1、第二课时函数的最大第二课时函数的最大(小小)值值课标要求课标要求:1.:1.理解函数的最大理解函数的最大(小小)值及其几何意义值及其几何意义.2.2.会求一些简单函数会求一些简单函数的最大值或最小值的最大值或最小值.3.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用中的应用.自主学习自主学习新知建构新知建构自我整合自我整合【情境导学情境导学】导入导入如图所示是某市房管局公布的如图所示是某市房管局公布的20132013年年1010月月20142014年年9 9月该市房价月该市房价走势图走势图:想一想想一想 1:1:从导入图中能否得出从导入图中
2、能否得出20132013年年1010月月20142014年年9 9月房价的最大值月房价的最大值?(在在20142014年年5 5月月,房价达到最大值房价达到最大值,约为约为27 00027 000元元)想一想想一想 2:2:从导入图中能否得出从导入图中能否得出20132013年年1010月月20142014年年9 9月房价的最小值月房价的最小值?(在在20132013年年1212月月,房价达到最小值房价达到最小值,约为约为25 40025 400元元)知识探究知识探究1.1.最大值最大值(1)(1)定义定义:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在
3、实数如果存在实数M M满足满足:对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有f(x)f(x)M;M;存在存在x x0 0I,I,使得使得 .那么那么,称称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值.(2)(2)几何意义几何意义:函数函数y=f(x)y=f(x)的最大值是图象最的最大值是图象最 点的点的 坐标坐标.探究探究:若函数若函数f(x)M,f(x)M,则则M M一定是函数的最大值吗一定是函数的最大值吗?答案答案:不一定不一定,只有定义域内存在一点只有定义域内存在一点x x0 0,使使f(xf(x0 0)=M)=M时时,M,M才是函数的最大值才是函数的最大值,否则不是否则不是.
4、f(xf(x0 0)=M)=M 纵纵高高2.2.最小值最小值(1)(1)定义定义:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足:对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有f(x)f(x)M;M;存在存在x x0 0I,I,使得使得 .那么那么,称称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值.(2)(2)几何意义几何意义:函数函数y=f(x)y=f(x)的最小值是图象最的最小值是图象最 点的点的 坐标坐标.f(xf(x0 0)=M)=M 低低纵纵自我检测自我检测B B1.1.(最小值最小值)函数函数y=-xy=
5、-x2 2+2x-1+2x-1在在0,30,3上的最小值为上的最小值为()(A)0(A)0 (B)-4 (B)-4(C)-1(C)-1 (D)(D)以上都不对以上都不对2.2.(最大值最大值)函数函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2的最大值为的最大值为()(A)3(A)3 (B)2 (B)2(C)0(C)0 (D)4 (D)4A AB B 4 4.(.(最值的应用最值的应用)若函数若函数y=ax+1y=ax+1在在1,21,2上的最大值与最小值的差为上的最大值与最小值的差为2,2,则则实数实数a a的值是的值是.答案答案:2 25 5.(.(最值最值)函数函数f(x)f(x)在在-2,+
6、)-2,+)上的图象如图所示上的图象如图所示,则函数的最小值为则函数的最小值为;最大值为最大值为.答案答案:不存在不存在3 3题型一题型一 图象法求最值图象法求最值课堂探究课堂探究典例剖析典例剖析举一反三举一反三(1)(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间画出函数的图象并写出函数的单调区间;(2)(2)根据函数的图象求出函数的最小值根据函数的图象求出函数的最小值.解解:(1)(1)函数的图象如图所示函数的图象如图所示.由图象可知由图象可知f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,0)(-,0)和和0,+),0,+),无递减区间无递减区间.(2)(2)由函数图象可知由函数图象可知,
7、函数的最小值为函数的最小值为f(0)=-1.f(0)=-1.方法技巧方法技巧 利用图象求函数最值的方法利用图象求函数最值的方法:画出函数画出函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象;观察图象观察图象,找出图象的最高点和最低点找出图象的最高点和最低点;写出最值写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最最低点的纵坐标是函数的最小值小值.即时训练即时训练1-1:1-1:作出函数作出函数y=|x-2|(x+1)y=|x-2|(x+1)的图象的图象,说明函数的单调性说明函数的单调性,并判断是否存在并判断是否存在最大值和最小值最大值和最小值.题型二题型二
8、单调性法求最值单调性法求最值【例例2 2】已知函数已知函数f(x)=.f(x)=.(1)(1)判断函数在区间判断函数在区间(-1,+)(-1,+)上的单调性上的单调性,并用定义证明你的结论并用定义证明你的结论;211xx(2)(2)求该函数在区间求该函数在区间2,42,4上的最大值和最小值上的最大值和最小值.方法技巧方法技巧 (1)(1)由函数单调性结合函数图象找出最高由函数单调性结合函数图象找出最高(低低)点的纵坐标即为点的纵坐标即为函数的最大函数的最大(小小)值值.(2)(2)分段函数的最大分段函数的最大(小小)值是函数整体上的最大值是函数整体上的最大(小小)值值.(1)(1)判断判断f(
