1、第九章第九章 导行电磁波导行电磁波主主 要要 内内 容容 几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。沿一定的途径传播的电磁波称为沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波导行电磁波，传输导行波的系统，传输导行波的系统称为称为导波系统导波系统。常用的导波系统有常用的导波系统有双导线双导线、同轴线同轴线、带状线带状线、微带微带、金属波导金属波导等。等。这些导波系统的结构如下图示。这些导波系统的结构如下图示。本章本章仅仅介绍介绍同轴线同轴线和和金属波导金属波导。尤其是。尤其是矩形矩形金属波导的传播特
2、性。金属波导的传播特性。带状线带状线双导线双导线矩形波导矩形波导微微 带带介质波导介质波导光光 纤纤同轴线同轴线圆波导圆波导1.TEM波、波、TE波及波及TM波波 TEM波、波、TE波及波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系如下图示。如下图示。TEM波波EHesTE波波EHesTM波波EHes可以证明，能够建立可以证明，能够建立静电场静电场的导波系统的导波系统必然必然能够传输能够传输TEM波。波。根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。波。名名 称称 波波 形形 电磁屏蔽电磁屏蔽 使用波段使用波段
3、双导线双导线 TEM波波 差差 3m 同轴线同轴线 TEM波波 好好 10cm 带状线带状线 TEM波波 差差厘米波厘米波 微微 带带 准准TEM波波 差差厘米波厘米波矩形波导矩形波导 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 圆波导圆波导 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 光光 纤纤 TE或或TM波波 差差光波光波几种常用导波系统的主要特性几种常用导波系统的主要特性导波系统传播特性的研究方法导波系统传播特性的研究方法 首先设导波系统是首先设导波系统是无限长无限长的，根据导波系统的，根据导波系统横截面横截面的形状选取的形状选取直角直角坐标系或者坐标系或者圆柱圆柱坐标
4、系，令其沿坐标系，令其沿 z 轴放置，且传播方向为正轴放置，且传播方向为正 z 方向。以方向。以直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为zkzyxzyxj0e(）、）、EEzkzyxzyxj0e(）、）、HH0022222222HHHHEEEE222222kzyxkzyx而且应该满足下列矢量而且应该满足下列矢量亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 由前获知，上式包含了由前获知，上式包含了6 6 个直角坐标分量个直角坐标分量 及及 ，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统
5、的边界条件，利用分离变量法即可求解这些方程。分离变量法即可求解这些方程。zyxEEE,zyxHHH,但是实际上并不需要求解但是实际上并不需要求解 6 个坐标分量，因为它们不是完全独立的。个坐标分量，因为它们不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出根据麦克斯韦方程，可以求出 x 分量及分量及 y 分量和分量和 z 分量的关系为分量的关系为 yHxEkkEzzzxjj12cxHyEkkEzzzyjj12cxHkyEkHzzzxjj12cyHkxEkHzzzyjj12c222czkkk式中式中 这样，只要求出这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。分量，其余分量即可根据上述关系求出
6、。z 分量分量为为纵向纵向分量，因此这种方法又称为分量，因此这种方法又称为纵向场法纵向场法。在圆柱坐标系中，同样可用在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示分量表示 r 分量和分量和 分量。其关系分量。其关系式为式为zzzrHrrEkkEjj12crHErkkEzzzjj12crHkErkHzzzrjj12czzzHrkrEkHjj12c2.矩形波导中的电磁波方程式矩形波导中的电磁波方程式 矩形波导形状如下图示，矩形波导形状如下图示，宽宽壁的壁的内内尺寸为尺寸为 a，窄窄壁的壁的内内尺寸为尺寸为 b。azyxb,已知金属波导中只能传输已知金属波导中只能传输 TE 波波及及TM 波，现在分别讨论他
