1、 第第8 8章章 电路的频率特性电路的频率特性学习导言学习导言江河滔滔而东下，苍鹰冲天而高翔；乐有序而和谐，弦一断而失音。类似地，电路中也有不同的选频特性，有的允许低频信号通过，有的允许高频信号通过。本章所研究的是电路自身的频率特性。知识点睛知识点睛学习本章，要掌握的知识点是：电路的频率特性的概念 滤波器的概念 低通、高通、带通滤波特性 串联谐振电路的特点 并联谐振电路的特点 本章目录本章目录8.1 应用示例应用示例共振是人们在机械、电子、建筑等领域经常遇到的一种物理现象。共振状态有时非常有害。如美国华盛顿州的塔科马大峡谷有一座著名的大桥，外号叫“奔腾的花鹿”。如图8-1（a）所示，它在一次大
2、风下因共振而扭垮。在电子系统中也有类似机械系统共振的例子。图8-1（b）为简单收音机的输入回路。它利用共振（谐振）传递信号。图8-1 8.2 频率特性的概念频率特性的概念8.2.1 网络函数与频率特性电路(网络)本身的性能是由电路的结构和参数决定的。在正弦稳态下，表征电路或系统的重要性能之一是网络函数(network function)，用H(j)表示，其定义为输入相量输出相量)j(H H(j)=H()ej()频率的函数 H()幅频特性 ()相频特性 1.RC低通网络图8-3 RC低通网络及频率特性曲线其网络函数(电压转移函数)：CRCRCUUHj11j1j1)j(12从而2)(11)(CRH
3、)arctan()(RC幅频特性相频特性当 ，=c称截止频率。)(707.0)(maxHHRC1c通带：0 c范围（低频通过）。网络函数的作用网络函数的作用在图8-3(a)所示电路中，设R=1k,C=1F，输人信号其中=103rad/s。根据叠加定理，响应uC(t)应为uS(t)的四个分量分别作用的结果。RC电路的网络函数为CRUUHSCj11)j(对于不同频率，H(j)的值分别为：输人相量(对应不同频率)：所以对应各频率的响应相量分别为最后得电路响应为由于网络的低通特性，虽然输人信号的各分量幅度相同，但输出信号频率较高分量的幅度却被大大抑制(衰减)了。2.RC高通网络图8-5 RC高通网络的
4、频率特性曲线其网络函数(电压转移函数)：)(12)(j1jj1)j(jeHCRCRCRRUUH式中2)(1)(CRCRH)arctan(2)(RC该RC网络选择高频信号通过(高通网络)。C=1/RC为高通特性的截止频率。在图8-6所示RC高通网络中，给定四种幅度相同、频率不同的输入信号，其输出信号随着频率的升高，正弦分量的幅度不断加大。当容抗近似为零时，输出幅度达9.87 V。这是高通网络的特性所使然。图8-6 RC高通网络特性示例8.2.2 波德图的概念将频率特性的纵、横坐标采用对数刻度，特性曲线可以用折线近似，而且可以在很宽的频率范围内较完整地画出曲线。这种用对数坐标画出的幅频和相频特性称
5、为波德图(Bode图)。工程上，幅频特性取对数后以分贝(dB)作为单位，并称为增益，用G表示，即G=20lgH()dB（分贝）H()与G(dB)的对应关系 如RC低通网络中，得 2c)(11)(H 所以)(1lg10)(lg202cHG 当 10c时，)lg(20cG对特定频率 =10c时，G=20 dB =100c时，G=40 dB由上可得波德图如图8-7所示。图8-7 RC低通网络的波特图8.2.3 滤波器的概念滤波器是具有频率选择作用的网络。滤波器的种类很多，如按通带的位置来划分，可分为低通、高通、带通、带阻四类：低通（低通（low-pass）滤波器）滤波器通带在0 c，角频率高于c时是
6、阻带。高通（高通（high-pass）滤波器）滤波器通带在c ，角频率低于c时是阻带。带通（带通（band-pass）滤波器）滤波器通带在c1 c2之间，角频率低于c1或高于c2时都是阻带。带阻（带阻（band-reject）滤波器）滤波器阻带在c1 c2之间，角频率低于c1或高于c2时都是通带。这四种滤波器的理想特性如图8-9所示。图8-9 四种理想滤波器特性工程上还经常用LC元件组成各种滤波器。如图8-10(a)、(b)所示是低通滤波器，图8-10(c)、(d)为高通滤波器。图8-10 LC滤波器应用实例应用实例 8-1 可调低通滤波器图8-11为航天工程上实用的低通滤波器。它由4节不同截
7、止频率的II形结构组成。可通过开关控制对不同输入信号的滤波要求。图8-11 可调的低诵滤波器可洗择4个不同的截止频率观察思考观察思考作为思考，不妨介绍一下黄金分割点与半功率点。黄金分割点来源于数学上的斐波那契数列。该数列是由0,1,1,2,3,5,8,13,21,组成的。它的特点之一是前两个数相加等于第3个数，特点之二是它的前一个数除以后一个数的值无限趋近于0.618，如1/2=0.5,2/3=0.667，5/8=0.625，8/13=0.615，55/89=0.618。有的读者也许会问：为什么要把RC低通滤波器的截止频率定义为当幅度下降到最大值的 时的频率，而不定义在幅度下降到最大值的黄金分
