的误差，一般取0.0025
27、 0.005；为满刻度时的仪表误差；为满刻度时的仪表误差；为规格化因子。为规格化因子。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性221211iiiiKrczcF1c2cFK 每个测量量的方差为每个测量量的方差为 。测量误差。测量误差的方差阵，可以写成每个测量误差方差的的方差阵，可以写成每个测量误差方差的对角阵为对角阵为 (2-12)(2-12)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性2iiiiRr21222mR 二二 电力系统的可观察性电力系统的可观察性 电力系统状态能够被表征的必要条件是电力系统状态能够被表征的必要条件是它
28、的可观察性。如果对系统进行有限次它的可观察性。如果对系统进行有限次独立的观察（测量），由这些观察向量独立的观察（测量），由这些观察向量所确定的状态是唯一的，就称该系统是所确定的状态是唯一的，就称该系统是可观察的。卡尔曼最初提出可观察的概可观察的。卡尔曼最初提出可观察的概念只是在线性系统范围内，在电力系统念只是在线性系统范围内，在电力系统的问题中可以由式的问题中可以由式(2-1)(2-1)的雅可比矩阵的雅可比矩阵 来确定来确定 (2-13)(2-13)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性H 0()x xxhH xx 只要只要 阶测量矩阵阶测量矩阵 的秩为的
29、秩为 ，则系，则系统是可观察的，这表示通过测量量可以统是可观察的，这表示通过测量量可以唯一地确定系统的状态量，或者说，测唯一地确定系统的状态量，或者说，测量点的数量及其分布可以保证系统是可量点的数量及其分布可以保证系统是可观察的。在非线性系统中，可观察性问观察的。在非线性系统中，可观察性问题虽复杂得多，但可观察的一个必要但题虽复杂得多，但可观察的一个必要但非充分条件仍是雅可比矩阵非充分条件仍是雅可比矩阵 的秩等的秩等于于 ，每一时刻的测量量维数至少应与，每一时刻的测量量维数至少应与状态量的维数相等。状态量的维数相等。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性H
30、m nnHn 电力系统测量需要有较大的冗余度。有电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗余度的目的是提高测量系统的可靠性冗余度的目的是提高测量系统的可靠性和提高状态估计的精确度。保证可观察和提高状态估计的精确度。保证可观察性是测量点布置的最低要求。性是测量点布置的最低要求。前面说过，电力系统出现异常大误差的前面说过，电力系统出现异常大误差的数据，称为不良数据。查找出不良数据，数据，称为不良数据。查找出不良数据，并将其剔除是建立实时数据库的基本要并将其剔除是建立实时数据库的基本要求。测量具有冗余度则是实现这一工作求。测量具有冗余度则是实现这一工作的基本条件。的基本条件。二电力系统运行状态的数学描述与
31、可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 一一 基本原理基本原理 静态估计是用一定的统计学准则通过静态估计是用一定的统计学准则通过测量向量测量向量 求出状态向量求出状态向量 ，并使之尽，并使之尽量接近其真值量接近其真值 。是一个估计值，估计是一个估计值，估计值与真值之间的误差称为估计误差值与真值之间的误差称为估计误差 (2-14)(2-14)估计误差值估计误差值 是是 维向量。判断估计方维向量。判断估计方法的优劣不是根据法的优劣不是根据 中个别分量的估计中个别分量的估计误差值，而是根据误差值，而是根据 的整个统计特性来的整个统计特性来决定。决定。三最小二乘估计三最小二乘估计z xx xx
32、xxx n x x 如果估计量如果估计量 的分量大部分密集在真的分量大部分密集在真值值 附近，则这种估计结果比较理想。附近，则这种估计结果比较理想。因此，可用因此，可用 的二阶原点矩的二阶原点矩 作为衡作为衡量估计质量的一种标志，量估计质量的一种标志，均方误差阵均方误差阵是是 阶的。如果所用的估计方法遵循阶的。如果所用的估计方法遵循最小方差准则，则称这种方法为最小方最小方差准则，则称这种方法为最小方差估计。但最小方差估计作为一种统计差估计。但最小方差估计作为一种统计学的估计方法，要求事先掌握较多的随学的估计方法，要求事先掌握较多的随机变量的统计特性，这在电力系统状态机变量的统计特性，这在电力系
