1、 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷 数学数学理科理科 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合 4 0 2 x Ax x Z， 1 24 4 x Bx ，则AB（ ） A12 xx B1,0,1,2 C2, 1,0,1,2 D0,1,2 2已知a是实数， i 1i a 是纯虚数，则a等于（ ） A2 B1 C2 D1 3“0a”是“函数( ) |(1) |f xaxx在区间(0,)内单调递增”的（ ） A充分而不必要条件 B必
2、要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为 （ ） A2 B3 C5 D 5 2 5若221 mn ，则（ ） A 11 mn B 11 22 loglogmn Cln0mn D1 m n 6已知平面向量a，b，满足 1, 3a，3b，2aab，则ab（ ） A2 B3 C4 D6 7执行右边的程序框图，输出的2018lnS,则 m 的值 为（ ） A2017 B2018 C2019 D2020 8据统计，连续熬夜 48 小时诱发心脏病的概率为0 055， 连续熬夜 7
3、2 小时诱发心脏病的概率为019，现有一人已连续 熬夜 48 小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜 24 小时不 诱发心脏病的概率为（ ） SS i1 i 1 x dx 开始 否 im？ 结束 是 i1，S0 ii1 输出 S A 6 7 B 3 35 C 11 35 D019 9已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 1 63 B1 12 C 1 123 D 1 43 10 将 2 s i n22 c o s 21f xxx的图像向左平移 4 个单位， 再向下平移 1 个单位， 得到函数 yg x 的图像，则下列关于函数 yg x的说法错误的是（ ） A函数 yg x的
4、最小正周期是 B函数 yg x的一条对称轴是 8 x C函数 yg x的一个零点是 3 8 D函数 yg x在区间 5 , 128 上单调递减 11 焦点为F的抛物线 2 :8C yx的准线与x轴交于点A， 点M在抛物线C上， 则当 MA MF 取得最大值时， 直线MA的方程为（ ） A2yx或2yx B2yx C22yx或22yx D22yx 12定义在R上的函数 f x满足 22f xf x，且当2,4x时， 2 2 4 ,23 2 ,34 xxx f x x x x ， 1g xax，对 1 2,0x ， 2 2,1x 使得 21 g xf x，则实数a的取值范围为（ ） A 11 ,
5、88 B 11 ,00, 48 C0,8 D 11 , 48 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知1sin)1lg()( 2 xxxxf若 2 1 )(f则 )(f 14在 3 1 1 n xx x 的展开式中，各项系数之和为 256，则x项的系数是_ 15.知变量x，y满足条件2 36 yx xy yx ，则目标函数 22 3xy z xy 的最大值为 16如图，在ABC中， 3 sin 23 ABC ，点D在线段AC上，且2ADDC， 4 3 3 BD ，则ABC的 面积的最大值为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三
6、、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知公差不为零的等差数列 n a和等比数列 n b满足： 11 3ab， 24 ba， 且 1 a， 4 a， 13 a成等比数列 （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）令 n n n a c b ，求数列 n c的前n项和 n S 18（本小题满分 12 分） 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格， 某校有 800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间30,150内，其频率分布直方图如图 （1）求获得复赛资格的人数； （2）从初赛得分在
7、区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人参加学校座谈交流， 那么从得分在区间110,130与130,150各抽取多少人？ （3）从（2）抽取的 7 人中，选出 3 人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间130,150中参加全市座 谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E X 19 （本小题满分 12 分） 如图，底面ABCD是边长为 3 的正方形，DE 平面ABCD，/AFDE，3DEAF，BE与平面 ABCD所成角为60 （1）求证：AC 平面BDE； （2）求二面角FBED的余弦值 20（本小题满分 12 分） 过抛物线 2 2(0)xpy p的焦点F的直线与抛物线在