7、们在矩形波，现在分别讨论他们在矩形波导中的传播特性。波导中的传播特性。若仅传输若仅传输 TM 波，则波，则 Hz=0。按。按照纵向场法，此时仅需求出照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，分量，然后即可计算其余各个分量。然后即可计算其余各个分量。已知电场强度的已知电场强度的 z 分量可以表示为分量可以表示为 zkzzzyxEEj0e),(它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即02c2222zzzEkyExE其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即002c202202zzzEkyExE为了求解上述方程，采用分离变量法。令为了求解
8、上述方程，采用分离变量法。令)()()(0yYxXyxEz、代入上式，得代入上式，得2ckYYXX 式中式中X 表示表示 X 对对 x 的二阶导数，的二阶导数，Y 表示表示 Y 对对 y 的二阶导数。的二阶导数。由于上式中的第二项由于上式中的第二项仅仅为为 y 函数，而右端为常数，因此，若将此式函数，而右端为常数，因此，若将此式对对 x 求导，得知左端第一项应为常数。若对求导，得知左端第一项应为常数。若对 y 求导，得知第二项应为常求导，得知第二项应为常数。数。2ckYYXX 现分别令现分别令 2xkXX 2ykYY 这里，这里，k x 和和 k y 称为称为分离常数分离常数。利用边界条件即可
9、求解这些分离常数。利用边界条件即可求解这些分离常数。222cyxkkk显然显然 由上可见，原来的二阶由上可见，原来的二阶偏偏微分方程，经过变量分离后变为两个微分方程，经过变量分离后变为两个常常微分方程，因此求解简便。微分方程，因此求解简便。两个两个常微分方程的常微分方程的通解通解分别为分别为xkCxkCXxxsincos21ykCykCYyysincos43式中常数式中常数C1，C2，C3，C4 取决于导波系统的边界条件。取决于导波系统的边界条件。已知已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在分量与波导四壁平行，因此在 x=0,a 及及 y=0,b 的边界上的边界上 Ez=0。由此决定上述常数，再
10、根据这些结果求出分离常数为。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为,3,2,1 ,nbnky,3,2,1 ,mbmkx代入前式即可求出矩形波导中代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为波的各个分量为zkzzybnxamEEj0esinsinzkzxzybnxamamkEkEj2c0esincosjzkzyzybnxambnkEkEj2c0ecossinjzkxzybnxambnkEHj2c0ecossinjzkyzybnxamamkEHj2c0esincosj 1，电磁波的相位仅与变量，电磁波的相位仅与变量 z 有关，而振幅与有关，而振幅与 x,y 有关。因此，在有关。因此，在Z
11、方方向上为向上为行波行波，在，在 X 及及 Y 方向上形成方向上形成驻波驻波。2，z 等于常数的平面为波面。但振辐与等于常数的平面为波面。但振辐与 x,y 有关，因此上述有关，因此上述TM波为波为非均匀非均匀的平面波；的平面波；zkzzybnxamEEj0esinsinzkzxzybnxamamkEkEj2c0esincosjzkzyzybnxambnkEkEj2c0ecossinjzkxzybnxambnkEHj2c0ecossinjzkyzybnxamamkEHj2c0esincosj 3，当，当 m 或或 n 为零时，上述各个分量均为零，因此为零时，上述各个分量均为零，因此 m 及及 n
12、 应为应为非零非零的整数。的整数。m 及及 n 具有明显的物理意义，具有明显的物理意义，m 为宽壁上的为宽壁上的半个驻波半个驻波的数目，的数目，n 为窄壁上为窄壁上半个驻波半个驻波的数目。的数目。4，由于，由于m 及及 n 为多值，因此场结构均具有为多值，因此场结构均具有多种模式多种模式。m 及及 n 的每一的每一种组合构成一种模式，以种组合构成一种模式，以TMmn表示。表示。例如例如 TM11表示表示 m=1,n=1 的场结的场结构，具有这种场结构的波称为构，具有这种场结构的波称为TM11波。波。5，数值大的，数值大的 m 及及 n 模式称为模式称为高次模高次模，数值小的称为，数值小的称为低