33、统状态估计实践中难以做到。以下介绍的最小估计实践中难以做到。以下介绍的最小二乘法是一种非统计学的估计方法。二乘法是一种非统计学的估计方法。三最小二乘估计三最小二乘估计 xxx TExxTExxn n 最小二乘估计是在电力系统状态估计中最小二乘估计是在电力系统状态估计中应用最为广泛的方法之一。最早的最小应用最为广泛的方法之一。最早的最小二乘方法是高斯解决天体运动轨迹问题二乘方法是高斯解决天体运动轨迹问题时提出的。这种方法的优点之一是不需时提出的。这种方法的优点之一是不需要随机变量的任何统计特性，它以测量要随机变量的任何统计特性，它以测量值值 和测量估计值和测量估计值 之差的平方和最小之差的平方和
34、最小为目标准则，即为目标准则，即 应用在电力系统，状态估计是按测量应用在电力系统，状态估计是按测量值值 与系统数学模型确定的值与系统数学模型确定的值 的误差的误差平方和最小来确定的系统状态平方和最小来确定的系统状态 ，即目，即目标函数为标函数为 (2-15)(2-15)三最小二乘估计三最小二乘估计z z )()(T12zzzzxmiiizzJiz xhix)()()()(T12xhzxhzxxmiiihzJ 二二 加权的意义加权的意义 这一方法对于任一个测量分量的误差这一方法对于任一个测量分量的误差 都以相同的机会加进目标函数，即都以相同的机会加进目标函数，即它们在目标函数中所占的份额一样。但
35、由它们在目标函数中所占的份额一样。但由于各个测量量的量测精度不一致，因此它于各个测量量的量测精度不一致，因此它们以同样的权重组成目标函数是不合理的。们以同样的权重组成目标函数是不合理的。为提高整个估计值的精度，应该使各个量为提高整个估计值的精度，应该使各个量测量各取一个权值，精度高的测量量权大测量各取一个权值，精度高的测量量权大一些，而精度低的测量量权小一些。根据一些，而精度低的测量量权小一些。根据这一原理提出了加权最小二乘准则。这一原理提出了加权最小二乘准则。三最小二乘估计三最小二乘估计 xhzii 加权最小二乘准则的目标函数为加权最小二乘准则的目标函数为 (2-16)(2-16)式中：式中
36、：为一适当选择的正定阵，当为一适当选择的正定阵，当 为为单位阵时单位阵时(2-16)(2-16)就是最小二乘准则。就是最小二乘准则。假设假设 ，为式为式(2-12)(2-12)的测量误差方的测量误差方差阵。其中各元素为差阵。其中各元素为 于是目标函数于是目标函数可写成可写成 (2-17)(2-17)三最小二乘估计三最小二乘估计)()()(TxhzxhzxWJWW1WRR121iiR)()()()(1T122xhzRxhzxxmiiiihzJ 三三 最小二乘算法最小二乘算法 为线性函数为线性函数 先假定先假定 是线性向量函数。是线性向量函数。(2-18)(2-18)或或 式中：式中：为为 矩阵，
37、其元素为矩阵，其元素为 。状态量的值状态量的值 与测量值与测量值 的关系为的关系为三最小二乘估计三最小二乘估计)(xh)(xhnjjijixhh1)(x),2,1(miHx)(xhHm nijhxzvHxz 按最小二乘准则建立目标函数按最小二乘准则建立目标函数 或或 (2-19)(2-19)对目标函数求导数并取为零，即对目标函数求导数并取为零，即 (2-20)(2-20)亦即亦即 这是一组有这是一组有 个未知数的个未知数的 维方程组，维方程组，联立求解即可求得联立求解即可求得 的最佳估计值的最佳估计值 。三最小二乘估计三最小二乘估计),2,1(mk)(1THxzRHxzxJmiinjjijix
38、hzJ1221)(x02)(121miiiknjjijikhxhzxxJmimiiikijnjiijikhzxhh11212),2,1(mknnxx 为非线性函数为非线性函数 以上是在以上是在 为线性函数的前提下讨沦为线性函数的前提下讨沦的。但电力系统的测量函数向量的。但电力系统的测量函数向量 是非是非线性的向量函数，这时无法直接由目标函线性的向量函数，这时无法直接由目标函数数 的极值条件求解的极值条件求解 ，需要用迭代的，需要用迭代的方法求解。方法求解。1 1 设状态变量的初值为设状态变量的初值为 将将 在在 处线性化，并用泰勒级数在处线性化，并用泰勒级数在附近展开，即附近展开，即 (2-2
