1、本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 1.1.标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，
2、常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。AzzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxyxyzeee、分别是直角坐标分别是直角坐标x、y、z的单位
3、矢量的单位矢量（1）矢量的加减法矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律（2 2）标量乘矢量标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekA
4、ekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/A BAB（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则（5 5）矢量的混合运
5、算矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()AB CCA BBCACBABCACBA)()()(分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1 1.2.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组
6、成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。1、直角坐标系、直角坐标系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面）o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直
7、角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd 2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zreee z位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量221,cossincossinsincossincos zzzxyxxyyzzzzyxytgzzxeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee e
8、eee ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr 3、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元,r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rre ree位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量2222211sincos sinsin cos,sincossinsincoscoscoscos sinxyzxyxyzxyyxyztgtgzxeeeeeeeeeeeeeeeesinsincoszxyee
9、ee sincosscossinsinsins sincoscossin 0 sin cos xyzeee coeeee coeeeeeeeeeeeee sincoseee 1.3 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为
10、：时变标量场和矢量场可分别表示为：、),(tzyxu),(tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxu),(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：1.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等
11、值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。2.方向导数方向导数意义意义：方向性导数表示场沿空间某方向的变化率：方向性导数表示场沿空间某方向的变化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念概念：l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加；
12、l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小；l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向性导数既与点：方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。l式中式中：coscoscos、梯度的表达式梯度的表达式：zueueueuz1圆柱面坐标系圆柱面坐标系 ureurerueursin11球面坐标系球面坐标系zueyuexueuzyx直角面坐标系直角面坐标系 3、标量场的梯度、标量场的梯度（或或 ）g
13、raduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念：，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuelmax luugrad ual 普遍定义，与普遍定义，与坐标无关！坐标无关！直角坐标系中梯度的表示式直角坐标系中梯度的表示式 利用方向导数的计算公式利用方向导数的计算公式()(coscoscos)cos xyzxyzluuuuaaalxyzaaaG aG由上式由上式可见，当可见，当 与与 方向一致时，方向导数值方向一致时，方向导数值最大，为最大，为 。的方向就是取得最大方向导数的的方向就是取得最大方向导数
14、的方向。于是有方向。于是有GlGGG xyzuuugrad uGaaaxyz为为方便，引入哈密顿算符方便，引入哈密顿算符 xyzaaaxyz 于是，梯度可以表示为于是，梯度可以表示为 grad uu 标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uu
15、fufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）例例1.1 设设222)()()(zzyyxxR求：求：)1()1(RR和解：对复合函数求梯度，应用公式解：对复合函数求梯度，应用公式(5)有有22221)(1()(1(1)1()1(RaRRRzRayRaxRaRRRRRdRdRRzyx2221)(1()(1()1()1(RaRRRzRayRaxRaRRRdRdRRzyx结论：对源点的梯度与对场点的梯度等大反向。即结论：对源点的梯度与对场点的梯度等大反向。即)1()1(RR 例例1.2.1 设一
16、标量函数设一标量函数 (x,y,z)=x2y2z 描述了空描述了空间标量场。试求：间标量场。试求：(1)该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；度方向的单位矢量；(2)求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 el=ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向方向的方向导数，并以点导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。以比较，得出相应结论。解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为表征其方向的单位矢量表征其方向
17、的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向方向的方向导数为导数为211(22)()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy 22()()xyzPPxyzyxze+e+e(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl(1,1,1)12 21222Pxyl对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为
