1、第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波2本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波31.1.标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或
2、模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。第1章 矢量分析王喜昌教授编写
3、王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波4zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxy第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波5（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代
4、数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波6（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/A BAB
5、第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波7（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBC
6、BACBABCACBA)()()(分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波9 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.21.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定
7、三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波10zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面）o x y z0 xx（
8、平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波11 c.圆柱坐和直角坐标的关系圆柱坐和直角坐标的关系22=x,arctan(/)yy xzz或者或者cossinxyzzz,a.坐标变量坐标变量000,z P点位置点位置zeee,b.坐标单位矢量坐标单位矢量2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电
9、磁波12d.柱坐标的关系柱坐标的关系zzzeeeeeeeeee.柱坐标的导数关系柱坐标的导数关系cossinsincosxyxyeeeeee cossinsincosxyeeeeee有oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeee第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波13sincoscossinxyxyeeeeeeee 得到zeerzf.位置矢量位置矢量drdddzeee z g.线元矢量线元矢量dddzzzree zdrdede ze ddeedzeeez 第1章 矢量分析王喜昌教授编写
10、王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波14dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSh.面元矢量面元矢量zVddddi.体积元体积元第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波15z,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleS面元矢量面元矢量第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波163、球面坐标系、球面坐标系,ra.坐标变量坐标变量
11、000,rP点坐标点坐标eeer,b.坐标单位矢量坐标单位矢量c.球坐标和直角坐标的关系球坐标和直角坐标的关系222222r=xarccos(/x)arctan(/)yzzyzyxcossinxyzz或者或者sincossinsincosxryrzr第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波17d.球坐标的关系球坐标的关系rrreeeeeeeeee.球坐标的导数关系球坐标的导数关系sincossin sincoscos sincos cossinsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与
12、电磁波18或者或者sin coscos cossinsin sincos sincoscossinxryrreeeeeeeeeee得到得到,sin,cos0,sincosrrrreeeeeeeeeeee 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波19rerrf.位置矢量位置矢量drddsin drere re r g.线元矢量线元矢量()ddsin drrrrdrd e re drrdee re re r ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrh.面元矢量面元矢量dddddrrelleSrdddsind2rrV i.体积元体积元第1
13、章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波20ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr总结：球面坐标系总结：球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元,r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波21xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐
14、标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeeezeeree第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波221.3 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量
15、，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：、),(tzyxu),(tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场
16、是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxu),(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波231.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标
17、量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波242.方向导数方向导数意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念概念：l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加；l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小；l0ul u(M)沿沿 方向无
18、变化。方向无变化。M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向性导数既与点：方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。l式中式中：coscoscos、第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波25梯度的表达式梯度的表达式：3、标量场的梯度、标量场的梯度（或或 ）graduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念：，其中其中 取得最大值的方
19、向取得最大值的方向max|luuelluel梯度的计算梯度的计算：coscoscosuuuulxyz()(coscoscos)xyzxyzuuuueeeeeelxyz第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波26zueyuexueuzyx直角面坐标系直角面坐标系 zueueueuz1圆柱面坐标系圆柱面坐标系 ureurerueursin11球面坐标系球面坐标系xyzuuugradueeexyz令 xyzeeexyz xyzuuuueeegraduxyz第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波27标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场
20、的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波28 例例1.3
21、.1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z)=x2y2z 描述了空间标量场。描述了空间标量场。试求：试求：(1)该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；单位矢量；(2)求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 el=ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。作以比较，得出相应结论。解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为(1,1,1)(22
22、)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波29表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向方向的方向导数为导数为211(22)()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy 对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl第1章
23、 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波30而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波31()()(),xyzRxxyyzzRReee31(1),(2)(),(3)()()RRRf Rf RRRR ,xyzxyzeeeeeexyzxyz 其中222()()()RRxxyyzzxyzRRRReeexy
24、z222()()()()()()xyzxxyyzzRxxyyzzeee第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波3222211(2),()()()Rxxyyzz1111()()()()xyzeeeRx Ry Rz R3222 3()()()()()()xyzxxyyzzRRRxxyyzz eee3.()()()()xyzf Ref Ref Ref Rxyz第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波33()()()xyzf Rf Rf Reeexyz()()()()xyzdf RRdf RRdf RReeedRxdRydRzdf RRd
25、R()()df Rf RRdR同理()dfRRdRR()()f Rf R 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波341.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1、矢量线、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线oM Fdrrrdr第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授
