1、专题六 代数几何综合题例1（2018滨州）如图，已知抛物线y=x2 x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由1412解：（1）令y=0得 x2 x+2=0，x2+2x8=0，解得x=4或2，点A坐标（2，0），点B坐标（4，0），当x=0时，y=2，点C坐标（0，2）14121（2018新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛
2、物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形题组训练72（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即4x2+28x24=24，化简，得x27x+12=0，解得x=3或4，当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形当x=4时，EOEA，平行四边形OEAF不为菱形平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形O
3、EAF可能为菱形2（2018上海）如图，抛物线y=ax2+bx5（a0）经过点A（4，5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且BEO=ABC，求点E的坐标解：（1）抛物线y=ax2+bx5与y轴交于点C，C（0，5），OC=5OC=5OB，OB=1，又点B在x轴的负半轴上，B（1，0）抛物线经过点A（4，5）和点B（1，0），解得 ，这条抛物线的表达式为y=x24x51645550abab+-=-=14ab=-3（2018赤峰）在平面直
4、角坐标系中，已知点A（2，0），B（2，0），C（3，5）（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与P相切，若存在请求出Q点坐标解：（1）A（2，0），B（2，0）；设二次函数的解析式为y=a（x2）（x+2），把C（3，5）代入得a=1；二次函数的解析式为：y=x24；设一次函数的解析式为：y=kx+b（k0）把A（2，0），C（3，5）代入得 ，解得 ，一次函数的解析式为：y=x+2；2035kbkb-+=+=12kb=例2（2018广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，B
5、C=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA、OP（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=SOPB，BP=x（0 x2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值解：（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OAOP，理由如下：四边形ABCD是正方形，AB=BC=PQ，ABO=OBQ=45，OQBD，PQO=45，ABO=OBQ=PQO=45，OB=OQ，AOBOPQ（SAS），OA=OP，A
6、OB=PQO，AOP=BOQ=90，OAOP；4（2018上海）如图所示，梯形ABCD中，ABDC，B=90，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且AGE=DAB（1）求线段CD的长；（2）如果AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围解：（1）作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，DH=BC=12，CD=BH，在RtADH中，AH=9，BH=ABAH=169=7，CD=7；（2）EA=EG时，则
7、AGE=GAE，AGE=DAB，GAE=DAB，G点与D点重合，即ED=EA，221512-作EMAD于M，如图1，则AM=AD=，MAE=HAD，RtAMERtAHD，AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；GA=GE时，则GAE=AEG，AGE=DAB，而AGE=ADG+DAG，DAB=GAE+DAG，GAE=ADG，AEG=ADG，AE=AD=15综上所述，AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为 或15；12152152252252（3）作DHAB于H，如图2，则AH=9HE=AEAH=x9，在RtHDE中，DE=，AGE=DAB，AEG=DEA，EAGEDA，
8、EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，EG=，DG=DEEG=，DFAE，DGFEGA，DF：AE=DG：EG，即y：x=（）：，y=（9x ）2212(9)x+-2212(9)x+-22212(9)xx+-22212(9)xx+-2212(9)x+-2212(9)x+-22212(9)xx+-225 18xx-25222212(9)xx+-5（2018南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一
9、点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AE=EF=AF（2）证明：如图2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，又BA=AC，B=ACF，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点A作
10、AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RtAGB中，ABC=60AB=4，BG=2，AG=2 ，在RtAEG中，AEG=EAG=45，AG=GE=2 ，EB=EGBG=2 2，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=2 2，在RtCHF中，HCF=180BCD=60，CF=2 2，FH=CFsin60=（2 2）=3 点F到BC的距离为3 3333333323巩固练习1如图，RtABC中，C=90，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0 x3)把PCQ绕点P旋转，得到PDE，点D落在线段PQ上（1）求证：PQAB
11、；（2）若点D在BAC的平分线上，求CP的长；（3）若PDE与ABC重叠部分图形的周长为T，且12T16，求x的取值范围（1）证：在RtABC中，AB=15，BC=9，AC=12 C=C，PQCBAC，CPQ=B，PQAB；（2）解：连接AD，PQAB，ADQ=DAB点D在BAC的平分线上，DAQ=DAB，ADQ=DAQ，AQ=DQ在RtCPQ中，PQ=5x，PD=PC=3x，2222159ABBC393PCxxBc4123QCxxACPCQCBCACDQ=2xAQ=124x，124x=2x，解得x=2,CP=3x=6（3）解：当点E在AB上时，PQAB，DPE=PEBCPQ=DPE，CPQ=
12、B，B=PEB，PB=PE=5x，3x+5x=9，解得x=当0 x 时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0T 当 x3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GHFQ，垂足为H，HG=DF，FG=DH，RtPHGRtPDE，989827298 PG=PB=93x，GH=(93x)，PH=(93x)，FG=DH=T=PG+PD+DF+FG=此时，T18当0 x3时，T随x的增大而增大，T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即 解得x=12T16，x的取值范围是1x GHPGPHEDPEPD93453GHxPHxxx453533(93)5xx43(93)3(9
13、3)3(93)55xxxxx125455x27712541655x1361362在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=(BECF)123解：（1）如图1，AB=AC
14、，A=60,ABC是等边三角形,B=C=60，BC=AC=AB=4点D是线段BC的中点,BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90，AED=3606090120=90，BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2 =1；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，则有AMD=BMD=AND=CND=901212A=60，MDN=360609090=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBD NCD，BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，BMDCNDBCBDCD EMDFNDDMDNMDENDF EMD FND，EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3 同（1）可得：B=ACD=60同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FNDN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中，DM=BMtanB=BM，BE+CF=(BECF)123123
