1、第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析第第1次课次课内容：内容：目的要求：目的要求：1.理解正弦量的三个参数，相位和相位差，相量理解正弦量的三个参数，相位和相位差，相量的概念的概念2.熟练掌握正弦量的相量表示方法和基尔霍夫定熟练掌握正弦量的相量表示方法和基尔霍夫定律的相量形式律的相量形式。7-2 复数复数 正弦量的相量形式正弦量的相量形式 7-3 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式作作 业：业：P193 7-4 7-6 7-10 7-1 正弦量的三个参数，相位和相位差正弦量的三个参数，相位和相位差第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 从本章开始，我们研究线性动态电路
2、在正弦从本章开始，我们研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频线性时不变动态电路在角频率为率为的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为电路中全部电压电流都是角频率为的正弦波时，的正弦波时，称电路处于正弦稳态称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路。满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析l 正弦电流电路正
3、弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。路或交流电路。（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。分重要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析（2 2）正弦信号是
4、一种基本信号，任何变化规律复）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf 对正弦电路的分析研究具有重要的对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。理论价值和实际意义。第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析一正弦交流电的三要素一正弦交流电的三要素)cos()(umtUtu 一般，可表示为一般，可表示为tiO/T)cos()(imtIti 瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(t+)tiO 2第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析一正弦交流电三要素一正弦
5、交流电三要素（一）（一）表示快慢的参数表示快慢的参数1.周期周期（T）(periodicity)正弦交流变化一周期所需时间。正弦交流变化一周期所需时间。单位单位:秒秒(s)、毫秒、毫秒(ms)、微秒、微秒(s)smss6310101 2.频率频率(f)(frequency)一秒钟内正弦量变化的周数。一秒钟内正弦量变化的周数。HzKHzMHz6310101 单位：赫兹单位：赫兹(Hz)(Hz)T与与 f的关系：的关系：Tf1 fT1 或或tiO/T tiO 2第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析一正弦交流电三要素一正弦交流电三要素3.角频率角频率(angular frequency)每
6、秒变化的角度每秒变化的角度(弧度弧度)，反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。单位：单位：rad/s ，弧度弧度/秒秒例：市电例：市电Hzf50 02.0501 T 秒秒sradf/3141002 电网频率电网频率收音机中频段频率：收音机中频段频率：移动通信频率：移动通信频率：无线通信频率：无线通信频率：第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析(二二)表示大小的参数表示大小的参数1.最大值最大值Im(Amplitude)(振幅、振幅、幅值幅值)反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。，峰值总为正。，峰值总为正。2.有效值有效值（I、V）电流有效值电流有效值定义为：定义为：瞬
7、时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。有效值也称有效值也称方均根值方均根值(root-mean-square value，简记为，简记为 rms。)(1)周期电流、电压的有效值周期电流、电压的有效值(effective value)定义定义 TttiTI02defd)(1第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析物理意义：物理意义：周期性电流周期性电流 i 流过电阻流过电阻 R，在一周期，在一周期T 内吸收的电内吸收的电能，等于一直流电流能，等于一直流电流I 流过流过R,在时间在时间T 内吸收的电能，内吸收的电能，则称电流则称电流 I
8、 为周期性电流为周期性电流 i 的有效值。的有效值。W2=I 2RTRi(t)TtRtiW021d)(TtRtiRTI022d)(TttiTI02d)(1RI同样，可定义同样，可定义电压有效值电压有效值：TttuTU02defd)(1第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析(2)正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imsin(t+)ttITITd )(cos1022m TtttttTTT2121d2)(2cos1d )(cos 0002 IIIITITI2 707.0221 mmm2m )cos(2)cos()(m tItIti TttiTI02defd)(1注意
9、注意:只适用正弦量只适用正弦量第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最
10、大值考虑。考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I,im第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析（三）（三）表示初始状态的参数表示初始状态的参数 初相位初相位 (initial phase angle)t相位：相位：tiO/Ti(t)=Imcos(t+)初相位初相位(initial phase angle)：0 t时的相位时的相位表示正弦量随时间变化的表示正弦量随时间变化的进程进程,称之为相位角。它的大小称之为相位角。它的
