1、)()(),(41),(41020222dRezyxkdRezyxUkUjkRjkRdRekRezyxjkRjkR220),(41)(111111)(22RjkeReRReReeRReReRejkRjkRjkRjkRjkRjkRjkRjkR1)()()(323ReRRjkeRjkeRRjkRRReRReRRjkjkRjkRjkRjkRjkR证明：将U 的解代入波动方程左边，得由于ReRekRjkeReeRkeRkjjkRjkRjkRjkRjkRjkR121222222drrezyxdRezyxUkUjkRjkR)(4),(411),(41020220),(zyx所以dRezyxzyxUjkR)
2、,(41),(0因此是波动方程的解。JAkA022对于方程dRezyxJAjkR),(40利用分离变量方法可以得到其解为 r)(r 图101 滞后位 x y z S)(rP r R d o 2、滞后位、滞后位jkReRdzyxzyxdU),(41),(0体元 中电荷在 点处产生的电位复振幅为 d),(zyxP若电荷密度的振幅为 ，初相位为 ，则 处 t 时刻),(0zyx),(zyxP),(41Re),(00tjjkRjeeRdezyxtrdU)cos(4),(00kRtRdzyx00(,)cos()4x y z dkRtR 因此，P 点处 t 时刻的电位不是 t 时刻的源决定的，而是在此之前
3、 时刻的源电荷所产生。)(kRt)cos(4),(),(00kRtRdzyxJtzyxAdjezyxJJ),(0d如果 内是电流 ，则它在P 的产生的磁矢位为 可见，场点的位函数相位滞后于场源的相位。因此dRezyxJAjkR),(40dRezyxzyxUjkR),(41),(0jkRe称为滞后位滞后位。因子 称为相位因子相位因子。BA 00()AEUj Aj Aj 利用滞后位，可以求得辐射问题的电场和磁场10.2 赫芝偶极子辐射赫芝偶极子辐射 图102 赫芝偶极子)(tQ)(tQt lId dl 一个很短的直线电流元构成最简单的辐射天线，称为赫芝偶极子赫芝偶极子 Re)(tjeItI当线元
4、上有正弦电流 时，l dRe)(tjeQtQl dReIAljkR40RelIdAjkR40l djIlQdP)(线元两端将出现一对等值异号电荷这就构成了电矩矢量 根据滞后位计算式有所以，赫芝偶极子所产生的滞后磁矢位为 lId A 图103 赫芝偶极子的磁矢位 y z r A rA x reIdlAAzAjkrzz400sincosAAAAAzzr0sinsin111200rAArrrrrAHrjkrejkrjkrkIdl22)(11sin4考虑赫芝偶极子位于坐标原点且与z轴同方向的情况矢量磁位 在球坐标系里的各分量为A于是对应的磁场矢量为利用麦克斯韦第一方程可得电场矢量HjE01Hrrrrr
5、rjsin00sinsin11203220)(1)(1cos24jkrjkrrckIdljkrejkrjkrjkr32)(1)(11sin赫芝偶极子的辐射公式辐射公式说明：电磁场矢量不仅与距离 r 有关，而且也是极角的函数 电磁场的表达式包括若干项，每项之间相差一个因子(1/jkr)一、赫芝偶极子的近区场一、赫芝偶极子的近区场sin412rIdlH)sincos2(430rrIdljE)sincos2(4130rrp1、电磁场矢量、电磁场矢量2、电磁场性质、电磁场性质在满足r l 条件下，如果 k r 1，即 的区域 2/r1 jkrekr/1电磁场表达式中 的高次项起主要作用，而 jIdlp
6、/所以其中时变偶极子的近区场称为准静态场准静态场或似稳场似稳场。电场矢量与磁场矢量之间有的 相位差，故说明近区电场和磁场的主要能量只是相互转换，而没有向外辐射。20ReHES一、赫芝偶极子的远区场一、赫芝偶极子的远区场1、电磁场矢量、电磁场矢量2、电磁场性质、电磁场性质jkrerIdljEsin40jkrerjkIdlHsin4当 ，即 的区域称为远区。此时，远区电磁场的表达式中 的低次项起主要作用，结果只剩下 的一次项1kr2/rr1r1rHEHES21Re21Re22)()(sin22rIdlr远区场只有两个分量：和 ，并且相位相同EH能流密度平均值不为零，说明远区场形成电磁场能量沿 方向
