1、 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷 数学数学文科文科 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 12i 2i （ ） A 4 1i 5 B 4 i 5 Ci Di 2设 1i 2i 1i z ，则z （ ） A2 B3 C4 D5 3设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 4 4a ， 9 72S ，则 10 a（ ） A20 B23 C24 D28 4若 5 sin 45 ，那么 cos 4 的值为（ ） A 2 5 5 B 2
2、 5 5 C 5 5 D 5 5 5设x，y满足约束条件 220 10 240 xy xy xy ，则2zxy的最大值是（ ） A1 B16 C20 D22 6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（ ） A 2 3 B 4 3 C2 D2 5 7如图，在正方体 1111 ABCDA B C D的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 1 A B异面且夹角成60的直线 的条数为（ ） A3 B4 C5 D6 8已知 1 3ln2a ， 1 3ln3b ， 2 log 0.7c ，则a，b，c的大小关系是（ ） Aabc Bcab Cbac Dcba
3、 9过圆 22 16xy上一点P作圆 222 :0O xymm的两条切线，切点分别为A、B，若 2 3 AOB， 则实数m （ ） A2 B3 C4 D9 10执行如图所示程序框图，输出的S （ ） A25 B9 C17 D20 11已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 :1 4 xy C m 的上下两个焦点， 若椭圆上存在四个不同点P，使得 12 PF F的面积为3，则 椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A 13 , 22 B 1 ,1 2 C 3 ,1 2 D 3 ,1 3 12在边长为 2 的等边ABC中，D是BC的中点，点P是 线段AD上一动点， 则AP CP的取值范围是（ ） A
4、3 , 4 B 3 ,0 4 C1,0 D1,1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方 法抽取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽到的最小学号为_ 14若x，y满足 0 10 10 y xy xy ，则2zxy的最大值为_ 15设函数 ln ,1 1,1 x x f x x x ，若 1f m ，则实数m的取值范围是_ SS8 开始 TS？ 结束 S1，T=0,n=0 nn+2 输出 S TT+2n 16直三棱柱 111 ABCA
5、 B C的各顶点都在同一球面上，若3AB ，4AC ，5BC ， 1 2AA ，则此球的表 面积等于_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2 2 3sinsin30 2 A A （1）求角A的大小； （2）已知ABC外接圆半径3R ，且3AC ，求ABC的周长 18(本小题满分 12 分） 某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操 等体育活动该中学共有高一学生 300 名，要求每位学生必须选择参加
6、其中一项活动，现对高一学生的性别、 学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下： （1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取 6 名，再从这 6 名学生中抽取 2 人了解家庭情况，求 2 人中至少有 1 名女生的概率； （2）是否有99.9的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由 附：参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 19(本小题满分 12 分） 如图， 多面体ABCDEF中， 底面ABCD是菱形， 3 BCD， 四边形BDEF是正方形， 且DE 平面ABCD （1）求证：CF平面AED； （2）若2AE ，求多
7、面体ABCDEF的体积V 20(本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 经过点 1 3, 2 P ，且右焦点 2 3,0F （1）求椭圆E的方程； （2）若直线:2l ykx与椭圆E交于A，B两点，当AB最大时，求直线l的方程 21(本小题满分 12 分） 已知 2 lnlnaxx f x x 求 f x在1,0处的切线方程； 求证：当1a 时， 10f x 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22(本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面