11、大小决定该时刻正弦量的值。决定该时刻正弦量的值。Im tiO 2 它反映了正弦量初始值的大小。它反映了正弦量初始值的大小。cos)(0mtIti 第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析例例 1.302t 30初相位为初相位为 t 1初相位为零初相位为零 303t 30初相位为初相位为 tiO2 tiO30300 02 tiO30300 02 i(t)=Imcos(t+)0,曲线左移（纵轴右移）曲线左移（纵轴右移）0，u 领先领先(超前超前)i 角，角，或或 i 落后落后(滞后滞后)u 角角(u 比比 i 先到达最大值先到达最大值)；180,采用（采用（2-）来）来表示相位差角表示相位差
12、角 第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析例例 4.计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)()30 100cos(10)()1(0201ttitti)45 200cos(10)()30 100cos(10)()2(0201ttuttu)30 100cos(3)()30 100cos(5)()3(0201ttitti解解000135)105(30 000120)150(30 )105100cos(10)(02 tti 不能比较相位差不能比较相位差21 )150100cos(3)(02 tti 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、两个正弦
13、量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。同符号，且在主值范围比较。第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析)1(j为为虚虚数数单单位位 Ab+1+jaOA=a+jbAb+1+jaO|A|jbaA|AeAAj)sin(cos|sin|cos|jAAjAA sincosjej 第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标若若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2+1+jO加减法可用图解法。加减法可用图解法。例例10.3-1?2510475 )226.4063.9()657.3
14、41.3(2510475jj 569.047.12j 61.248.12 解解:第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析(2)乘除运算乘除运算极坐标极坐标若若 A1=|A1|1 ，A2=|A2|22121)j(212j2j1221121|e|e|e|211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:)(2121212121 jjjeAAeAeAAA2121 AA第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析例例10.3-2?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解：上式解：上式2.126j2.180 04
15、.1462.203.56211.79.2724.19 16.70728.62.126j2.180 329.6j238.22.126j2.180 365.2255.132j5.182 第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1.1.问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：方程运算：22dd()ddCCCuuLCRCuu ttt)cos(2111tIi)cos(2222tIi下 页上 页RLC+-uCiLu+-返 回第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析i1i1
16、+i2 i3i2角频率角频率同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数下 页上 页I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位变换的思想变换的思想 t ii1 i2oi3返 回第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值(或最大值或最大值)就行了。于是想到复数，就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正复
17、数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。使计算变得较简单。第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析一、一、正弦量的相量表示正弦量的相量表示复函数复函数)j(e2)(tItA没有物理意义没有物理意义 若对若对A(t)取取实实部：部：是一个正弦量，是一个正弦量，有物理意义。有物理意义。)Icos(2)(Re ttA对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：的复指数函数：2Re)(Re )cos(2)(
18、tjIetAtIi)sin(2j)cos(2 tItI第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析加一个加一个小圆点是用来和普通的复数相区别小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正强调它与正弦量的联系弦量的联系)，同时也改用，同时也改用“相量相量”，而不用，而不用“向量向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦表示一个正弦量量。)cos(2)(IItIti )cos(2)(UUtUtu 称称 为正弦量为正弦量 i(t)对应的相量。对应的相量。II正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的
19、幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样同样,正弦电压与相量的对应关系：正弦电压与相量的对应关系：A(t)还可以写成还可以写成tteIItA j j2ee2)(j 复常数复常数8-11 有效值相量有效值相量MMUUII21,21 )cos(2)cos()(iiMtItIti 对对)(ti取其相量取其相量 ijIeI .ijMMeII .MII21 有效值相量有效值相量最大值相量最大值相量第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析解解：A)15314cos(250 ti例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。.50Hz A,1550 fI已已知知已知已知例例