7、运动，所以赫芝偶极子的远区场称为辐射场辐射场。r 坡印廷矢量平均值为 球面波 0000120()EHk00ReRe44ewE EE E00ReRe44HHH H0Re4mH Hwckvp00/1/r 远区电磁场运动方向为 ，等相位面为 r=C，是球面，称为球面波球面波。,EHS同时 三者方向为右旋系统，且 方向上无电磁场分量，所以又称为横电磁波横电磁波或TEM波波。r 波速波阻抗电场和磁场的平均能量密度相等，且能速度等于相速度。00111ReRe22ReRe22eEEE HSvwE EE EevevwS00011pv 能速度0Re2emwwwE E总能量因为所以三、赫芝偶极子的辐射功率三、赫芝
8、偶极子的辐射功率1、坡印廷矢量平均值、坡印廷矢量平均值)(2242)(1sin42121RekrrkIdlHES222sin221)(rIdlr有功能流密度是由电磁场分量的一阶项引起的，高阶项对此无贡献。2、平均辐射功率、平均辐射功率 ddrrSPsasin22022220sinsin221)(ddrrrIdlrdIdl032sin2221)(2)(3221Idl 赫芝偶极子把约束在导体周围的电磁能量转变为自由传播的电磁波，它构成一个基本辐射天线，称其为元天线元天线。讨论半径为r的球面上积分 Pa 称为赫芝偶极子的平均辐射功率平均辐射功率。由Pa的计算式可见，同样尺寸的偶极子，波长越短辐射功率
9、越大。3、辐射电阻、辐射电阻 aaRIP221222)()(8032dldlRa 辐射电阻是表征天线辐射本领的一个参数，Ra 越大，相同电流下辐射的功率越大。记则4、方向性函数、方向性函数max),(),(EEF辐射场表达式中因子 的存在，说明赫芝偶极子的辐射具有方向性。sin习惯上常把天线任意点电场的振幅与通过该点的球面上电场最大值之比，称为归一化方向性函数归一化方向性函数，简称方向性函数 z y x y x y E E E(a)(b)(c)元天线 图104 赫芝偶极子天线的方向图 z()sinF对于赫兹偶极子方向性函数为00000002k 00sinsin42mIdlIdlErr20401
10、223aaPPIdl0230sinsin40210amaPEPrr)mV(03.010012sin1.01030mE由此电场矢量的振幅可写成 因此 所以 W1.0,2,m100aPr将代入上式得 例10.1 已知赫芝偶极子的辐射功率 ，假设与偶极子垂直平面内距离 可视为远区场，求此处的电场强度。m100lmW100aP由平均辐射功率表达式得解：作变换10.3 线天线线天线 1 0 7 对 称 振 子 辐 射 场 计 算 用 图 l-l x y z o r R)(r P z d )(z I )0()(sin)0()(sin)(00zzlkIzzlkIzI天线由理想导体构成，两臂长均为l，中心馈电
11、，导体直径 2a ，略去由于辐射引起的分布电流畸变，高频电流沿导线的分布可近似表示为 1、对称线天线的辐射场、对称线天线的辐射场jkReRzdzIjEdsin4)(0振子上的正弦电流元 可以看作一个赫芝偶极子。它所产生的远区电场复矢量为zdzI)(考虑到远区场条件，用 r 代替R 对于振幅影响可以略去不计，而对相位影响表现在相位因子中，不能忽略，于是)cos()cos2(2122zrkz rzrkkRllzjkjkrzdezIerjEcos0)(4sin)cos()sin()sin(22cbxbcbxabaedxcbxeaxax)sin()sin(sin40cos0cos00zdzkklezd
12、zkkleerIjElzjklzjkjkrsincos)coscos(20klklerIjjkr所以对称振子上电流产生的远区电场是因此 2、半波振子天线、半波振子天线辐射场 图 1 0 8 半 波 振 子 的 方 向 图 z x ),(F 方向性函数sin)coscos(6020jkrerIjEEHHH,sin)coscos(),(),(2mEEF此时k l=/2，带入线天线电场表达式中得辐射电场 对应的磁场矢量为 半波天线的方向性函数为 当 2l =/2时，线天线称作半波振子天线221222022sin)cos(cos60212121Re21RerIEHEHES022202022212202