8、第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B， 点A在抛物线准线上的射影为C，若AFFB，ABC的面积为8 3 （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，抛物线在M，N点处的切线分别为 1 l， 2 l，且 1 l与 2 l 相交于P点， 1 l与x轴交于Q点，求证： 2 FQl 21（本小题满分 12 分） 设函数 2 ln1f xxxx （1）探究函数 f x的单调性； （2）若0x 时，恒有 3 f xax，试求a的取值范围； 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 2
9、2.(本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为 22 46120xyxy在以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 sin2 4 （1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程； （2）设直线l与x轴和y轴的交点分别为A，B，P为圆C上的任意一点，求PA PB的取值范围 23 （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 设函数 21f xx （1）设 15f xf x的解集为A，求集合A； （2）已知m为（1）中集合A中的最大整数，且abcm（其中a，b，c为正实数） ，求证： 111 8 ab
10、c abc 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷数学数学理科答案理科答案解析解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 【答案】B 【解析】 集合 4 0241,0,1,2,3,4 2 x Axxx x ZZ， 1 422 4 Bxxxx ， 则1,0,1,2AB ，故选 B 2 【答案】D 【解析】 i 1i a 是纯虚数， i1+( +1)i = 1i2 aaa ，则要求实部为 0，即1a 故选 D 3 【答案】C 【解析】当0a
11、时，( )| (1) | |f xaxxx在区间(0,)上单调递增；当0a时，结合函数 2 ( )| (1) | |f xaxxaxx的图像知函数在(0,)上单调递增，如图 1-7(a)所示；当0a时，结合函数 2 ( ) |(1) | |f xaxxaxx的图像知函数在(0,)上先增后减再增，不符合条件，如图 1-7(b)所示.所以要 使函数( ) |(1) |f xaxx在(0,)上单调递增，只需0a，即“0a”是“函数( ) |(1) |f xaxx在区间 (0,)内单调递增”的充要条件.故选 C. 4 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线C的右焦点,0F c，渐进线的方程为 b yx
12、a ， 可得 22 2 bc dba ab ，可得 22 5caba，可得离心率5 c e a ，故选 C 5 【答案】D 【解析】因为221 mn ，所以由指数函数的单调性可得0mn， 因为0mn，所以可排除选项A，B； 3 2 m ，1n 时，可排除选项C， 由指数函数的性质可判断1 m n 正确，故选 D 6 【答案】B 【解析】由题意可得：132a，且：20aab，即 2 20aa b，420a b，2a b， 由平面向量模的计算公式可得： 2 4943abab故选 B 7 【答案】B 【解析】第 一 次 循 环 ，2, 2lniS 第二次循环，3, 3lnln2ln 1 2ln 3
13、2 3 2 ixdx x S 第三次循环，4, 4lnln2ln 1 3ln 4 3 4 3 ixdx x S 第四次循环， 5, 5lnln4ln 1 4ln 5 4 5 4 ixdx x S 推 理 可 得 m=2018，故选 B 8 【答案】A 【解析】设事件 A 为48h发病，事件 B 为72h发病， 由题意可知： 0055P A ， 019P B ，则 0945P A ， 081P B ， 由条件概率公式可得： 0816 | 09457 P ABP B P B A P AP A 故选 A 9 【答案】C 【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的 1 4 与三棱锥的组合体，其中圆锥的
14、底面半径为1， 高为1三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1则几何体的体积 2 11111 111 2 1 3432123 V 故本题答案选 C 10 【答案】D 【解析】由题意可知： 2sin22cos212sin 4 21f xxxx ， 图像向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位的函数解析式为： SS i1 i 1 x dx 开始 否 im？ 结束 是 i1，S0 ii1 输出 S 2sin 21 12sin 2 44 4 g xxx 则函数 g x的最小正周期为 2 2 T ，A 选项说法正确； 当 8 x 时，2 2 4 x ，函数 yg x的一条对称轴是 8