13、次模低次模。由于。由于 m 及及 n 均不为零，故矩形波导中均不为零，故矩形波导中TM波的波的最低模式最低模式是是TM11波。波。类似地可以导出矩形波导中类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为波的各个分量为zkzzybnxamHHj0ecoscoszkzxzybnxamamkHkHj2c0ecossinjzkzyzybnxambnkHkHj2c0esincosjzkxzybnxambnkHEj2c0esincosjzkyzybnxamamkHEj2c0ecossinj式中式中 ，但两者，但两者不能同时不能同时为零。由上式可见，与为零。由上式可见，与TM波一波一样，样，TE波也具有前述波也具
14、有前述多模特性多模特性，但此时，但此时m 及及 n不能同时为零。因此，不能同时为零。因此，TE波的波的最低模式最低模式为为TE01波或波或TE10波。波。,2 ,1 ,0,nm3.矩形波导中电磁波的传播特性矩形波导中电磁波的传播特性 222cbnamk 已知已知 ，即，即 。可见，当时。可见，当时 ，这就，这就意味着波的传播被截止，因此，意味着波的传播被截止，因此，称为称为截止传播常数截止传播常数。222czkkk2c22kkkzckk 0zkck截止传播常数和截止频率截止传播常数和截止频率 利用传播常数与频率的关系利用传播常数与频率的关系 ，可以求出对应于截止传播常，可以求出对应于截止传播常
15、数数 的的截止频率截止频率 ，即，即fk2ckcf根据前面结果，获知根据前面结果，获知截止传播常数为截止传播常数为22cc212bnamkf那么，传播常数那么，传播常数 kz 可以表示为可以表示为 ,1j ,11c2cc2c2cffffkffffkffkkz当当 时，时，为实数，因子为实数，因子 代表向正代表向正 z 方向传播的波。方向传播的波。cff zkzkzje当当 时，时，为虚数，因子为虚数，因子cff zk 1j2ceeffkzzkz 因此，对于一定的模式和波导尺寸来说，因此，对于一定的模式和波导尺寸来说，f c 是能够传输该模式的是能够传输该模式的最最低频率低频率。可见，波导相当于
16、一个。可见，波导相当于一个高通滤波器高通滤波器。此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正 Z 方向不断衰减的方向不断衰减的凋落场凋落场。利用关系式利用关系式 ，即可求得对应于截止传播常数，即可求得对应于截止传播常数 的的截止波长截止波长 为为2kckc22cc22bnamk截止波长截止波长 上述结果表明，无论上述结果表明，无论截止频率截止频率或或截止波长截止波长均与与波导均与与波导尺寸尺寸 a,b 及及模模式式m,n 有关。对于一定的波导尺寸来说，每一种模式具有一定的截止频有关。对于一定的波导尺寸来说，每一种模式具有一定的截止频率或截止波长。率或截止波长。高次模
17、式具有较高的截止频率高次模式具有较高的截止频率，或者说，或者说具有较短的截止具有较短的截止波长波长。例如，例如，TE10波的截止波长为波的截止波长为 2a，TE20波的截止波长为波的截止波长为a。左图给出了当。左图给出了当波导尺寸波导尺寸 时，各种模式截止波长时，各种模式截止波长的分布图。的分布图。ba2TM11TE01TE20TE100a2acTE10波为矩形波导中的波为矩形波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。截 止 区TM11TE01TE20TE100a2ac 已知当已知当 时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当 时，全部模式被截止。
18、时，全部模式被截止。ca2 当当 时，只有时，只有TE10波存在，波存在，其它模式被截止。当其它模式被截止。当 时，才有其时，才有其它模式出现。它模式出现。aa2a 由此可见，由此可见，如果工作波长满足如果工作波长满足 aa2实现单模传输是实际应用所需要的。实现单模传输是实际应用所需要的。即可实现即可实现单模传输单模传输，而且实现单模传，而且实现单模传输的输的惟一惟一模式就是模式就是TE10波。波。窄壁尺寸的窄壁尺寸的下限下限取决于传输取决于传输功率功率，容许的波导，容许的波导衰减衰减以及以及重量重量等。等。国际上对于各波段通常使用的波导尺寸已有统一规定。国际上对于各波段通常使用的波导尺寸已有