8、割点0.618处呢？为回答这个问题，请读者计算，在0.707对应的截止频率处，负载得到的功率是=0时功率的多少倍?若截止频率定义在0.618对应处，负载得到的功率又是=0时功率的多少倍?1/28.3 典型网络的频率特性典型网络的频率特性8.3.1 低通频率特性图8-12 RLC 低通网络如图8-12所示，R一般为负载。它是一个RLC低通网络。在正弦稳态下，其网络函数CRLCRUUHj11jj11)j(12RLLCj)j(112LCRCLC11j)j(12所以 该函数的特点是分母出现(j)2，故称之为二阶电路，且其分子为常数，故H(j)具有低通特性。令频率 。若设 ，则 LC10CLR 020j
9、)(11)j(H20220)()(11)(H200)(1arctan)(其低通幅频特性和相频特性如图8-13所示。图8-13 RLC二阶网络的幅频、相频特性8.3.2 带通频率特性图8-14为一无源RC网络。图8-14 无源RC网络在正弦稳态下，其网络函数令0=1/RC，则所以图8-15为该RC带通网络的幅频特性和相频特性曲线。图8-15 RC带通网络频率特性曲线应用实例应用实例8-2 低音音调控制电路一台高质量的音响设备通常都有音调控制器调节。它的作用是对低音频区域或高音频区域的增益进行提升或衰减，使音响设备的幅频特性保持优良状态，使声音柔和动听。图8-16（a）即是一种低音音调控制电路。通
10、过调节电阻R1，可以得到图8-16（b）所示的幅频特性。图8-16 低音音调控制电路及特性实际中，若希望对低音和高音同时能够控制，可采用图8-17的电路。图8-17 一种高、低音音调调节电路观察思考观察思考1.图8-18为一带阻滤波器电路，试从物理概念说明滤波原理。图8-18 RC带阻滤波网络2.图8-19为常用的几种石英晶体滤波器。它们体积小，性能稳定，在滤波器、振荡器电路设计中广泛应用。图8-19 8.4 串联谐振电路串联谐振电路8.4.1 谐振条件与特性在RLC串联电路中，若调整电路参数后使得阻抗为纯电阻性，则称该电路发生了串联谐振(series resonant)。图8-20是串联谐振
11、电路的示意图。图8-20 串联谐振电路电路总阻抗：XRCLRZj)1(j 若X=0，则Z为纯电阻性谐振 由 X=0，即 谐振频率谐振频率 CL1LCfLC21100，则频域变化频域变化 由于RLC串联电路阻抗的模为2222)1(CLRXRZ故电流有效值(为频率的函数)为2222SS)1()(CLRUXRUZUIS谐振阻抗谐振阻抗 RZ 0谐振电流谐振电流 RUIIS0图8-21 RLC串联电路的频率特性曲线谐振时，电路中感抗或容抗吸收的无功功率与电阻吸收的有功功率之比称为电路的品质因数(quality factor)，用字母Q0表示，即RCLRCRRLRILIQ1100200200有功功率无功
12、功率式中，称为电路谐振时的特征阻抗。CLCL001即谐振电压谐振电压 S0S000jjjUQRULILULS00S00jj1jUQCRUICUCS0UQUUCL例例8-1 在图8-20所示的RLC串联电路中，假设信号源电压有效值US=1 mV，频率f=2 MHz，回路的电感量L=30 H,Q0=40。若用调节电容C的办法使电路对信号频率谐振，试求谐振时的电容量C、回路电流I0和电容上的电压UC。图8-20 串联谐振电路解解 谐振时，电容为回路中的电阻所以回路电流(谐振时的电流有效值)电容上的电压有效值例例8-2在图8-22所示电路中，若R=1，L=2H，C=50pF，=250 mV，试求电路的
13、谐振频率，品质因数和电容两端的电压。SU图8-22 例8-2图解解 谐振频率 品质因数MHz9.15H105010221211260LCf2001050102112600CLRRLQ 电容上电压有效值V5mV25200S0CUQU8.4.2 频率特性这里先以收音机的输入回路为例介绍选择性(selectivity)的概念。收音机输入回路的模型如图8-23所示。各个不同频率的广播电台所发射的无线电波，都会在接收线圈中产生感应电压，并产生一定的电流。调节电容C，使回路与某个频率输入信号产生谐振，这样能在电感两端得到这个频率的较高电压。称为电路的选择性。图8-23 收音机的输入回路为了说明电路选择性的
14、好坏，必须研究谐振回路中电流(或电压)的大小和频率的关系，即频率特性。以图8-24 来说明。图8-24 RLC串联回路在图8-24中，若取电阻R上的电压为输出，则网络函数)1Rj(11)1j()j(S2RCLCLRRUUH 其幅频特性 因 ，代入上式可改写为 CRRLQ0001)(j11)j(000S2QUUH20020S2)(11)()(QUUH 因为U2()=RI()，I0=，代入上式又可以得到 RUS200200)(11)(QII 或者200200)(11)(ffffQIfI (8-22)例例8-3 今有一串联谐振电路，回路的品质因数Q0=100，回路对接收的信号频率2 MHz调谐，加至