15、x ，B 选项说法正确； 当 3 8 x 时，2 4 x ，函数 yg x的一个零点是 3 8 ，C 选项说法正确； 若 5 , 128 x ，则 5 3 2, 4122 x ，函数 yg x在区间 5 , 128 上不单调， D 选项说法错误；故选 D 11 【答案】A 【解析】 过M作MP与准线垂直，垂足为P，则 11 coscos MAMA MFMPAMPMAF ，则当 MA MF 取得最大值时， MAF必须取得最大值， 此时直线AM与抛物线相切， 可设切线方程为2yk x与 2 8yx联立， 消去y得 2 8160kyyk，所以 2 64640k，得1k 则直线方程为2yx或2yx 故
16、本题答案选 A 12 【答案】D 【解析】因为 f x在2,3上单调递减，在3,4上单调递增， 所以 f x在2,3上的值域是3,4，在3,4上的值域是 11 9 , 3 2 ， 所以函数 f x在2,4上的值域是 9 3, 2 ， 因为 22f xf x，所以 11 24 24 f xf xf x， 所以 f x在2,0上的值域是 3 9 , 4 8 ， 当0a 时， g x为增函数， g x在2,1上的值域为21,1aa， 所以 3 21 4 9 1 8 a a ，解得 1 8 a ； 当0a 时， g x为减函数， g x在2,1上的值域为1, 21aa， 所以 3 1 4 9 21 8
17、 a a ，解得 1 4 a ， 当0a 时， g x为常函数，值域为 1，不符合题意， 综上，a的范围是 11 , 48 ，故选 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 2 3 【解析】解析：因为1sin)1lg()( 2 xxxxf的定义域为 R,关于原点对称， 21sin)1lg(1sin)1lg()()( 22 ）（ xxxxxxff 故2 2 1 )(f则 )(f 2 3 14 【答案】7 【解析】令1x 可得各项系数和： 3 1 1 11256 1 n ，据此可得：7n ， 7 3 1 x x 展开式的通项公式为： 7
18、217 3 2 177 1 CC r rr rr r Txx x ， 令 7 210 2 r可得：6r ，令 7 211 2 r可得： 40 7 r ，不是整数解， 据此可得：x项的系数是 6 7 C7 15.【答案】3 【解析】 作出2 36 yx xy yx ，表示的可行域，如图 变形目标函数， 222 2 22 3, 1, 3 22cos 31 x y xy z xy xy ， 其中为向量 3, 1a与, x yb的夹角，由图可知，2,0b时有最小值 6 ， , x yb在直线yx上时，有最大值 5 6412 ，即 5 612 ， 5 612 ， 目标函数 22 3xy z xy 的最大
19、值为3，故选 C 16 【答案】3 2 【解析】由 3 sin 23 ABC 可得： 6 cos 23 ABC ， 则 2 2 sin2sincos 223 ABCABC ABC 由 32 sin 232 ABC 可知：45 2 ABC ，则90ABC， 由同角三角函数基本关系可知： 1 cos 3 ABC 设ABx，BCy，30,0,0ACz xyz， 在ABD中由余弦定理可得： 2 2 16 2 3 cos 4 3 22 3 zx BDA z ， 在CBD中由余弦定理可得： 22 16 3 cos 4 3 2 3 zy BDC z ， 由于180BDABDC，故coscosBDABDC ，
20、 即： 2 222 1616 2 33 4 34 3 222 33 zxzy zz ，整理可得： 222 16620zxy 在ABC中，由余弦定理可知：2 22 1 23 3 xyxyz，则： 222 224 6 339 zxyxy， 代入式整理计算可得： 22 144 16 339 xyxy， 由均值不等式的结论可得： 22 14416 162 3399 xyxyxy， 故9xy ， 当 且 仅 当3 2x ， 3 2 2 y 时 等 号 成 立 ， 据 此 可 知ABC面 积 的 最 大 值 为 ： max max 112 2 sin93 2 223 SABBCABC 三、解答题：解答应写
21、出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）32121 n ann，3n n b ； （2） 2 2 3 n n n S 【解析】 （1）设 n a的公差为d，则由已知得 2 1 134 a aa， 即23 3 1233dd，解之得：2d 或0d （舍） ，所以32121 n ann； 因为 24 9ba，所以 n b的公比3q ，所以3n n b （2）由（1）可知 21 3 n n n c ， 所以 23 35721 3333 n n n S ， 21 5721 33 333 n n n S ， 所以 1
22、 21 11 21 1112121243 3 23234 1 333333 1 3 n n nnnn nnn S ， 所以 2 2 3 n n n S 18.（本小题满分 12 分） 【答案】 （1）520 人； （2）5 人，2 人； （3） 6 7 E X 【解析】 （1）由题意知90,110之间的频率为：1 200.00250.0050.0075 20.01250.3 ， 0.30.01250.0050200.65，获得参赛资格的人数为800 0.65520人 （2）在区间110,130与130,150，0.0125:0.00505:2， 在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方
