1、 会用洛必达法则求不定式的极限会用洛必达法则求不定式的极限 重点重点:洛必达法则洛必达法则 难点难点:三种幂指型不定式三种幂指型不定式 3.2 罗必达法则回忆极限的四则运算法则回忆极限的四则运算法则:0 )(lim,)(lim BBxgAxf且且如如果果BAxgxf)()(lim则则不存在不存在则则如果如果)()(lim,0,0 xgxfAB 0 AB如如果果四则运算法则不能用！四则运算法则不能用！3.5 洛必达法则称为不定型极限)()(limxgxfx型型”“000)(lim,0)(lim)1(xgxf如如果果 )(lim,)(lim)2(xgxf如如果果称为不定型极限)()(limxgxf
2、x型型”“”不定型“)()(limxgxfx”不定型“0)()(limxgxfx”不定型“”“”“00)(01)(limxgxxf且且满满足足条条件件：内内有有定定义义邻邻域域的的某某空空心心在在点点和和设设函函数数,),()()(0 aUaxgxf则则有有或或),()()(lim)3(Axgxfax)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存在在和和内内在在;0)(lim,0)(lim)1(xgxfaxax定理定理1：一、一、型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则”“00且且满满足足条条件件：内内有有定定义义邻
3、邻域域的的某某空空心心在在点点和和设设函函数数,),()()(0 aUaxgxf则则有有或或),()()(lim)3(Axgxfax)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存在在和和内内在在;)(lim,)(lim)1(xgxfaxax定理定理2：型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则”“使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续满足型，且仍属如果)(),(00)()(2xFxfxgxf.)()(lim)()(lim)()(lim xgxfxgxfxgxfaxaxax说明：说明：1 把定理中的把定理中的“xa”换成
4、换成“x”把条件把条件(2)换成换成“当当|x|N时时f(x)和和g(x)都可导且都可导且g(x)0”结论仍然成立结论仍然成立 例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(v“零比零”型未定式的定值法注意注意:不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则!166lim1x 解 解 例3 例例 3 求30sinlimxxxx 解解 30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx
5、6sinlim061 例4 例例 4 求xxx1arctan2lim 解解 xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061 xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx v“零比零”
6、型不定式的定值法 xxarctan2lim ()xv“无穷比无穷”型不定式的定值法 解 解 例5 例例 5 求nxxxlnlim(n0)解解 nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx 例6 例例 6 求xnxexlim(n 为正整数 0)解解 xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim0!limxnxennxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(limxnxexlimx
7、nxenx1limxnxexnn22)1(limxnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim 0!limxnxen v其它类型不定式的定值法 未定式0、00、1、0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式 解 例7 例例 7 求xxnxlnlim0(n0)解解 xxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx0lim0nxnxxxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx0lim0nxnxxxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx0lim0nxnxxxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx0li
8、m0nxnxxxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx0lim0nxnx (0)解 例8 例例 9 求)tan(seclim2xxx 解解 )tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx 未定式0、00、1、0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式 )tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx v其它类型不定式的定
9、值法()xxxln120)(sinlim9求极限例”型型“00得得取取对对数数令令,)(sinln12xxy )ln(sinln12limlnlim00 xxyxx 解解2coslimsinlim200 xxxxxxxxx1sincos0lim2 2ln120)(sinlim exxxxxxln1)ln(sinlim20 ”“练习练习 例例8 求xxx0lim xxnxxxnnaaaaaa121021)(lim,求极限为正常数设思考与练习xnaaanaaaxnxxxxxnxxxln)ln(lim)ln(lim2101210 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa 2122110lnlnlnli
10、m解解12112lnlnlnln()nnnaaana aa nnxxnxxxaaanaaa211210)(lim 故故 5.本节定理给出的是求不定式的一种方法本节定理给出的是求不定式的一种方法 当定理条当定理条件满足时件满足时 所求的极限当然存在所求的极限当然存在(或为或为)但定理条件不但定理条件不满足时满足时 所求极限却不一定不存在所求极限却不一定不存在 所以不能用洛必达法则所以不能用洛必达法则 但其极限是存在的但其极限是存在的 解 例10 例例 11 求xxxxsinlim 解解 因为极限)()sin(limxxxx1cos1limxxxxxxsinlim1)sin1(limxxx)()s
11、in(limxxxx1cos1limxx不存在 )()sin(limxxxx1cos1limxx不存在 xxxxsinlim1)sin1(limxxxxxxxsinlim1)sin1(limxxx 应注意的问题3.洛必达法则不是万能的。,limxxxxxeeee循环情况xxx21lim 洛必达法则是求不定式的一种有效方法洛必达法则是求不定式的一种有效方法 但最好能但最好能与其它求极限的方法结合使用与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能例如能化简时应尽可能先化简先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可应尽可能应用能应用 这样可以使运算简捷这样
12、可以使运算简捷 应注意的问题 解 例12 例例 10 求xxxxxsintanlim20 解解 xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxxxxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxxxxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxxxxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxxxxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxx 4.注意方法的灵活应用等价
13、代换等价代换?)1sin1(lim220 xxx思考与练习解解)1sin1(lim220 xxx xxxxx22220sinsinlim 通分通分004220sinlimxxxx xxxxxxxsinsinlim30 等价代换等价代换30sinlim2xxxx 积的极限积的极限极限等于极限等于2 2203cos1lim2xxx 31 0011coslim0 xxx显然有显然有例例01sinlim)1()(coslim1coslim000 xxxxxxxx这显然是一个错误的结果这显然是一个错误的结果!特别注意特别注意:只有不定式极限才能使用罗必达只有不定式极限才能使用罗必达 法则；非不定式极限使
14、用极限运算法则法则；非不定式极限使用极限运算法则 处理处理.有些不定式极限有些不定式极限,使用多次罗必达使用多次罗必达 法则之后法则之后,已经成为非不定式极限已经成为非不定式极限,就不就不 能再使用罗必达法则了能再使用罗必达法则了.小结小结洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件作业：作业：P123 1,4证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1axaxxgxg,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xgxf则有则有)()()()()()(agxgafxfxgxf)()(gf)(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxgxfax,)()(limAgfa.)()(lim)()(limAgfxgxfaax.)()(lim)()(limgfxgxfaax洛必达法则的证明洛必达法则的证明)00(