9、x)f(x)在在3,53,5上的单调性上的单调性,并证明并证明;(2)(2)求求f(x)f(x)在在3,53,5上的最大值和最小值上的最大值和最小值.【备用例备用例2 2】已知函数已知函数f(x)=1-.f(x)=1-.(1)(1)证明证明:函数函数f(x)f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数;1x(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在在-3,0-3,0上的最大值与最小值上的最大值与最小值;(3)(3)求函数的值域求函数的值域.题型三题型三 二次函数的最值二次函数的最值【例例3 3】已知函数已知函数f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5,-12x+5,当自变量当自变量x x
10、在下列范围内取值时在下列范围内取值时,求函数求函数的最大值和最小值的最大值和最小值.(1)x(1)xR R;解解:f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5=3(x-2)-12x+5=3(x-2)2 2-7.-7.(1)(1)当当xxR R时时,f(x)=3(x-2),f(x)=3(x-2)2 2-7-7,-7-7,当当x=2x=2时时,等号成立等号成立.即函数即函数f(x)f(x)的最小值为的最小值为-7,-7,无最大值无最大值.(2)0,3;(2)0,3;(3)-1,1.(3)-1,1.解解:(2)(2)函数函数f(x)=3(x-2)f(x)=3(x-2)2 2-7-7的图象如图所示的
11、图象如图所示,由图可知由图可知,函数函数f(x)f(x)在在0,2)0,2)上递减上递减,在在2,32,3上递增上递增,并且并且f(0)=5,f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在所以在0,30,3上上,f(x),f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,f(x)f(x)minmin=f(2)=-7.=f(2)=-7.(3)(3)由图象可知由图象可知,f(x),f(x)在在-1,1-1,1上单调递减上单调递减,f(x)f(x)maxmax=f(-1)=20,=f(-1)=20,f(x)f(x)minmin=f(1)=-4.=f(1)=-4
12、.变式探究变式探究:(1):(1)若本例函数解析式不变若本例函数解析式不变,求此函数在求此函数在0,a0,a上的最大值和最上的最大值和最小值小值;解解:(1)(1)由题意知由题意知a0,f(x)=3xa0,f(x)=3x2 2-12x+5=3(x-2)-12x+5=3(x-2)2 2-7,-7,故此函数的对称轴为故此函数的对称轴为x=2,x=2,当当0a20a2时时,f(x),f(x)minmin=f(a)=3a=f(a)=3a2 2-12a+5,-12a+5,f(x)f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,当当2a42a4时时,f(x),f(x)minmin=f(2)=-7,=f
13、(2)=-7,f(x)f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,当当a4a4时时,f(x),f(x)minmin=f(2)=-7,=f(2)=-7,f(x)f(x)maxmax=f(a)=3a=f(a)=3a2 2-12a+5.-12a+5.(2)(2)若将函数若将函数“f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5-12x+5”变为变为“f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+2-2ax+2”,则函数在则函数在-1,1-1,1上的最小值如何上的最小值如何?解解:(2)f(x)=x(2)f(x)=x2 2-2ax+2=(x-a)-2ax+2=(x-a)2 2+2-a+2-a2 2,其
14、图象开口向上其图象开口向上,对称轴为对称轴为x=a,x=a,a-1a-1时时,f(x),f(x)在在-1,1-1,1上单调递增上单调递增,f(x)f(x)minmin=f(-1)=3+2a;=f(-1)=3+2a;-1a1-1a1时时,f(x),f(x)minmin=f(a)=2-a=f(a)=2-a2 2,方法技巧方法技巧 二次函数二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在m,nm,n上的最值情况如下上的最值情况如下:设设f(x)=xf(x)=x2 2-4tx+5t-4tx+5t2 2在区间在区间t-1,t+1t-1,t+1上的最大值是上的最大值是M(t),M(t),
15、最最小值是小值是m(t),m(t),试求试求M(t)M(t)与与m(t)m(t)的解析式的解析式.解解:因为因为f(x)=xf(x)=x2 2-4tx+5t-4tx+5t2 2=(x-2t)=(x-2t)2 2+t+t2 2.所以函数所以函数f(x)f(x)的对称轴方程是的对称轴方程是x=2t.x=2t.当当2tt-1,2tt-1,即即t-1t-1时时,函数函数f(x)f(x)在在t-1,t+1t-1,t+1上单调递增上单调递增,所以所以M(t)=f(t+1)=2tM(t)=f(t+1)=2t2 2-2t+1,-2t+1,m(t)=f(t-1)=2tm(t)=f(t-1)=2t2 2+2t+1
16、.+2t+1.当当t-12tt+1,t-12tt+1,且且f(t-1)f(t+1),f(t-1)f(t+1),即即-1t0-1t0时时,f(x)f(x)在在x=2tx=2t处取最小值处取最小值,即即m(t)=tm(t)=t2 2,此时函数的最大值为此时函数的最大值为M(t)=f(t+1)=2tM(t)=f(t+1)=2t2 2-2t+1.-2t+1.【备用例【备用例3 3】当当t-12tt+1,t-12tt+1,且且f(t-1)f(t+1),f(t-1)f(t+1),即即0t10t1时时,f(x),f(x)在在x=2tx=2t处取最小值处取最小值,即即m(t)=tm(t)=t2 2,此时函数的最大值为此时函数的最大值为M(t)=f(t-1)=2tM(t)=f(t-1)=2t2 2+2t+1.+2t+1.