26、编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波35例1.4.1 设点电荷q位于坐标原点，在周围空间任一点M(x,y,z)处产生的电场强度矢量求电场的矢量线3,4xyzqEr re xe ye zrd xd yd zxyzdxdzxzdydzyz12:xc zyc z得到33:()44xyzqqEre xe ye zrr解第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波362、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面积元矢量；面积元
27、矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e S穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对闭合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波370通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能
28、结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波383、矢量场的散度、矢量场的散度0(,)d(,)limSVF x y zSF x y zV a.定义：为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任定义：为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积
29、元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。F第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波39b.b.直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyPFdS第1章 矢量分析王喜昌
30、教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波402.计算式的推导计算式的推导FdS前后左右上下(,)xFdSF xx y zy z 前(,)xFdSF x y zy z 后(,)(,)(,)xxxF x y zF xx y zF x y zxx(,)xFx y zFdSx yzx 前后 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波41(,)yF x y zF dSx y zy 左右(,)zF x y zF dSx y zz 上下zFyFxFFzyx()()xyzxxyyzzdivFee
31、ee Fe Fe FxyzF 0d limySxzVFSFFFFVxyz 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波42柱面坐标系柱面坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐标系球面坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系c.c.散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波434、散度定理、散度定理VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2e
32、n2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波440:d limySxzVFSFFFFVxyz 证明1212ddd SSSFSFSFSFdVFdVFdV VSVFSFdd第1章 矢量分析王喜
33、昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波451.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。零。第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波46 如磁场沿任意
34、闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：流成正比，即：SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波47q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢
35、量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。ClzyxFd),(环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波48 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限01rotlimdCnSFFlS称为称为矢量场在矢量场在点点M 处
36、沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。SCMFn特点特点：其值：其值与与点点M 处的方向处的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（）F（1）环流面密度）环流面密度第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波4912341234dddddCllllzyzyyzyzFlFlFlFlFlFFyFyzyFFzyFzzFFy
37、 zy zyz 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、的表达式的表达式rotxFrotyFrotzF第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波50同理可得同理可得rot,xzyFFFzxrotyxzFFFxy0drotlimyCzxSF lFFFSyz 故得故得概念概念：矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时
38、面积元的法 线方向，即线方向，即nMaxrotnFeF物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。nrot FnF性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波51zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的计算公式旋度的计算公式:zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐标系直角坐标系圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波52旋度的有关公式旋度的有关公式：0()(
39、)()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波53SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢
40、量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波5412d=d+dCCCFlFlFl1111dCFlrot FdSFdS 2222dCFlrot FdSFdS 12dCFlFdSFdS SCSFlFdd曲面的曲面的剖分剖分第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波553()()(),0 xyzRe xxeyye zzRRRDRR例题:已知求矢量在处的旋度333555:3()()()()3()()()()3()()()()
41、xyzxyzeeeDxyzxxyyzzRRRzzyyzzyyeRzzxxzzxxeRyyxxyyxxeR 解第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波564、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波571、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢
42、量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波582、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场0
43、dClF性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波59（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：0dSSF0 F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF()0FA 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电
44、磁场与电磁波电磁场与电磁波60（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分()()()()()lCF rF rF ru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 02 u0F 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波611.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u概念概念：2()uu 2 拉普
45、拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波62 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F概念概念：2()()FFF 2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，22()iiFF直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：22()FF(,)ix y z第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波
46、电磁场与电磁波632.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场满足下列等式。那么，可以证明该两个标量场满足下列等式。根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上的方向上的偏导数。偏导数。n以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,ne2 ()ddVSVSn 2 ()ddVSVS 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教
47、授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波642:dd:d()d()ddddnSVVVnnSSSSFSF VFF VVFSF eSeSS 证明令得到因为2 ()ddVSVSn 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波65基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。格林定理说明了区域格林定理说明了区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。场的求解问题。此外，
48、格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。22 ()d(-)dVSVS 22 ()d(-)dVSVSnn 第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波6622 ()d(-)dVSVS 2 2 22 :()dd()dd()d(-)dVSVSVSVSnVSnVSnn 证明相减第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场
49、与电磁波67亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为表示为 )()()(rArurF式中：式中：VrrrFruVd)(41)(VVrrrFrAd)(41)(亥姆霍兹定理说明：在无界空间区亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第1章 矢量分析王喜昌教授编写王喜昌教授编写电磁场与电磁波电磁场与电磁波68有界区域有界区域SVrrSrFVrrrFrud)(41 d)(41)(SVrrSrFVrrrFrAd)(41d)(41)(在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。
