1、x xy yo oAABBFxOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2p第1页/共20页AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AABBAFBFABMM故以AB为直径的圆与准线相切.第2页/共20页XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(
2、6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。12345600023563518049090AFB 证明：如图，1=，4=，又 14，1，即第3页/共20页过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理01ABx当轴时，pppp易得A（，），B（，-），2222224pypx11y-，x；02 AB斜率存在时设为k，（k0）p则直线AB方程为y=k（x-）22px2代入抛物线方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxp
3、p1xxOyABF第4页/共20页2222212224212222()2220(2244ypxpyp mypxmyypmypy ypyyppppp 12即：（定值）x x定值）2pABxmymR设方程法二：由题知AB不为，（与x轴平行）xOyABF第5页/共20页QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2
4、=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90。第6页/共20页代入抛物线得y2ms，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB 的方程为=ms（m）2222121222224yypsx xsppp（）122syyp (2).若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s0)证明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相减得11122p
5、AByyxxyy直线方程为（）21121022yyy ypxpx令得2112ypx12因为，y y=-2ps代入上式得0 xsABs 直线必过点（，）lyy2=2pxAMxB第7页/共20页过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（，），B（，-），222pAB=2P=sin 9002290tantankyxpx12p（）时，斜率，直线方程为（）22p然后联立方程组用
6、韦达定理得 ABxsin思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短第8页/共20页12121212121222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppx xxxxxxxpppxxpxOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则112AFBFp第9页/共20页例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.222
7、21212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x，），（x，）则xC1111ypyppy=，x=-联立得（-，-）x222x121221y yypyy11c211pypyy-y2x22p|BCX轴xyFABCO第10页/共20页例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(2001年高考题)22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x，），（x，）则|BX轴2
8、Cyp（-，），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk|OC OAO且共点，ACO直线过点xyFABCO第11页/共20页例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题第12页/共20页例例3.3.A、B是抛物线是抛物线
9、 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(1)求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，2211,xykxykOBOA OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 022212221 yypypy y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.第13页/共20页例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答(2)y12=2p
10、x1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)2121212yypxxyy 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直线线21112122yypxyyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB过定点过定点T(2p,0).第14页/共20页)2,2(2kpkpA同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,-2pk).k1 )1()1(0220kkpykkpx例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(3
11、)求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；2)1(1222kkkk2)(200 pypx即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，第15页/共20页|)|(|)|(|212121yypyyOTSSSBOMAOMAOB(4)2214|2pyyp 当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；第16页/共20页(5)法一：设法一：设M(x3,y
12、3),则则 33xykOM33yxkAB )(:3333xxyxyyAB 得代入即pxyxyyxyx2)(23333,02223323332pxxpyyxpyy例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，23323422ppxxpy 整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0,0).第17页/共20页 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：AB过定点过定点T(2p,0).7.7.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.第18页/共20页小结：小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。第19页/共20页谢谢大家！第20页/共20页