15、回路的信号电压为10 mV。现有一干扰电压加至回路也为10 mV，干扰频率为2.05 MHz。试问在回路中产生的信号电流与干扰电流相差多少?解解 由题意知，电路的谐振频率f0=2MHz，而对f=2.05MHz电路失谐。因信号电压与干扰电压均为10 mV，这相当于电压未变而改变频率的情况。利用式(8-22)可得即信号电流约是干扰电流的5倍，这就体现了谐振电路对信号的选择作用。通频带通频带谐振曲线下降到最大值的0.707倍时的频率范围。如图8-26所示。或0012Qffff0012Q图8-26 通频带示意图应用实例应用实例8-3 电子音乐信号的合成与选择我国于1970年4月24日发射的“东方红一号
16、”人造卫星向地球发回的电子音乐信号由 9个不同频率的音节组成。这些信号是被调制到20.009 MHz的载波频率fa上向地球发射的，合理地选择谐振电路的通频带，就可以选出音乐信号。图8-27为其原理图。图8-27 选频电路原理8.5 并联谐振电路并联谐振电路8.5.1 并联谐振图8-28是最简单的RLC并联电路。图8-28 并联谐振申路利用与串联谐振电路的对偶性，其总导纳BGLCRYj)1(j1 当B=0，则 与 同相，电路谐振。USI由则谐振频率谐振频率 LC1LCfLC21100，谐振阻抗谐振阻抗 S001IRURZRY，CRLRRULUQ00200200/有功功率无功功率谐振电流 品质因数
17、 S00S00jjjIQLIRLUILS0S000jjjIQICRUCICS0IQIICL所以例例8-4 图8-30所示的RLC并联电路中，若 5k,100H,400pFRLC电流源IS=2mA。当电源角频率为多少时，电路发生谐振？求谐振时各支路电流和电路两端的电压Uo。图8-30 例8-4图解解 为使电路谐振，电源的角频率应为这时谐振阻抗Z0=R=5 k，所以电路两端的谐振电压有效值为流过电阻R的电流有效值为电路的品质因数为所以电感和电容支路的复电流分别为在实际工程中经常遇到如图8-31所示的谐振电路，其中r通常为LC回路总的损耗电阻。因电路图6-33中总阻抗)1j()j(j12121CLr
18、LrCZZZZZ若L r，则)1j(1)1j(LCLCrCLrCLZ导纳Y为)1j(LCLCrY图8-31 实际的并联谐振电路故从图8-31所示电路可等效为图8-32所示电路。这时谐振阻抗CrLZ 0图8-32 并联谐振电路的等效电路品质因数例例8-5 如图8-33(a)所示电路，求谐振时电压U0和IC。图8-33 例8-5图解解 首先作出图8-33(a)的等效电路，如图(b)所示。由电路参数，得 s/rad10s/rad10100101001171260LCk11010010670L 谐振阻抗 考虑电源内阻RS的影响后，等效的谐振阻抗k50SSRRRRRk1000CrLRZ 由于 mA1mA
19、100100SSSRUI 故谐振时电压有效值U0=IS R=1 50 V=50V 电容支路的电流有效值IC=0CU0=107 100 1012 50=0.05A=50mA 或者，考虑电源内阻后电路的等效品质因数为 也可以求得IC=Q0 IS=50 1 mA=50mA5015000LRQ8.5.2 频率特性如图8-34(a)所示的RLC并联电路图8-34 并联谐振电路及其频率特性曲线若以R中的电流 为输出，则网络函数 2I)j(11)1j(11)j(S2LRCRLCRRIIH 考虑到 ，则上式可改写为 CRLRQ000)(j11)j(000S2QIIH 与串联谐振电路相似，其幅频特性20020S
20、2)(11)()(QIIH 因为 ，故又得RUIRUI0S2)()(，200200)(11)(QUU重点采撷重点采撷 电路的频率特性(频率响应)是电路性能在频域中的重要表现形式。一般由幅频特性H()和相频特性()共同确定。滤波器就是根据幅频特性的不同选频能力而分类的。简单RC低通和高通电路的网络函数形式分别为 重点采撷重点采撷 二阶电路的三种网络函数形式：低通函数：带通函数：高通函数：以上各式中K、a、b均是由各电路元件参数决定的常数。重点采撷重点采撷 在RLC串联谐振电路中，谐振时因谐振阻抗最小(Z0 =R)，从而回路电流最大。谐振条件：品质因数：L、C上电压：通频带：重点采撷重点采撷 与以上对偶，在RLC并联谐振电路中，谐振时因谐 振阻抗最大，从而谐振电压最大。谐振条件：品质因数：L、C上电流：通频带：分析网络特别是滤波器的频率特性时，一种快速的方 法是使用MATLAB仿真软件通过计算机求解。