8、直角坐标系xoy中，曲线 1 C： 2cos 2sin x y （为参数） ，在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴 的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线 2 C： sin1 6 （1）求曲线 1 C的普通方程以及曲线 2 C的平面直角坐标方程； （2）若曲线 1 C上恰好存在三个不同的点到曲线 2 C的距离相等，求这三个点的极坐标 （2）圆心O到曲线 2 C：320xy的距离 2 2 2 1 1 2 13 dr ， 23(本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 若0a ，0b ，且1abab （1）求 33 11 ab 的最小值； （2）是否存
9、在a，b，使得 11 23ab 的值为 6 3 ？并说明理由 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷数学数学文科（三）文科（三） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 【答案】C 【解析】 12i2i12i5i i 2i2i2i5 ，故选 C 2 【答案】B 【解析】 1i 1i1i2i i 1i1i 1i2 ，则3iz ，故3z ，故选 B 3 【答案】D 【解析】由于数列是等差数列，故 41 91 34 93672 aad Sad
10、，解得 1 8a ，4d ， 故 101 983628aad 故选 D 4 【答案】D 【解析】由题意可得 5 cossinsinsin 424445 ，故选 D 5.【答案】B 【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示， 结合图象可知当:20lxy平移到过点A时，目标函数取得最大值， 又由 10 240 xy xy ，解得5,6A，此时目标函数的最大值为 max 16z，故选 B 6 【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r ，高2h ，所以该几何 体的体积为 2 14 2 12 33 V ，故选 B 7 【解析】在正方体 111
11、1 ABCDA B C D的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线 1 A B异面且夹角成60的直线有： 1 AD，AC， 11 D B， 1 B C，共 4 条故选 B 8 【答案】B 【解析】 22 log 0.7log 10c ， 11 330ln21ln3ab ，故cab，故选 B 9 【答案】A 【解析】如图所示， 取圆 22 16xy上一点4,0P，过P作圆 222 :0O xymm的两条切线PA、PB， 当 2 3 AOB时， 3 AOP，且OAAP，4OP ； 1 2 2 OAOP， 则实数2mOA故选 A 10 【答案】C 【解析】按照程序框图依次执行为1S ，0n ，0T ；
12、9S ，2n ，044T ； 17S ，4n ，41620TS，退出循环，输出17S 故选 C 11 【答案】A 【解析】由题知2a ，bm，4cm，设椭圆的右顶点为 ,0Am， 12 AF F的面积为 12 1 4 2 F Fmm m， 12 PF F的面积的最大值时为 12 AF F，43m m故，13m解， 13c， 13 , 22 c e a ，故选 A 12 【答案】B 【解析】画出图像如下图所示， 以DC，DA分别为x，y轴建立平面直角坐标系，故 0, 3A，1,0C， 设 0,0, 3Ptt ，所以 2 0,31,3AP CPtttt ， 根据二次函数的性质可知，对称轴 3 2
13、t ， 故当0t 或3t 时取得最大值为 0，当 3 2 t 时取得最小值为 2 333 3 224 ，故AP CP的取值范 围是 3 ,0 4 故选 B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】6 【解析】由系统抽样方法从学号为 1 到 48 的 48 名学生中抽取 8 名学生进行调查，把 48 人分成 8 组， 抽到的最大学号为 48，它是第 8 组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名 6 号故答案为 6 14 【答案】1 【解析】由x，y满足 0 10 10 y xy xy ，作出可行域如图， 联立 0 10 y xy ，
14、解得1,0A，函数2zxy为 22 xz y ，由图可知， 当直线 22 xz y 过A时，直线在y轴上的截距最小，z的最大值为 1故答案为1 15 【答案】,0e, 【解析】如图所示： 可得 ln ,1 1,1 x x f x x x 的图像与1y 的交点分别为0,1，e,1， 1f m ，则实数m的取值范围是,0e,，可得答案,0e, 16 【答案】29 【解析】如图，在ABC中，3AB ，4AC ，5BC ， 由勾股定理可得90BAC，可得ABC外接圆半径 5 2 r ， 设此圆圆心为 O ，球心为O，在RtOBO中，可得球半径 2 2 529 1 22 R ， 此球的表面积为 2 29
15、 4429 4 R 故答案为29 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分） 【答案】 （1） 3 A ； （2）33 3 【解析】 （1） 2 2 3sinsin30 2 A A， 1cos 2 3sin30 2 A A ， 即sin3cos0AA，tan3A， 又0A， 3 A （2）2 sin a R A ，2 sin 2 3sin3 3 aRA， 3ACb，由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 2 933cc， 2 360cc， 0c ，所以得2 3c ，周长33 3abc 18(本小题满
