1、2019上海高考压轴卷数 学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知A，B是椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为-49，则E的离心率为()A. 23B. 33C. 23D. 532. 已知aR，则“a1”是“1a1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知三棱锥S-ABC，ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. 64B. 68C. 72D. 1004. 定义：若整数m满足：m-120，函数f(
2、x)=x2+2ax+a,x0,-x2+2ax-2a,x0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 16. 函数f（x）=lgx2+1|x|（x0，xR），有下列命题：f（x）的图象关于y轴对称；f（x）的最小值是2；f（x）在（-，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数； f（x）没有最大值其中正确命题的序号是_ （请填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2（）求抛物线C的方程；（）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，
3、求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程18. 函数f（x）=2sin（x+）（0，|2）的一个零点为3，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=12（）求函数f（x）的解析式；（）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x4，23上恒有实数解，求实数k的取值范围19. 某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量P(件)与单价x(元)之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元(1)根据周销售量图写出P(件)与单价x(元)之间的函数关系式；(2)写出利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利
4、润20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标21. 各项均为正数的数列an中，前n项和Sn=(an+12)2(1)求数列an的通项公式；(2)若1a1a2+1a2a3+1anan+1k恒成立，求k的取值范围；(3)是否存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由答案和解
5、析1. 【答案】D【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），设M（x0，y0），则，整理得：，又，得，即，联立，得，即，解得e=故选D2. 【答案】A【解析】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选：A3. 【答案】D【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=，SE=3，R=5棱锥的外接球的表面积为4R2=100，故选：D4. 【答案】B【解析】中，由题意知，x-x+，则得到f（x）=x-x（-，故错误；中，由题意知函数f
6、（x）=x-x（-的最小正周期为1，故正确；中，由于x-x+则得f（x）=x-x为分段函数，且在上是增函数，故命题正确；中，由题意得，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（kZ）不对称，故命题错误；由此可选择，故选B.5. 【答案】1【解析】=4x-22x=0，设2x=t，t0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：16. 【答案】2或-5【解析】双曲线-=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，双曲线-=1的离心率为，即，解得m=2，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-
7、3-2m，双曲线-=1的离心率为，可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5故答案为2或-57. 【答案】60【解析】（-）6的展开式中的通项公式：Tr+1=（-1）r26-r，令-6=0，解得r=4（-）6的展开式中常数项=60故答案为608. 【答案】-4【解析】f(x)=(2x)2-42x，令t=2x，-1x2，t，4，则y=t2-4t=(t-2)2-4，y在t，2上递减，在t2，4上递增，所以当t=2时函数取得最小值-4故答案为-49.【答案】10【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，|z|=故答案为：10.【答案】12【解析】-=5，是以5为公差的等差数列
8、，=+5（n-1），a11=，=+5（11-1）=52，即=2，a1=.故答案为11. 【答案】2，+）【解析】首先，y=logax在区间1，+）上是增函数且函数y=（a+2）x-2a区间（-，1）上也是增函数a1（1）其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2aloga1a2（2）联解（1）、（2）得a2故答案为2，+）12. 【答案】67【解析】圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，圆心坐标为M（1，1），半径r=3P（2，2）是该圆内一点，经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC
9、垂直的弦|PM|=，由垂径定理，得|BD|=2因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|BD|=62=6故答案为613.【答案】23【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=故答案为：从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率14. 【答案】8【解析】各项为正的等比数列a
10、n中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8故答案为：815. 【答案】（4，8）【解析】当x0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=-x2，得a=-，设g（x）=-，则g（x）=-=-，由g（x）0得-2x-1或-1x0，此时递增，由g（x）0得x-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，当x0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不
11、成立，当x2时，a=设h（x）=，则h（x）=，由h（x）0得x4，此时递增，由h（x）0得0x2或2x4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4a8，故答案为（4，8）16. 【答案】【解析】f（-x）=lg=f（x），函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故正确；2，f（x）=lglg2，f（x）的最小值是lg2，故不正确；函数g（x）=在（-，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+）上是增函数，故函数f（x）=lg在（-，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+）上是增函数，
