1、电动力学(第三版)静电场chapter2_4内内 容容 概概 要要 1.1.平面导体板的情况平面导体板的情况 2.2.导体球情况导体球情况 3.3.半无限大介质空间情况半无限大介质空间情况 2.4 2.4 镜像法镜像法静电场的问题静电场的问题求解下列方程问题求解下列方程问题221f1122nn在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成 02拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）方程方程分离变量法解拉普拉斯方程分离变量法解拉普拉斯方程.唯一性定理唯一性定理：设区域：设区域V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布 ,在边界在边界S上给定上给定 或或 /n 则则V内的电场唯一
2、地确定内的电场唯一地确定.)(x唯一性定理唯一性定理求解具有边界条件的泊松方程是很困难的求解具有边界条件的泊松方程是很困难的.电场分布电场分布 区域内只有区域内只有一个或几个点电荷一个或几个点电荷,区域边界是导体或区域边界是导体或介质界面时求解电场分布的一种特殊方法介质界面时求解电场分布的一种特殊方法镜像法镜像法.尝试解尝试解QQ+点电荷点电荷Q的镜像的镜像代换满足边界条件代换满足边界条件代换没有改变电荷分布代换没有改变电荷分布泊松方程不变泊松方程不变假想电荷代替假想电荷代替感应电荷分布感应电荷分布问题解决问题解决注意：注意：(1)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布唯一性定理要求所求电
3、势必须满足原有电荷分布所满足的泊松方程或拉普拉斯方程所满足的泊松方程或拉普拉斯方程.因此，在所研究因此，在所研究的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷必须放在研究的场域外必须放在研究的场域外.(2)由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在导体或介质界面不存在.也就是把整个空间看成是无也就是把整个空间看成是无界的均匀空间界的均匀空间.并且其介电常量应是所研究场域的介并且其介电常量应是所研究场域
4、的介电常量电常量.(3)镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用的感应电荷或极化电荷有等效作用.而其电荷量并不而其电荷量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等在某些问题中，它们却恰好相等.(4)镜像法所适应的范围是：场区域的电荷是点电镜像法所适应的范围是：场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；导体或介质的边界面必是简荷，无限长带电直线；导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）单的规则的几何面（球面、柱面、平面）.用镜
5、像法解题大致可按以下步骤进行用镜像法解题大致可按以下步骤进行 ：(a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；(b)根据给定的边界条件计算镜像电荷的电荷量和所在根据给定的边界条件计算镜像电荷的电荷量和所在位置；位置；(c)由已知电荷及由已知电荷及镜像镜像电荷写出势的解析形式；电荷写出势的解析形式；(d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等电容等.例例1 接地无限大平面导体接地无限大平面导体板附近有一点电荷板附近有一点电荷Q,求求空间中的电场空间中的电场.在点电荷在点电荷Q作用下作用下,
6、导体导体板上出现感应电荷分布板上出现感应电荷分布.空间空间中的电场是由点电荷中的电场是由点电荷Q以及导以及导体面上的感应电荷共同激发体面上的感应电荷共同激发,在总电场作用下导体静电平衡在总电场作用下导体静电平衡,即导体表面为等势面即导体表面为等势面.设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替.如图如图,设想在导体板下方与电荷设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷对称的位置上放一个假想电荷Q,然然后把导体板抽去后把导体板抽去.若若Q=Q，则假想电荷，则假想电荷Q 与给定电荷与给定电荷Q激发的激发的总电场如图所示总电场如图所示,
7、由对称性知，边界条件满足由对称性知，边界条件满足.因此因此,导体板上的导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替，代替，Q 称为称为Q的的镜像电荷镜像电荷.Q0zQ=Q 解：解：导体板上部空间的电场可以看作原电荷导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电与镜像电荷荷Q 共同激发的电场共同激发的电场.以以r 表示表示Q到场点到场点P的距离的距离,r 表表示象电荷示象电荷Q 到到P的距离的距离,P点的电势为点的电势为rQrQP041)(具体求解过程如下具体求解过程如下.(3)0(2)0(1)0,0,(1002RRzyaxQ2/12222/12220
8、000)()(414144zybxQzyaxQ)rQrQ(rQrQQQp cos22)(222222222aRaRazyaxxzyax2/1222/1220cos2cos241bRbRQaRaRQp2/1222/1220cos21cos214),(aRaRaRaRQzyxpabQQ例例2 真空中有一半径为R0的接地导体球,距球心为a(aR0)处有一点电荷Q,求空间各点的电势(如图所示).0Va0RQ分析：电荷分布和电场分布：点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷.整个电场是由Q和感应电荷共同产生的.由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体表面，而且电场具有轴对称性.设用来代替感应电荷的假想电荷
9、为Q.问题是：Q应该放在什么位置？电荷量是多少？+Q 假设用球内一个假想点电荷Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用.由对称性,Q 应在OQ连线上.关键是选择Q 的大小和位置使得球面0得到满足.考虑球面上任一点 P,边界条件要求0rQrQ0Va0RQPrQr常数QQrr即解：由图看出,只要选Q 的位置使OQ P OPQ,则常数aRrr0设Q 的距球心为b,两三角形相似条件为aRbaRRb2000QaRQ0球外任一点的电势arQRrQP0041)(0Va0RQPrQrb )cos2()cos2(142/120240202/1220aRRaRRaRaRaRQ2/3022022000cos21)1
10、(40aRaRaRaRQRRR感度：球面上的感应电荷面密QaRddRdSQSS020sin感感感总感应电荷为：1 100QQQsdEQsdESS感感 根据高斯定理，收敛于球面的电场强度通量为Q/0.Q 为球面的总感应电荷，它是受电荷Q的电场的吸引而从接地处传至导体球上的.然而|Q|R0),试求空间的电势分布.(2)0(1),(10out0out2RRyaxbRrRar0000ln2ln22/1222/1222/1222/122cos2)(cos2)(RbbRybxrRaaRyaxr0)cos2(ln2)cos2(ln202/10220002/1022000bRbRbRRaaRaRRR02/10
11、22002/10220)cos2(ln)cos2(lnbRbRbRRaaRaR(4)cos2()cos2(3)02/1022002/10220bRbRbRRaaRaR200220200220)(cos2()(cos2(RabRbRbRaRaR(6)(cos2)(cos2(5)()(2002002022020220RabRbRaRRabRbRaR(7)2020aRabbRaRbabaRRabab2021202022 ),(0)(舍去相当于球面情况相当于平板时电荷情况aRb20rRarRaRarRaraRRrRar000000200000ln2)(lnln2ln2ln2coscoscos2414c
12、os2cos2cos24)cos1()cos1()cos1()cos1(402300223000230020020000outERRRERaQRaRQaRRaRaQRaRaRRaRaRaRaRaQ300out03004 ,4RRPzEeREPz.4(c);3(b);2)(a例例6 有两个相交的接地导体平面，其夹角为 ，若在所夹区域内有一电量为Q的点电荷，求下列情况下所夹区域内的电势：解：.2)(a(2)0(1)(102BARxxQ)1111(42130rrrrQ.3(b)0 ,0BA)111111(4543210rrrrrrQ.4(c)0BA)11111111(476543210rrrrrrrrQ1)2(2偶数，镜像电荷个数作作 业业8 9 11 12