39、7)(2-27)三最小二乘估计三最小二乘估计)(xh)(xh)(xh)(xJx 0 x)(xh 0 x 0 x 00 h xh xH xx 是函数向量是函数向量 的雅可比矩阵，其的雅可比矩阵，其元素为元素为 (2-28)(2-28)2 2 目标函数目标函数 略去略去 的高阶项，取目标函数为的高阶项，取目标函数为 (2-29)(2-29)取取 ，有，有 (2-30)(2-30)三最小二乘估计三最小二乘估计)(xh 0H x 00iijjhhxxx xx)()()()()()0()0(1T)0()0(xxHxhzRxxHxhzxJ 0 zzh x)()()0(1T)0(xxHzRxxHzxJ 3
40、3 极值条件极值条件即即则则式中式中 由此可得由此可得 (2-31)(2-31)三最小二乘估计三最小二乘估计0 xxd)(dJ)(d)(dd)(d)0(1T)0(xxHzRxxxHzxxJ)(d)(d)0(T)0(1xxHzxxxHzR0)()(2)0(1)0(xxHzRxHTxxHRxHzRxH)()()()0(1)0(1)0(TTzxxzRxHxHRxHx1)0()0(1)0(1)0(1)0()()()()()(RHcTTT1)0(1)0()0()()()(xHRxHxcT 000001T xxxxc xHxRzh x 4 4 迭代格式迭代格式 当当 充分接近充分接近 时泰勒级数略去高阶项
41、时泰勒级数略去高阶项后才是足够近似的。用式后才是足够近似的。用式(2-31)(2-31)作逐次作逐次迭代，可以得到迭代，可以得到 。若以。若以 表示迭代序表示迭代序号，式号，式(2-31)(2-31)可以写成可以写成 (2-32)(2-32)(2-33)(2-33)0 xx x l()()1()1()1()()()()()lTllTllxHxR H xHxRzh x(1)()()lllxxx三最小二乘估计三最小二乘估计 5 5 收敛判据收敛判据 按式按式(2-32)(2-32)和式和式(2-33)(2-33)进行迭代修正，进行迭代修正，直到目标函数接近于最小为止。所采用直到目标函数接近于最小为
42、止。所采用的收敛判据可以是以下三项中的任一项的收敛判据可以是以下三项中的任一项 （1 1）(2-34)(2-34)（2 2）(2-35)(2-35)（3 3）(2-36)(2-36)三最小二乘估计三最小二乘估计 maxixilx 1JJJllxx alx 上三式是三种收敛标准。其中式上三式是三种收敛标准。其中式(2-34)(2-34)表示状态修正量绝对值最大者小于规定表示状态修正量绝对值最大者小于规定的收敛标准，这是最常用的判据。的收敛标准，这是最常用的判据。可取可取基准电压模值的基准电压模值的 。满足收敛标准时的满足收敛标准时的 即为最优状态估即为最优状态估计值计值 。此时测量量的估计值是。
43、此时测量量的估计值是 。三最小二乘估计三最小二乘估计x461010 lxx zh x 6 6 状态估计的计算步骤及程序框图状态估计的计算步骤及程序框图 当当 是是 的非线性函数时，进行状态的非线性函数时，进行状态估计的步骤如下：估计的步骤如下：1)1)从状态量的初值计算测量函数向量从状态量的初值计算测量函数向量 和雅可比矩阵和雅可比矩阵 。2)2)由遥测量由遥测量 和和 计算残差计算残差 和目和目标函数标函数 ，并由雅可比矩阵，并由雅可比矩阵 计算计算信息矩阵信息矩阵 和向量和向量 。三最小二乘估计三最小二乘估计)(xhx)()0(xh)()0(xHz)()0(xh)()0(xhz)()(lJ
44、 x)()(lxHHRH1T)()(1lTxhzRH 3)3)解方程式解方程式(2-32)(2-32)求得状态修正量求得状态修正量 ，并取其中绝对值最大者并取其中绝对值最大者 。4)4)检查是否达到收敛标准。检查是否达到收敛标准。5)5)若未达到收敛标准，修改状态量，若未达到收敛标准，修改状态量，继续迭代计算，直到收敛为止。继续迭代计算，直到收敛为止。6)6)将计算结果送入不良数据检测与辨识将计算结果送入不良数据检测与辨识入口。入口。三最小二乘估计三最小二乘估计x)(l)(maxliix)()()1(lllxxx 图图2-42-4是加权最小二乘估计程序框图，是加权最小二乘估计程序框图，其中框其