19、统一规定。可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无法采地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无法采用。因此，实际中金属波导适用于用。因此，实际中金属波导适用于3000MHz以上的微波波段。以上的微波波段。实际中，通常取实际中，通常取 ，以便在，以便在 波段内实现波段内实现TE10波单模传输。波单模传输。ba2aa2 a22b工程上常取工程上常取 左右，左右，或或 。7.0aab)5.04.0(a)2.01.0(为了保证仅传输为了保证仅传输TE1
20、0波，矩形波导的尺寸应该满足波，矩形波导的尺寸应该满足 将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。根据相速与相位常数的关系，求得矩形波导中的相速根据相速与相位常数的关系，求得矩形波导中的相速 为为 pvvvffvkvz2c2cp11式中式中 。当波导中为真空时，。当波导中为真空时，。1vcv001不同波导不同波导尺寸尺寸及及模式模式，其相速也不同。，其相速也不同。波导中的相速与波导中的相速与频率频率有关。因此，电磁波在波导中传播时会出现有关。因此，电磁波在波导中传播时会出现色散现象色散现象。波导中的相速不代表能速波导中的相速不代表能速。已知。已知 ，由上式可见，真
21、空，由上式可见，真空波导中波导中 。cff ccv p根据波长与相位常数的关系，求得波导中电磁波的波长根据波长与相位常数的关系，求得波导中电磁波的波长 为为 g2c2cg112ffkz式中式中 为为工作波长工作波长。称为称为波导波长波导波长。g已知已知 ，故，故 。cff cg 波导中的波导中的横向横向电场与磁场之比称为电场与磁场之比称为波导的波阻抗波导的波阻抗，那么对于，那么对于TM波，波，其波阻抗为其波阻抗为 xyyxHEHEZTM2c2cTM11ZffZZZ将前面结果代入，求得将前面结果代入，求得同理可得同理可得TE波的波阻抗为波的波阻抗为2c2cTE11ZffZZ由上两式可见，当由上两
22、式可见，当 ，时，时，及及 均为均为虚数虚数，表明横向电场，表明横向电场与横向磁场相位相差与横向磁场相位相差 ，因此，沿，因此，沿 z 方向没有能量单向流动，这就意方向没有能量单向流动，这就意味着电磁波的传播被味着电磁波的传播被截止截止。cff cTMZTEZ2例例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为 25mm10mm ，当频率当频率 的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数是什么？当波导中填充介电常数 的理想介质后，能够传输的模的理想介质后，能够传输的模式有无改变？式
23、有无改变？MHz104f4r 解解 当内部为真空时，工作波长为当内部为真空时，工作波长为mm)(30fc波导的截止波长为波导的截止波长为2222c25.6502nmbnam因为，因为，TE10波的波的 ，TE20波的波的 ，更高次模的截止，更高次模的截止波长更短，可见，当该波导中为波长更短，可见，当该波导中为真空真空时，时，仅仅能传输的模式为能传输的模式为TE10波波。)mm(50c)mm(25c若填充若填充 的的理想介质理想介质，则工作波长为，则工作波长为4r)mm(15r因此，可以传输因此，可以传输TE10波及波及TE20波，而且还可能存在其它模式。详细计算波，而且还可能存在其它模式。详细
24、计算表明，表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可传输。等模式均可传输。矩形波导矩形波导仅仅可传输可传输TM波和波和TE波。波。矩形波导中的电磁波具有矩形波导中的电磁波具有多模多模特性：特性：TMmn 和和TEmn。不同不同模式模式具有不同具有不同截止波长截止波长：22cc22bnamk为了实现为了实现TE10波的波的单一单一模式传播，波导模式传播，波导尺寸尺寸应该满足：应该满足：a22b TE10波的截止波长波的截止波长最长最长（），适当地设计波导尺寸即可），适当地设计波导尺寸即可实现实现TE10波的波的单一单一模式传播。模式传播。a2TE10波为波为矩形矩
25、形波导中的波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。4.矩形波导中的矩形波导中的TE10波波 令令 ，求得矩形波导中的常用模式，求得矩形波导中的常用模式TE10波方程为波方程为0 ,1nmzkzzxaHHj0ecoszkzxzxaakHkHj2c0esinjzkyzxaakHEj2c0esinj其余分量为零。其余分量为零。)sin(cos2),(0zktxaHtHzzr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHktHzzxr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHtEzyr对应的瞬时值为对应的瞬时值为gHzHxEyzyyHxEyHzxa t=0 时刻，时刻，TE10波沿波沿