20、1 1试用相量表示试用相量表示i,u.)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4.141oo uti解解：V60220A30100oo UI8-11 有效值相量有效值相量例例 3 3Attio)60314cos(5)(1 Attio)60314sin(10)(2 Attio)60314cos(4)(3 解：解：)(07.5377.16054.325601.AeIojo AttAtti)150314cos(10)1809060314cos(10)60314sin(10)(000002 AeIoj1502.210 AeIooojo12083.21806083.224603.写出各电
21、流的相量。写出各电流的相量。8-11 有效值相量有效值相量jjej 2sin2cos,22 jjej )2sin()2cos(,221)sin()cos(,jej故故+j,j,-1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0II j I j I 8-11 有效值相量有效值相量 )cos(2iiIItIi j2Re 2Redddd j jtteIe IttitteIte Iti j jj2Re d 2Red微分运算微分运算 积分运算积分运算2 jddiIIti2 jdiIIti下 页上 页返 回正弦量的微分、积分运算正弦量的微分、积分运算8-
22、11 有效值相量有效值相量例例 )cos(2)(itIti d1dd)(tiCtiLRitu用相量运算：用相量运算：jjCIILIRU把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下 页上 页Ri(t)u(t)L+-C相量法的优点返 回8-11 有效值相量有效值相量 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析
23、正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图下 页上 页注意不不适适用用线线性性线线性性12非非线性线性返 回第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析二、二、相量运算相量运算(1)同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1 i2=i3321 IIIa b=clga +lgb=lgc这实际上是一种这实际上是一种变换思想变换思想)2(R)cos(2)()2(R)cos(2)(j2222j1111tteUetUtueUetUtu )(2(R)22(R )2(R)2(R)()()(j21j2j
24、1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututu U21UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系为：第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析309.10例例4 Ati)30cos(1021 ，Ati)30cos(522 求求 21iii？+1+j1I2II30AeIij 301110解解 1.代数运算代数运算AeIij 302250303021510jjeeIII )30sin(5)30cos(5)30sin1030cos10(jj)5.233.4()566.8(jj A5.2j99.12 Aej 89.1022.13Atti)89.10cos(22.132)(2.几何
25、作图几何作图 第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析例例5V)60314sin(24)(V )30314sin(26)(o21 ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604 V 306o2o1 UUV )9.41314sin(264.9)()()(o21 ttututu60430621 UUU+1+j301U9.41U+1+j9.41301U602UU首尾相接首尾相接46.32319.5jj 46.619.7j V 9.416
26、4.9o 602U第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8-4 8-4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式一、一、KCL的相量形式的相量形式 0 0)(Iti上式表明：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL。i1i4i2i3令流出为令流出为“+”(支路电流背离节点支路电流背离节点)i1+i2i3i4=0例例1其相量其相量04.3.2.1.IIII8-4 8-4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式i3i1i2例例2 已知已知)60cos(210)(1otti tti sin25)(2 Ato)90cos
27、(25 求求?3 i解：解：AeIoj 601.10AjeIoj55902.566.85510602.1.3.jjjeIIIoj Attio)2.36cos(2.62)(3 tti sin25)(2 Ao2.362.6 8-4 8-4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式二、二、KVL的相量形式的相量形式 0 0)(Utu任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。acb例例3 Vtuoab)60cos(10 VtVtuoobc)30cos(8)120sin(8 求求?acubcabacuuuVUUUooobcabac5.6704.530
28、86010.Vtuoac)5.67cos(04.5 解：解：第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：GuiRiuui :0 :KVL 0 :KCL :或或元件约束关系元件约束关系电阻电路电阻电路 :0 :KVL 0 :KCL :UYIIZUUI或或元件约束关系元件约束关系正弦电路相量分析正弦电路相量分析可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的用于正弦稳态的相量分析相量分析中。中。