12、故不正确；由知，f（x）没有最大值，故正确故答案为：17. 【答案】（）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+p2=2，即p=2，可得抛物线方程为y2=4x；（）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，=16m2+16n0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=1+m216m2+16n=8，可得n=41+m2-m2，y1+y22=2m，x1+x22=m(y
13、1+y2)+2n2=2m2+n=41+m2+m2=41+m2+m2+1-12(1+m2)(41+m2)-1=3，当且仅当41+m2=m2+1，即m2=1，即m=1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n=1，直线的方程为xy-1=0.【解析】（）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线
14、方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题18. 【答案】（）由题意，f（3）=2sin（3+）=0，即3+=k，kZT4=3-12=4，即T=2=，得=2，代入得=k-23，kZ，取k=1，得=3，f（x）=2sin（2x+3）；（）x4，23，2x+356，53，得f（x）-2，1，由f（x）+log2k=0，得log2k=-f（x）-1，2，k12，4【解析】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题（）由函数的零点列式得到+=k，再由已知求得周期，进一步求得，则可求，函数解析式可求；（）由x的范围求得相位的范围，进一
15、步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x，上恒有实数解即可求得k的范围19. 【答案】（1）由题设知，当12x20时，设p=ax+b，则12a+b=2620a+b=10,解得a=-2，b=50. p=-2x+50，同理得，当20x28时，p=-x+30，所以p=-2x+50,12x20-x+30,20x28;（2）当12x20时，销售利润y=x-10-2x+50-25=-2x-3522+1752,因此当x=352时,ymax=1752;当20x28时，销售利润y=x-10-x+30-25=-x-202+75,函数在（20,28上单调递减，y75，该消费品销售价格为352时，周利润最
16、大，最大周利润为1752.【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型.（1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论;（2）利用二次函数模型，分段求最值得结论.20. 【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e=ca=12，则a=2c，椭圆的准线方程x=a2c，由2a2c=8，由解得：a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，椭圆的标准方程：x24+y23=1；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率kPF2=y0x0-1，则直线l2的斜率k2=-x0-1y0，直线l2的方程y=-x0-1y0（x-1），直线PF1的斜率kPF1=y
17、0x0+1，则直线l2的斜率k1=-x0+1y0，直线l1的方程y=-x0+1y0（x+1），联立y=-x0-1y0(x-1)y=-x0+1y0(x+1)，解得：x=-x0y=x02-1y0，则Q（-x0，x02-1y0），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=x02-1y0，y02=x02-1，则x024+y023=1y02=x02-1，解得：x02=167y02=97，则x0=477y0=377，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（477，377）方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m0，n0，当m=1时，kPF2不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当
18、m1时，kPF2=nm-1，kPF1=nm+1，由l1PF1，l2PF2，则kl1=-m+1n，kl2=-m-1n，直线l1的方程y=-m+1n（x+1），直线l2的方程y=-m-1n（x-1），联立解得：x=-m，则Q（-m，m2-1n），由Q在椭圆方程，由对称性可得：m2-1n=n2，即m2-n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，m2-1=n2m24+n23=1，解得：m2=167n2=97，或1-m2=n2m24+n23=1，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（477，377）【解析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=，则2=8，即可求得a
19、和c的值，则b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02-1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题21. 【答案】（1）Sn=(an+12)2，Sn-1=(an-1+12)2，n2，两式相减得an=(an+12)2-(an-
20、1+12)2，n2，整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，数列an的各项均为正数，an-an-1=2，n2，an是公差为2的等差数列，又S1=(a1+12)2得a1=1，an=2n-1；（2）由题意得k(1a1a2+1a2a3+1anan+1)max，1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，1a1a2+1a2a3+1anan+1=12(1-13)+(13-15)+(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)12，k12；（3）an=2n-1假设存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列，即am+52=amak即（2m+9）2=（
21、2m-1）（2k-1），（2m-1）0，2k-1=(2m+9)22m-1=2m+19+1002m-1，2k-1Z，2m-1为100的约数，当2m-1=1，m=1，k=61, 当2m-1=5 , m=3 , k=23, 当2m-1=25, m=13, k=25. 故存在.【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题（1）利用递推关系得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，数列an的各项均为正数，可得an-an-1=2，n2，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由题意得，利用，“裂项求和”方法即可得出；（3）an=2n-1假设存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列，即可得，进而得出