26、z 方向及方向及 x 方方向的场分布如左图。向的场分布如左图。沿沿 x 方向为方向为驻波驻波，沿，沿 z 方向为方向为行波行波。Hz 的振辐沿的振辐沿 x 按按余弦余弦分布，分布，Hx 及及 Ez 的振幅沿的振幅沿 x 按按正弦正弦分布，但是分布，但是其振幅均与其振幅均与 y 无关无关。)sin(cos),(zktxaCtHzzr)2sin(sin),(zktxaBtHzxr)2sin(sin),(zktxaAtEzyr上式简化为上式简化为式中式中A，B，C为正实数。为正实数。？xzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线zyx内壁电流内壁电流 TE10波的波的电场线电场线及及磁场线磁场线。几种
27、高次模的场分布几种高次模的场分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11电场线电场线磁场线磁场线TE10波的波的截止波长截止波长、相速相速、波导波长波导波长及及能速能速。令令 m=1,n=0，求得，求得TE10波的截止波长为波的截止波长为a2c此式表明，此式表明，TE10波的截止波长波的截止波长与窄壁尺寸无关与窄壁尺寸无关。根据根据截止波长，利用前式即可截止波长，利用前式即可分别求得相速及波导波长为分别求得相速及波导波长为2p21avv2g21a 为了说明为了说明TE10波的相速、波导波长及能速的波的相速、波导波长及能速的物理意义物理意义以及它们之间以及它们之间关系关系，将电场分量，将
28、电场分量 Ey 改写为改写为 zkxaxayzEEjjj0e)ee()ee(j21sinj-jxaxaxa)sincos(j0)sincos(j0eezxkzxkyEEE再利用一些三角公式，可将上式改写为再利用一些三角公式，可将上式改写为上式可看成是传播常数为上式可看成是传播常数为 k，但传播方向不同的但传播方向不同的两个均匀平面波两个均匀平面波。xza两个平面波的传播途径如左图示。两个平面波的传播途径如左图示。可见，两个平面波的传播方向位可见，两个平面波的传播方向位于于 xz 平面，平面，而且而且两个两个均匀平面波又均匀平面波又可合并为在两个可合并为在两个窄壁窄壁之间来回反射的之间来回反射的
29、一个一个均匀平面波。均匀平面波。当当 时，时，。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回反射。因此，无法传播而被截止。反射。因此，无法传播而被截止。c0c2cosa 两个均匀平面波的两个均匀平面波的波峰相遇波峰相遇处形成处形成合成波合成波的的波峰波峰，而两个均匀平，而两个均匀平面波的面波的波谷相遇波谷相遇处形成合成波的处形成合成波的波谷波谷。左图中以左图中以实线实线表示均匀平面波表示均匀平面波的的波峰，以波峰，以虚线虚线表示均匀平面波表示均匀平面波波峰。波峰。xzaABCD若波导为真空，则若波导为真空，则AC长度等于真空中波长。由图可得长度等于真空中波
30、长。由图可得 显然，线段显然，线段AB长度等于波导波长，长度等于波导波长，AC长度等于工作波长。长度等于工作波长。2gcos1sin2cg1同前同前 另外，由图可见，平面波另外，由图可见，平面波由由 A 点至点至 C 点的点的相位相位变化为变化为 2，而合，而合成波的空间相位变化时经过距离为成波的空间相位变化时经过距离为 AB。可见，合成波的相速大于均匀。可见，合成波的相速大于均匀平面波的相速，由图求出平面波的相速，由图求出xzaABCDsinpvv 2cp1vv 再从再从能量能量传播的观点来看，当平面波传播的观点来看，当平面波的能量由的能量由 A 传播到传播到C时，时，就传播方向就传播方向
31、Z 而言，此能量传输的距离仅为而言，此能量传输的距离仅为AD长度，可见波导中能速长度，可见波导中能速小于均匀平面波的能速，由图求出小于均匀平面波的能速，由图求出TE10波的能速为波的能速为sinevv 2ce1vv例例 若内充若内充空气空气的矩形波导尺寸为的矩形波导尺寸为 ，工作频率为，工作频率为3GHz。如果。如果要求工作频率至少高于主模要求工作频率至少高于主模TE10波的截止频率的波的截止频率的20%，且至少低于，且至少低于TE01波的截止频率的波的截止频率的20%。试求：。试求：波导尺寸波导尺寸a及及b；根据所设计的根据所设计的波导，计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。波导，计算工作波