13、02sin)cos(cos30sinsin)cos(cos6021dIdrrdIPa例10.3 计算半波振子的辐射电阻辐射功率为上式的球面积分 辐射电阻解：半波振子的辐射功率流密度为 22200011cos13030ln2(2)22axPIdxICix积分得5772.00228.0)2(,cos)(0CidtttxCi73,21)73(212020aaaRRIIP式中 为欧拉常数，为余弦积分Ci因此，半波振子的辐射功率和辐射电阻分别为10.4 磁偶极子天线的辐射磁偶极子天线的辐射 磁偶极子：磁偶极子：一个半径远小于波长的电流环或 口面元电场源的等效。r R 图105 磁偶极子的辐射 x y z
14、 I o l r)(rP 实际的磁偶极子：半径 ，上面有均匀电流 ，则atIIcos0l dReIAljkR400)(1)(rRjkeeeejkrrRjkjkrjkRl dejkRjkrRIAjkrl)1(1400lljkrl djkRl dIejkr44)1(0001、磁矢位、磁矢位Rar对于远场情况 ，则所以有静磁偶极子静磁偶极子=0一、小电流环磁偶极子一、小电流环磁偶极子AH01323)(1)(1cos241jkrjkrremkjjkr32)(1)(11sinjkrjkrjkrHjE0130211sin4()jkrmk ejkrjkr2、电磁场、电磁场jkrerrmjkrA304)1()
15、()1(sin420arejkrrmjkr因此jkrermkHsin41220sin4jkrEmker磁偶极子的远区场为 3、辐射功率和辐射电阻、辐射功率和辐射电阻辐射功率 辐射电阻 422160mPa4)(20dRa4、方向性函数、方向性函数磁偶极子与电偶极子天线的方向性函数相同 磁偶极子与电偶极子天线方向图亦相同，但是电磁场的方向互换。()sinF5、辐射能力、辐射能力尺度相近磁偶极子的辐射能力远比电偶极子的辐射能力差。见例例10.2 mEJjH/E/mHHJjEJ二、利用对偶原理分析磁偶极子辐射场 引入虚拟的磁流与磁荷，mmJ将总场分解为电荷、电流产生的场和磁荷、磁流产生的场的叠加emE
16、EEemHHH并分别满足麦克斯韦方程组eeEjH/eE 0eHeeHJjEmmmEJjH 0mE/mmHmmHjE可以看出两组方程有如下对偶关系,eememmEHJHEJ 电偶极子产生的远区场磁流代表什么？12()SnHHJ磁偶极子产生的远区场jkrerIdljEsin40sin4jkrjIdlHer 0sin4jkrmjI dlHersin4jkrmjI dlEer 对于电流、电荷产生的场，不论在两种媒质或同种媒质的分界面两侧，第一方程的积分形式可以推出边界条件利用等效原理，令2区场为零，则1区的磁场辐射源可以用界面上的等效面电流密度表示1SnHJ同理，利用前面的对偶关系，1区的电场辐射源可
17、以用界面上的等效面磁流密度表示1mSnEJ 对于导体表面的反射面天线，表面处的电场为0，其辐射源仅有表面电流，设反射面法矢为z方向，磁场为y方向，取面积元dx dy，则等效电流为x方可以等效为一个沿x轴放置的电偶极子，对反射面积分，得天线总辐射场。向，对于口径面天线，口面处的磁场元等效为电偶极子，电场元等效为磁偶极 子()mSmnE dxdyJdxdyI dl()SnH dxdyJ dxdyI dl对口径面积分叠加，得天线总辐射场。可见，电偶极子和磁偶极子天线可做为分析所有线、面和口径天线的基础，故称之为元天线。10.5 天线的方向性系数和增益天线的方向性系数和增益1、方向性增益、方向性增益方