23、法随机抽取 7 人， 分在区间110,130与130,150各抽取 5 人，2 人结果是 5 人，2 人 （3）X的可能取值为 0，1，2，则： 30 52 3 7 C C2 0 C7 P X ； 21 52 3 7 C C4 1 C7 P X ； 12 52 3 7 C C1 2 C7 P X ； 故X的分布列为： X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 2416 012 7777 E X 19 （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）见解析（2） 13 13 （1）证明：DE 平面ABCD，AC 平面ABCD， DEAC， 又底面ABCD是正方形， ACBD BDDED， AC 平面
24、BDE （2）解：DA，DC，DE两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， BE与平面ABCD所成角为60，即60DBE， 3 ED DB ， 由3AD， 可知3 2BD ，3 6DE ，6AF 则(3,0,0)A，(3,0,6)F，(0,0,3 6)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C， (0, 3, 6)BF ，(3,0, 2 6)EF 设平面BEF的一个法向量为( , , )nx y z， 则 0, 0, n BF n EF 即 360, 32 60, yz xz 令6z ，则(4,2, 6)n AC 平面BDE， CA为平面BDE的一个法向量， (3, 3,0)CA ， |
25、613 cos, 13| |3 226 n CA n CA nCA 二面角FBED为锐角， 二面角FBED的余弦值为 13 13 20.（本小题满分 12 分） 【答案】 （1） 2 4xy； （2）证明见解析 【解析】 （1）因为AFFB，所以F到准线的距离即为三角形ABC的中位线的长，所以2ACp， 根据抛物线的定义ACAF，所以24ABACp， 22 422 3BCppp， 1 22 38 3 2 ABC Spp ， 解得2p ，所以抛物线的标准方程为 2 4xy （2）易知直线MN的斜率存在，设直线:1MN ykx，设 11 ,M x y， 22 ,N xy 联立 2 4 1 xy y
26、kx 消去y得 2 440xkx，得 1 2 4x x ， 2 4 x y ， 2 x y ，设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 111 :22lyyxx， 222 :22lyyxx， 22 21 2 21 211212 1 1 2121 2 442 ,22,1 2444 ppp xx yyxxxxxx x xyx y xxxx ， 得P点坐标 21 , 1 2 xx P ，由 111 :22lyyxx，得 1 ,0 2 x Q ， 1 2 QF k x ， 2 2 11 4 12 22 l x k xx ，所以 2 QFl kk，即 2 PQl 21.（本小题满分 12 分） 【答
27、案】 （1）增函数； （2） 1 , 6 ； （3）见解析 【解析】 （1）函数 f x的定义域为R 由 2 1 10 1 fx x ，知 f x是实数集R上的增函数 （2）令 323 ln1g xf xaxxxxax， 则 22 2 1131 1 xax gx x ， 令 22 1131h xxax， 则 2 3 22 169 169 11 xaax a xax h x xx （i）当 1 6 a 时， 0h x ，从而 h x是0,上的减函数， 注意到 00h，则0x 时， 0h x ，所以 0gx ，进而 g x是0,上的减函数， 注意到 00g，则0x 时， 0g x 时，即 3 f
28、xax （ii）当 1 0 6 a时，在 16 0, 9 a a 上，总有 0h x ，从而知，当 16 0, 9 a x a 时， 3 f xax； （iii）当0a 时， 0h x ，同理可知 3 f xax， 综上，所求a的取值范围是 1 , 6 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分 10 分） 【答案】 （1） 2cos 3sin x y ，20xy； （2）42 542 5PA PB 【解析】 （1）圆C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） 直线l的直角坐
29、标方程为20xy （2）由直线l的方程20xy可得点2,0A，点0,2B 设点,P x y，则 22 2,2222412PA PBxyxyxyxyxy 由（1）知 2cos 3sin x y ，则4sin2cos42 5sin4PA PB 因为R，所以42 542 5PA PB 23 （本小题满分 10 分） 【答案】 （1） 55 | 44 Axx ； （2）见解析 【解析】 （1） 15f xf x即21215xx， 当 1 2 x 时，不等式化为12215xx ， 51 42 x ； 当 11 22 x时，不等式化为12215xx ，不等式恒成立； 当 1 2 x 时，不等式化为21215xx ， 15 24 x 综上，集合 55 | 44 Axx （2）由（1）知1m ，则1abc 则 12abcbc aaa ，同理1 2bac bb ， 12cab cc ， 则 111222 8 abcabacbc abccba ，即8M