32、长，相速，波导波长及波阻抗。2 a解解 TE10波的截止波长波的截止波长 ，对应的截止频率，对应的截止频率 。TE01波波的截止波长的截止波长 ，对应的截止频率，对应的截止频率 ，按题意要求，应该满足，按题意要求，应该满足 a2caccf2ccb2cbcf2c2.121039ac8.021039bc由此求得由此求得 ，取，取 ，。m06.0am04.0bm06.0am04.0b 工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为m1.0fc32p1042.521acv182.0212ga)(682212TE10aZZ5.电磁波的群速电磁波的群速 电磁波在色散媒质中传播
33、时，各个频率分量以不同的相速进行传播，电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相速进行传播，因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速度。本节介绍的度。本节介绍的群速群速，可以用来描述，可以用来描述窄带信号窄带信号在色散媒质中的传播特性。在色散媒质中的传播特性。设设 z 向传播的电磁波信号仅具有两个频率向传播的电磁波信号仅具有两个频率非常接近非常接近的频率分量如下：的频率分量如下：)cos(),()cos(),(22021101zktAtzAzktAtzA其合成信号为其合成信号为21AAA)cos()cos
34、(2000zktkztA式中式中)(21)(211210)(21)(2110210kkkkkk 由于由于 ，因而在一个足够小的时间间隔内，上式中的，因而在一个足够小的时间间隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第二个余弦项已经历了几个周期的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第二个余弦项已经历了几个周期的变化，所以变化，所以 代表载频，代表载频，代表调制频率。代表调制频率。2100 若媒质是非色散的，振幅形成的若媒质是非色散的，振幅形成的波包波包随随载波载波一起运动，在运动过程一起运动，在运动过程中，载波及波包都保持正弦波形。因此可以根据波包上的等相位点求出中，载波及波包都保持正弦波形。因
35、此可以根据波包上的等相位点求出波包波包的移动速度，该速度称为的移动速度，该速度称为群速群速，以，以 表示。由表示。由 ，求得，求得群速群速 为为gv常数kztgv这是一个幅度变化缓慢的这是一个幅度变化缓慢的调幅信号调幅信号。ktzvddg21AAA)cos()cos(2000zktkztA 对于非色散媒质，对于非色散媒质，k 与与 的关系是线性的，因此的关系是线性的，因此 ，求得，求得群速群速为为 kkddkvddg再由再由 =常数，求得常数，求得载波载波相速相速 为为zkt00pv00pkv 已知非色散媒质中，传播常数已知非色散媒质中，传播常数 ，求得，求得k1dddd1gkkvpv由此可见
36、，由此可见，非非色散媒质中群速色散媒质中群速等于等于相速相速。对于对于色散色散媒质，由前式可见，媒质，由前式可见，k 与与 的关系为非线性。此时，对于的关系为非线性。此时，对于给定的给定的工作频率工作频率 ，可将，可将k 作为频率作为频率 的函数在的函数在 附近展开为泰勒级数，附近展开为泰勒级数，即即00)(dd)(000kkk2022)(dd210k对于对于窄带窄带信号，可仅取前两项，即信号，可仅取前两项，即)(dd)(000kkk同时由于频带很窄，可以认为同时由于频带很窄，可以认为 ，将上式代入，得，将上式代入，得kkvddg00dddd1gkkv 由于色散媒质的传播常数由于色散媒质的传播
37、常数 k 与频率与频率 的关系是的关系是非线性非线性的，不同的载的，不同的载波频率，其群速不同。群速波频率，其群速不同。群速不再不再等于相速。等于相速。上图给出了当上图给出了当 时，上述窄带信号在三个时，上述窄带信号在三个不同时刻不同时刻的波形。的波形。载波载波以以相速相速传播，传播，波包波包以以群速群速传播。传播。为波包等相位点，为波包等相位点，P 为载波等相为载波等相位点。当位点。当P 点点 位移为位移为d 时，由于波包速度较慢，时，由于波包速度较慢，点仅位移点仅位移 。gp2vv PP)(,ddd因此，经过一段时间传播后，因此，经过一段时间传播后，波包变形波包变形，导致信号失真。，导致信