18、向性增益：反映不同天线在某一方向上辐射能量的集中程度。定义式a.当天线与一无方向性天线具有相同辐射功率时，天线在该方向上的功率密度与无方向性天线在相同距离上任意方向的功率密度之比；b.天线功率密度在全方向的功率平均值之比。sddrSrSsin41),D(22sdSS4 22max11Re(,)22ESEHrF),(),(maxFEEsdFF),(),(4),D(22利用 表示(,)F(,)D 根据 的定义式，任意方向电场幅值为(,)F 坡印廷矢量的时间平均值为所以2、方向性系数、方向性系数 场强（或功率）为最大的方向上的方向性增益称为天线的方向方向性系数性系数，记作D。它是天线的最大方向性增益
19、。1),(maxF),(4D2dF因为所以daainaaPPPPPDGa3、天线的效率、天线的效率假定天线的总输入功率为Pin，辐射功率为Pa，总损耗功率为Pd4、天线增益、天线增益 天线增益：天线最大辐射方向的能流密度与无损耗情况下各方 向的平均能流密度之比。方向性系数和增益都是功率与功率之比值，因此，工程上常用dB作为它们的计量单位，即lnG10GdBlnD10DdB和 f0主波瓣宽度主波瓣宽度5、波瓣图、波瓣图实用天线的方向图也称作波瓣图波瓣图。最大辐射方向相对应的波瓣称为主瓣主瓣，其余的称为旁瓣旁瓣。主瓣两侧辐射功率密度下降到最大辐射功率密度一半的方向间夹角，称为主波瓣宽度主波瓣宽度，
20、用 表示，习惯上也叫3dB宽度宽度。5.02E5.02H5.02对于微波天线常用 和 来分别表示E 面和H面的波瓣宽度。10.6 天线阵天线阵 2r 1 图109 二元天线天线阵轴线 天线1 天线2 d 2 1r cosd P 将许多天线（阵元）有规则地排在一起就构成天线阵天线阵。阵元为同一类天线，取向相同，阵元天线间距离为d，1、二元天线阵、二元天线阵dr 1dr 212rr 2121,cosrrdjemII12coskd)1(121jmeEEEE它们与场点距离分别为 r1 和 r2。在远场条件下 ，幅度系数中令 相位系数中 令两天线上电流大小和相位关系为 天线2的辐射波到达P点时，较天线1
21、的辐射波超前相位 于是，合成电场的复振幅为 2、N 元天线阵元天线阵 均匀直线天线阵均匀直线天线阵：天线阵各阵元有相同的取向和等距离排成一条直线，电流大小相等，相位则以均匀的比例递增或递减。NEEEE211)1)21NjjjeeeE设 N 元均匀直线式天线阵阵元之间距离为d，相位差为 。令 ，则合成电场复振幅为 coskd1211sin121sin2NjNjjNeEEE ee2sin2sin0NEE 利用等比级数公式，可得 中心阵元与阵元1之间的相位差故用中心阵元表示的合成电场为 阵因子阵因子当相邻阵元在远区的电场复振幅相位差 时 0coskd0002sin2sin2sin2sinlimddN
22、ddNNNN002cos212cos2可见，时，阵因子达到它的最大值N。02sin2sin1NNkdmcos阵因子可用罗毕达法则可求得 所以，直线天线阵的归一化阵因子归一化阵因子为 根据 ，可知阵因子达到最大时的方向由下式决定 coskd),3,2,1(2)12(nnm对于振子电流相位相同的线性直线天线阵，有 ，所以最大辐射方向为 ，故00cosm即与轴线垂直的方向上，天线阵辐射最大，故称为侧射式天线阵侧射式天线阵。相控阵天线相控阵天线 kdmcos可知：改变馈电电流之间相位差 ，就可改变天线阵的最大辐射方向 。若连续改变 ，就可以实现天线波束的空间扫描，这就是相控阵天线的工作原理。m根据表达
23、式2cos2cos kd)(4cos4cos2cos2sinsin212sin2sin1NNcos(cos)2(,)coscossin44()F 在xy平面里 ，其方向性函数为2(,)coscos44()xyF 2cos(sin)(,)coscoscos44()F 例10.5 假设由半波天线组成的二元天线阵阵元之间距离 ，阵元电流之间相位差 ，两阵元在 x 轴上平行于 z 轴放置。试求该天线阵的方向性系数。24d解：这种情况下 归一化阵因子变成 天线阵的方向性函数为 2/在xz平面里 ，其方向性函数为 图1010 二元半波天线阵的方向图)2/,4/(d(a)阵因子（b）xy平面（c）xz平面里=
