1、 安徽省合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测 数学试题（理） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知 为虚数单位，则复数 的虚部为( ). A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】,故虚部即为 i 的系数，为-2，故选 D。 2.集合 ，则=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解得集合， 所以，故选 C。 3.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为( ). A. 63 B. 47 C. 23 D.
2、7 【答案】C 【解析】n=15,i=2 不满足条件，继续循环，得到 n=11,i=3 不满足条件 ,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出 循环，输出 n，即可。故选 C。 4.已知正项等差数列的前 项和为()，则的值为( ). A. 11 B. 12 C. 20 D. 22 【答案】D 【解析】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得 ，所以结合，可得，故选 D。 5.已知偶函数在上单调递增，则对实数 ，“”是“ ”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在
3、 单调递增,得到,故可以推出.举特殊例子,但是 ,故由无法得到 ,故 是 的充分不必要条件,故选 A. 6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联 网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ). 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生. A. 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90
4、后比 80 后多 【答案】D 【解析】A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确；B 选项，技术所占比例为 39.65%,故正确； C 选项，可知 90 后明显比 80 多前，故正确；D 选项，因为技术所占比例，90 后和 80 后不清楚，所以不一 定多，故错误。故选 D。 7.平面 外有两条直线 ， ，它们在平面 内的射影分别是直线 ， ，则下列命题正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 和 相交，则 和 相交或异面 【答案】D 【解析】A 选项，若，则 m 不一定垂直 n，可能 m,n 的夹角为钝角或者锐角，故错误；B 选项，若， 则 a 不一定垂直 b，可
5、能 a,b 夹角为钝角或锐角，故错误；C 选项，若 m 平行 n，则 a 与 b 可能异面，故错误； D 选项，若 m 和 n 相交，可能 a 在 b 的上方，此时异面，a 与 b 也可能相交，故正确。故选 D。 8.若展开式的常数项为 60，则 值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为展开式的通项为， 令，则，所以常数项为，即，所以. 故选 D 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。 【详解】结合三视图，还原直观
6、图，得到 三棱锥 P-ABC 即为该几何体，结合题意可知 AB=4，AC=2，高 h 为 2，故体积为 ，故选 C。 10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为 1，2，3，4，5 的五个小球，每 次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中 奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相 同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为，第二种情况对应概率为 ，所以概率为，
7、故选 C。 11.设双曲线( )的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点 ，连结，若，则双曲线 的离心率为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】结合题意可知,设 则结合双曲线的性质可得, 代入,解得,所以, 对三角形运用余弦定理,得到 ,解得 故选 B. 12.已知函数有两个不同的极值点 ，若不等式恒成立，则实数 的取 值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】计算导数得到，结合构造新函数得到 要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且 ，则，解得，而 ，构 造新函数，计算导数得到，结合前面提到的 a 的范围可知在单调递增， 故，因而，
8、表示为区间则是，故选 A。 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22 题、第题、第 23 题题 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.设满足约束条件 ，则的取值范围为_. 【答案】 【解析】结合不等式组,绘制可行域,得到 转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到 A 点,z 取到最小值，为-1，运动到 C 点，z 取最 大值，为-6，故 z 的范围为 1
9、4.若非零向量满足，则 _. 【答案】1 【解析】结合可知，得到 15.在锐角中， ，则中线 AD 长的取值范围是_. 【答案】 【解析】设，对运用正弦定理，得到 ，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组 ， 解得， 故， 结合二次函数性质， 得到， 运用向量得到， 所以 ，结合 bc 的范围，代入，得到的范围为 16.在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为 ，则 _. 【答案】 【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为 ,对面积求和设得到 , , 两式子相减,得到,解得 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演
10、算步骤 17.已知函数 . ()求函数的最小正周期； ()若，求 . 解：()， 函数的最小正周期为. ()由可得， . ，. 又， ， . 18.在四棱锥中， . ()若点 为的中点，求证：平面 ； ()当平面平面时，求二面角 的余弦值. ()证明：取的中点为 ，连结， . 由已知得，为等边三角形，. ， ， ，. 又平面，平面， 平面. 为的中点， 为的中点，. 又平面，平面， 平面. ，平面平面. 平面，平面. () 解：连结，交于点 ，连结，由对称性知， 为 的中点，且，. 平面平面， 平面，. 以 为坐标原点，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则 (0，0)， (3，0，0)
11、， (0，0，1). 易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则， ，. 令，得， . 设二面角的大小为 ，则. 19.每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣 传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了 100 人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠 时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图： ()求这 100 人睡眠时间的平均数 (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)； ()由直方图可以认为，人的睡眠时间 近似服从正态分布，其中 近似地等于样本平均数 ，近似 地等于样本方差，.假设该辖区内这
12、一年龄层次共有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于 区间(39.2，50.8)的人数. 附：.若随机变量 服从正态分布，则， . 解：() ； ()由题意得， ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间的人数约为(人)； 20.设椭圆( )的离心率为，圆与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处的切线被 椭圆 截得的弦长为 ()求椭圆 的方程； ()设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值； 若不是定值，请说明理由. 解：()设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的离心率为知， 椭圆 的方程可设为. 易求得，点在椭圆上， 解得，椭圆 的方程为. ()当过点 且与圆 相
13、切的切线斜率不存在时， 不妨设切线方程为， 由()知， ， ，. 当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为， ，即. 联立直线和椭圆的方程得， ，得. ， ， ， . 综上所述，圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点，都有. 在中，由与相似得，为定值. 21.已知函数( 为自然对数的底数). ()求函数的单调区间； ()若， ，试求函数极小值的最大值. 解：()易知，且. 令，则， 函数在上单调递增，且. 可知，当时，单调递减； 当时，单调递增. 函数的单调递减区间是，单调递增区间是. () ，. 由()知，在上单调递增， 当时，；当时，则有唯一解. 可知，当时，单调递减； 当时，
14、单调递增， 函数在处取得极小值，且满足. . 令，则. 可知，当时，单调递增； 当时，单调递减， . 函数极小值的最大值为 1. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分， 作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系中，曲线的方程为（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求，交点的直角坐标； （2）设点 的极坐标为，点 是曲线上的点，求面积的最大值. 解：()， ，. 联立方程组得，解得， 所求交点的坐标为，. ()设，则 . 的面积 当时，. 23.设函数. （1）若，求实数 的取值范围； （2）设，若的最小值为 ，求 的值. 解：()，即 或 ， 实数 的取值范围是. ()， ， 易知函数在时单调递减，在时单调递增， . ，解得.