38、号失真。对于色散媒质中的对于色散媒质中的窄带窄带信号，上式应为信号，上式应为0dd1pppgvvvv若相速若相速 与频率与频率 无关，无关，则，则 ，即，即无无色散时相速色散时相速等于等于群速。群速。pv0ddpvpgvv 若若 ，则，则 ，这种情况称为，这种情况称为正常色散正常色散。0ddpvpgvv 若若 ，则，则 ，这种情况称为，这种情况称为非正常色散非正常色散。0ddpvpgvv dd1pppgvvvv根据上述关系，求得根据上述关系，求得 矩形矩形波导中的相速波导中的相速 ，可见电磁波发生，可见电磁波发生正常正常色散。而色散。而且群速且群速 0ddpve2c2cg11vvffvv即矩形
39、波导中电磁波的即矩形波导中电磁波的群速等于能速群速等于能速，这也是正常色散媒质的，这也是正常色散媒质的共性。共性。根据上面结果，求得波导中的相速根据上面结果，求得波导中的相速 vp 与群速与群速 vg 满足下列方满足下列方程程2gpvvv 当电磁波在当电磁波在导电导电媒质中传播时，电磁波发生媒质中传播时，电磁波发生非非正常色散。正常色散。此时，群速不再等于能速，上述关系也不再成立。此时，群速不再等于能速，上述关系也不再成立。6.圆波导圆波导 圆波导的圆波导的惟一惟一尺寸是内半径尺寸是内半径 a。选用。选用圆柱圆柱坐标系，令圆波导的轴线坐标系，令圆波导的轴线为为 z 轴，如左图示。轴，如左图示。
40、与矩形波导类似，采用与矩形波导类似，采用纵向场法纵向场法，即先求出纵向分量即先求出纵向分量 Ez 或或 Hz，然后再导，然后再导出其余分量：出其余分量：Er,E,Hr,H。xyza,zkzrzrj0e),(),(EEzkzrzrj0e),(),(HH圆波导中电场和磁场可分别表示为圆波导中电场和磁场可分别表示为zkzzzrEzrEj0e),(),(zkzzzrHzrHj0e),(),(对应的纵向分量为对应的纵向分量为 对于对于TM波，波，Hz=0，先求出，先求出 Ez 分量，然后再计算各个横向分量。分量，然后再计算各个横向分量。在无源区中，在无源区中，Ez 分量满足下列标量齐次亥姆霍兹方程分量满
41、足下列标量齐次亥姆霍兹方程022zzEkE将其在圆柱坐标系中展开，再将将其在圆柱坐标系中展开，再将Ez 分量分量的表示式代入，得的表示式代入，得01102c202220202zzzEkErrErrE采用采用分离变量法分离变量法，令，令)()(),(0rRrEz代入上式，得代入上式，得 22c2rkRRrRRr式中式中 及及 分别为分别为R 对对 r 的二阶和一阶导数，的二阶和一阶导数，为为 对对 的二阶导数。的二阶导数。R R 类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为02 mmAmAsincos21此方程的通解为此方程的通解为 由于波导中的场分布随角度由于波
42、导中的场分布随角度 的变化应以的变化应以2 为周期，因此上式中为周期，因此上式中m 一定为一定为整数整数，即，即 2 ,1 ,0m 圆波导具有圆波导具有轴对称性轴对称性，的坐标平面可以任意确定。那么，总的坐标平面可以任意确定。那么，总可以适当地选择坐标平面，使上式中的第一项或第二项消失，因此，可以适当地选择坐标平面，使上式中的第一项或第二项消失，因此，的解可以表示为的解可以表示为0mmAsincos那么求得那么求得0)(dddd222c222RmrkrRrrRr令令 ，则上式变为标准的柱贝塞尔方程，即，则上式变为标准的柱贝塞尔方程，即xrkc0)(dddd22222RmxxRxxRx此式的通解
43、为此式的通解为)(N)(JxCxBRmm式中式中 为第一类为第一类 m 阶柱贝塞尔函数，阶柱贝塞尔函数，为第二类为第二类 m 阶柱贝塞尔函阶柱贝塞尔函数。当数。当 时，时，。但是波导中的场总是。但是波导中的场总是有限有限的，因此，的，因此，常数常数 ，上式的解应为，上式的解应为)(Jxm)(Nxm0r0 x)0(Nm0C)(JcrkBRmzkmzzmmrkEEjc0esincos)(J将上述结果代入，求得纵向分量将上述结果代入，求得纵向分量 Ez 的通解为的通解为zkmzrzmmrkkEkEjcc0esincos)(JjzkmzzmmrkrkmEkEjc2c0ecossin)(Jjzkmrzm
44、mrkrkmEHjc2c0ecossin)(JjzkmzmmrkkEHjcc0esincos)(Jj各个横向分量分别为各个横向分量分别为式中式中 为柱贝塞尔函数为柱贝塞尔函数 的一阶导数。常数的一阶导数。常数 决定于边界条决定于边界条件。件。)(Jcrkm)(Jcrkmck已知分量已知分量Ez 及及 与圆波导内壁平行，因此，当与圆波导内壁平行，因此，当 时，时，。Ear 0EEz根据这个边界条件，求得常数根据这个边界条件，求得常数 为为ck22caPkmn 为第一类为第一类 m 阶贝塞尔函数的第阶贝塞尔函数的第 n 个根。个根。mnP值值mnP14.8011.628.4175.136213.3