16、分 12 分） 【答案】 （1） 3 5 ； （2）见解析 【解析】 （1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为 60 人，女生人数为 30 人， 按性别分层抽取 6 名，则男生被抽取的人数为 60 64 6030 ， 女生被抽取的人数为 30 62 6030 ， 记 4 名男生分别为a，b，c，d，2 名女生为A，B， 则从这 6 名学生中抽取 2 人的情况有, a b，, a c，, a d，, a A，, a B，, b c，, b d，, b A，, b B， , c d，, c A，, c B，,d A，,d B，,A B， 一共 15 种情况，2 人中至少有 1 名女生共有 9
17、 种情况，概率为 93 155 （2）列联表为： 学习积极性高 学习积极性不高 总计 参加文化活动 180 30 210 参加体育活动 60 30 90 总计 240 60 300 22 2 300180 3060 30100 14.28610.828 24060210 907 n adbc K abcdacbd ， 有99.9的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关 19(本小题满分 12 分） 【答案】 （1）见解析； （2） 3 3 【解析】 （1）证明：ABCD是菱形，BCAD， 又BC 平面ADE，AD 平面，BC平面ADE 又BDEF是正方形，BFDE BF 平面ADE，D
18、E 平面ADE，BF平面ADE， BC 平面BCF，BF 平面BCF，BCBFB， 平面BCF平面AED，CF平面AED （2）解：连接AC，记ACBDO ABCD是菱形，ACBD，且AOBO 由DE 平面ABCD，AC 平面ABCD，DEAC DE 平面BDEF，BD平面BDEF，DEBDD， AC 平面BDEF于O，即AO为四棱锥ABDEF的高 由ABCD是菱形，60BCD，则ABD为等边三角形， 由2AE ，则1ADDE， 3 2 AO ，1 BDEF S， 13 36 BDEFBDEF VSAO， 3 2 3 BDEF VV 20(本小题满分 12 分） 【答案】 （1） 2 2 1
19、4 x y； （2） 11 2 2 yx 【解析】 （1）设椭圆E的左焦点 1 3,0F ，则 12 242aPFPFa， 又 222 31cbac，所以椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y （2）由 22 22 2 148 240 44 ykx kxkx xy ，设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 222 1 12816 140 4 kkk，且 12 2 8 2 14 k xx k ， 1 2 2 4 14 x x k ， 2 2 22 121 2 22 8 24 1414 1414 k ABkxxx xk kk 设 2 1 14 t k ，则 1 0, 2 t ， 2 2
20、1255 6 26126 12246 ABttt ， 当 1 12 t ，即 11 2 k 时，AB有最大值 5 6 6 ，此时 11 :2 2 l yx 21(本小题满分 12 分） 【答案】 （1）10xy ； （2）见解析 【解析】 （1） 2 2 2 ln1lnln axaxx fx x ， 故 11 f ，故切线方程是10xy （2）令 ln1g xxx， 1 1gx x ， 令 0g x，解得1x ，令 0g x，解得01x， 故 g x在0,1递减，在1,，故 min 10g xg，故ln1xx， 1a ， 2222 lnlnlnlnlnlnln1ln1 10 axxxxxxxx
21、xx f x xxxx ， 故1a 时， 10f x 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22(本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 【答案】 （1） 22 4xy，320xy； （2） 2 2, 3 A ， 2, 6 B ， 7 2, 6 C 【解析】 （1）由 2cos 2sin x y 消去参数得 22 4xy，即曲线 1 C的普通方程为 22 4xy， 又由 sin1 6 得 sincoscos sin1 66 ， 即为320xy，即曲线 2 C的平面直角坐标方程为32
22、0xy （2）圆心O到曲线 2 C：320xy的距离 2 2 2 1 1 2 13 dr ， 如图所示，直线340xy与圆的切点A以及直线30xy与圆的两个交点B，C即为所求 OABC，则3 OA k ，直线 OA l的倾斜角为 2 3 ， 即A点的极角为 2 3 ，B点的极角为 2 326 ，C点的极角为 27 326 ， 三个点的极坐标为 2 2, 3 A ， 2, 6 B ， 7 2, 6 C 23(本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 【答案】 （1）4 2； （2）不存在a，b，使得 11 23ab 的值为 6 3 【解析】 （1）1abab， 1 ab ab ， 0a ，0b ，2abab，当且仅当ab时取等号， 1 2 ab ab ， 1 2 ab 3333 11112 24 2 ababab ab ， 33 11 4 2 ab ，当且仅当ab时取等号 （2）0a ，0b ， 111122 3 2 232336ababab ， 62 3 33 ，不存在a，b，使得 11 23ab 的值为 6 3