45、中框1 1包括输入各测量量的权值。框包括输入各测量量的权值。框1 1的初值在实际应用中一般取前一次状态的初值在实际应用中一般取前一次状态估计的电压值，以加快迭代的收敛速度。估计的电压值，以加快迭代的收敛速度。框框3 3中用现有的状态量中用现有的状态量 （如电压模值与（如电压模值与电压相角）计算电压相角）计算 及其偏导数及其偏导数 。框框4 4求解电压模值与相角的修正量，选出求解电压模值与相角的修正量，选出 及及 ，供框，供框5 5作收敛检查。框作收敛检查。框6 6转入下一转入下一次迭代并对状态变量作修正。次迭代并对状态变量作修正。三最小二乘估计三最小二乘估计x)(l),(uh),(uHiium
46、axiimax图图2-4 2-4 加权最小二乘估计框图加权最小二乘估计框图 三最小二乘估计三最小二乘估计入口输入测量信息给定初值)()(lxH)()(lxhHRH1T)()(1lTxhzRH计算计算计算x)(l)(maxliix解非线性方程式(2-30)求及xliixmaxl=l+1)()()1(lllxxx到不良数据检测与辨识入口l1 四四 信息矩阵（信息矩阵（阵）的特点阵）的特点 稀疏性和对称性稀疏性和对称性 因为因为 一般为稀疏矩阵，所以可以一般为稀疏矩阵，所以可以用稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这用稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这个矩阵的结构，由式个矩阵的结构，由式(2-32)(2
47、-32)可得可得 (2-38)(2-38)或写成或写成 (2-39)(2-39)为了求解式为了求解式(2-39)(2-39)，先研究，先研究 阵的特点。阵的特点。三最小二乘估计三最小二乘估计1TH R H 11TT llllHxR H xxHxRzh xAxbAA 阵的元素：阵的元素：因为因为 是对角阵，所以是对角阵，所以 阵的结构与阵的结构与 的结构一致。由于的结构一致。由于 是稀疏的，而且是稀疏的，而且 和和 换位并不影响换位并不影响 的值，因此的值，因此 阵是阵是 的对称稀疏矩阵。的对称稀疏矩阵。阵的结构与导纳矩阵阵的结构与导纳矩阵不一样，取决于网络结构与测点的布置。不一样，取决于网络结
48、构与测点的布置。式式(2-38)(2-38)中中 阵的每一行元素是相应的一阵的每一行元素是相应的一个测量量对状态量的偏导数，即式个测量量对状态量的偏导数，即式(2-28)(2-28)。三最小二乘估计三最小二乘估计Amkkkjkiijhha12mkkkikjjihha121RAHHTHkihkjhijaAn nAH 从从 的累加计算式看，累加顺序并不影的累加计算式看，累加顺序并不影响响 的值，所以改变测量量的顺序（即的值，所以改变测量量的顺序（即 的行互换）并不影响计算结果。当然，的行互换）并不影响计算结果。当然，也不影响阵也不影响阵 的结构。的结构。三最小二乘估计三最小二乘估计HijaAija
49、 的结构与系统网络结构和测量系统的结构与系统网络结构和测量系统配置的关系配置的关系 1 1支路功率测量支路功率测量 对于连接节点对于连接节点 、的支路，当有有功、的支路，当有有功、无功测量时，因测量值只与该支路两端的无功测量时，因测量值只与该支路两端的状态变量有关，所以在状态变量有关，所以在 阵相应的测量量阵相应的测量量行中在行中在 列与列与 列有非零元素（若测量量列有非零元素（若测量量为第为第 个，则非零元素为个，则非零元素为 和和 ），），阵将阵将出现非零的出现非零的 元素（元素（、和和 均非均非零）。因此，不论有功或无功零）。因此，不论有功或无功,不论在线不论在线路哪一侧，有一个测量就能
50、出现路哪一侧，有一个测量就能出现 元素。元素。三最小二乘估计三最小二乘估计AijHijkkihkjhAijaiiaijajiajjaija 2 2节点注入功率测量节点注入功率测量 节点节点 的有功或无功注入的测量值，不的有功或无功注入的测量值，不仅与节点仅与节点 的状态量有关，而且还与同节的状态量有关，而且还与同节点点 直接连接的相邻节点的状态量有关。直接连接的相邻节点的状态量有关。对于图对于图2-52-5例子，在例子，在 阵中，相应于节阵中，相应于节点点 注入测量的行（设为注入测量的行（设为 行）的行）的 列以列以及与及与 相关的各节点（如相关的各节点（如 、）的列均、）的列均为非零元素，即