45、210.177.0163.832111.798.6545.5202.40504321mn每一组每一组 m，n 值对应于一个值对应于一个 值，从而形成一种场分布或称为一种模式。值，从而形成一种场分布或称为一种模式。可见，电磁波在圆波导中也具有可见，电磁波在圆波导中也具有多模特性多模特性。mnP 对于对于TE波，波，Ez=0。采用上述同样方法，先求出。采用上述同样方法，先求出 Hz 分量，然后再分量，然后再 计算各个横向分量，其结果为计算各个横向分量，其结果为 zkmzzmmrkJHHjc0esincos)(zkmzrzmmrkJkHkHjcc0esincos)(jzkmzzmmrkJrkmHkH
46、jc2c0ecossin)(jzkmrzmmrkJrkmHEjc2c0ecossin)(jzkmzmmrkJkHEjcc0esincos)(j2.2caPkmn再根据边界条件，求得常数再根据边界条件，求得常数 kc 为为式中式中 为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。mnP13.179.9656.7053.054211.718.5265.3321.841113.3210.177.0163.83204321mn 值值mnP 和矩形波导一样，当和矩形波导一样，当 时，传播常数时，传播常数 表示传播被截止。那表示传播被截止。那么，由么，由 ，
47、求得圆波导，求得圆波导中中TM波的波的截止频率截止频率和和截止波长截止波长 为为 ckk 0zkccc22fkmnmnPaaPf 2 2ccTE波的截止频率和截止波长为波的截止频率和截止波长为mnmnPaaPf 2 2cc 下图给出了圆波导中各种模式的截止波长分布图。下图给出了圆波导中各种模式的截止波长分布图。由图可见，由图可见，TE11波具有波具有最长的最长的截截止波长，其次是止波长，其次是TM01波。波。0a2aTE01TE21TM01TE113a4ac 截 止 区 根据前面结果，求得根据前面结果，求得TE11及及TM01波的截止波长分分别为波的截止波长分分别为 aa62.2 TM41.3
48、 TEc01c11 由此可见，若工作波长由此可见，若工作波长 满足满足 ，即可实现，即可实现TE11波的波的单模传输单模传输。aa41.362.2因此，因此，TE11波是圆波导中的波是圆波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。反之，若工作波长反之，若工作波长 给定，为了实现给定，为了实现TE11波单模传输，圆波导半波单模传输，圆波导半径径 a 必须满足必须满足62.241.3 a 根据截止频率和截止波长，即可求出根据截止频率和截止波长，即可求出相速相速、群速群速、波导波长波导波长及及波阻波阻抗抗，其公式与矩形波导的相应公式，其公式与矩形波导的相应公式完全相同完全相同。下图给出了圆波导中下
49、图给出了圆波导中TE11，TE01及及TM01波的波的电场线电场线及磁场线分布。及磁场线分布。TE01 TM01电场线电场线磁场线磁场线TE11解解 已知为了保证工作于已知为了保证工作于TE11主模，其工作波长必须满足主模，其工作波长必须满足 例例 已知圆波导的半径已知圆波导的半径 a=5mm，内充，内充理想介质理想介质的相对介质常数的相对介质常数 r=9。若要求工作于若要求工作于TE11主模，试求最大允许的频率范围。主模，试求最大允许的频率范围。aa41.362.2mm1.17541.3maxmm1.13562.2min即即对应的频率范围为对应的频率范围为MHz763410minminmax
50、vfMHz584810maxmaxminvf7.波导中的传输功率与传输损耗波导中的传输功率与传输损耗 根据波导中电场及磁场的根据波导中电场及磁场的横向横向分量，计算复能流密度矢量，再将分量，计算复能流密度矢量，再将复复能流密度的能流密度的实部实部沿波导的沿波导的横横截面进行积分，即可求得波导中的截面进行积分，即可求得波导中的传输功率传输功率。以矩形波导为例。当其传输主模以矩形波导为例。当其传输主模TE10波时，求得的传输功率为波时，求得的传输功率为 TE202ZabEP 若波导中介质的击穿场强为若波导中介质的击穿场强为 ，则矩形波导能够传输的最大功率为，则矩形波导能够传输的最大功率为bETE2
