1、日本日本9 9级地震引起的海啸级地震引起的海啸(2011年)此次地震使日本岛移动了此次地震使日本岛移动了2.4米，导致地球上的一天缩短了米，导致地球上的一天缩短了1.8微微秒秒根据角动量守恒，这说明日本岛可能有所下沉，使之更靠根据角动量守恒，这说明日本岛可能有所下沉，使之更靠近自转轴而使地球加速。近自转轴而使地球加速。4.1 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4.2 4.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律4.3 4.3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4.1.1 刚体刚体定义定义：在运动过程中，其形状和大小都不发生变化的力学研在运动过程中，
2、其形状和大小都不发生变化的力学研究究对象称为对象称为刚体刚体-理想模型。理想模型。处理方法处理方法：把刚体看成不变质点组，用：把刚体看成不变质点组，用质点或质点组的运动规律加以讨论。质点或质点组的运动规律加以讨论。特点特点：刚体内任意两点之间的距离在运：刚体内任意两点之间的距离在运动或受外力时都保持不变。动或受外力时都保持不变。4.1.2 平动和转动平动和转动定义定义：如果刚体在运动时，刚体上任意两点连成的直线的如果刚体在运动时，刚体上任意两点连成的直线的方位始终保持不变，则刚体的这种运动称为方位始终保持不变，则刚体的这种运动称为刚体的平动刚体的平动。平动特点平动特点：l刚体平动时各质点的轨迹
3、相刚体平动时各质点的轨迹相同。同。l任一时刻刚体上各质点的速任一时刻刚体上各质点的速度和加速度都相同。故可用质度和加速度都相同。故可用质心的运动代表。心的运动代表。定义定义：刚体运动时各质元绕同一条固定的直线作圆周运动：刚体运动时各质元绕同一条固定的直线作圆周运动称为称为定轴转动定轴转动。这条直线叫。这条直线叫固定转轴固定转轴。定轴转动特点：定轴转动特点：l描述各质元的角量（角位移、角速度、角描述各质元的角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。加速度）都相同。l各质元运动的线速度、加速度一般不同。各质元运动的线速度、加速度一般不同。刚体一般运动：可看成是随质心的平动和绕通过质心轴转刚体一般运动
4、：可看成是随质心的平动和绕通过质心轴转动的合成。动的合成。一般运动一般运动 =(=(平动平动)+()+(转动转动)原则原则:随某点随某点(基点基点)的平动的平动+过该点的定轴转动基点任选。过该点的定轴转动基点任选。4.1.3 定轴转动定轴转动(1)描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量2ntrarar(2)角量与线量的关系角量与线量的关系rvtet2narar222arrtddtt22ddddavrtana(3)角速度矢量角速度矢量r narat 转动平面转动平面 减速减速 加速加速简化简化OOzr4.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律4.2.1 力对转轴的力矩力对转轴的力矩
5、MrF sinrFM 大小大小:方向方向:右手定则右手定则PzOFrdM*zOkFrFFFMrFFFl若力若力 不在转动平面内，把力分解为不在转动平面内，把力分解为平行平行和和垂直垂直于转于转轴方向的两个分量轴方向的两个分量 F其中其中 对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩为零，故 对对转轴的力矩转轴的力矩FFl定义定义：如果有几个外力同时作用在刚体上时，这几个外力：如果有几个外力同时作用在刚体上时，这几个外力在与转轴相垂直的平面内的分力对刚体的作用相当于一个力在与转轴相垂直的平面内的分力对刚体的作用相当于一个力矩的作用，这个力矩称为这几个力矩的矩的作用，这个力矩称为这几个力矩的合力矩合力矩。合力
6、矩的量合力矩的量值等于这几个外力矩的代数和值等于这几个外力矩的代数和，即，即 12sinii iiMMMMFrl刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消OjiijMMjririjijFjiFdijMjiM由于内力都是成对出现的，而且每一对内力对转轴的力矩由于内力都是成对出现的，而且每一对内力对转轴的力矩互相抵消，因此互相抵消，因此刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩一定为零矩一定为零。沿同一作用线的大小相等沿同一作用线的大小相等方向相反的两个作用力对方向相反的两个作用力对转轴的合力矩为零转轴的合力矩为零。4.2.2 刚体的定
7、轴转动定律刚体的定轴转动定律2i iiiMMmr外内质元受外力质元受外力 ，内力，内力iFifOzimiriFif2i iiiiiMMm r外内2(i iMm r)外转动定律转动定律MJ2i iiJmr定义转动惯量定义转动惯量2dJrm刚体定轴转动的角加速度与它所受刚体定轴转动的角加速度与它所受的的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动转动惯量惯量成反比成反比.=02i iiJmr2dJrml若若M=0，由定律知，由定律知=0，则刚体处于静止或匀角速转动状，则刚体处于静止或匀角速转动状态。态。讨论：讨论：l定律中的各量都是定律中的各量都是对同一固定转轴对同一固定转轴而言的；而言的
8、；l定律是刚体作纯转动时的基本定律；定律是刚体作纯转动时的基本定律；l定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律。应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全第二定律。应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。相同。l力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因；MJ4.2.3 转动惯量转动惯量转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：转动惯性的量度转动惯性的量度转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22i iiJmr2dJrml质量离散体质量离散体1m2m3m1r2r3r 312i
9、iiirmJ233222211rmrmrm (1)转动惯量的计算转动惯量的计算 l质量连续体质量连续体线分布线分布体分布体分布面分布面分布2dJrmdldm dsdm dVdm 质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布 质量线密度质量线密度 质量面密度质量面密度 质量体密度质量体密度A 刚体的质量刚体的质量；B 刚体的刚体的质量分布质量分布；C 定轴的位置定轴的位置。(2)转动惯量与下列因素有关：转动惯量与下列因素有关：(3)计算转动惯量的两个定理计算转动惯量的两个定理l平行轴定理平行轴定理推论：推论：平行轴中对质心的转动惯量最小平行轴中对质心的转动惯量最小。物
10、体绕某一转轴的转动惯量物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的等于绕过质心并与该轴平行的转轴的转动惯量转轴的转动惯量 Jc 加上物体质量加上物体质量m和两平行轴之间距离和两平行轴之间距离d 的的平方的乘积。平方的乘积。J对对oo 轴的转动惯量轴的转动惯量 Jc对通过质心对通过质心C的轴的转动惯量的轴的转动惯量 d两平行轴间的距离两平行轴间的距离 mCod2CJJmdZXYOoo221mRJ 实心圆盘实心圆盘241mRJ 若平面型物体（如薄板、圆盘等）绕与平面垂直的轴的转若平面型物体（如薄板、圆盘等）绕与平面垂直的轴的转动惯量为动惯量为Jz，轴与平面的交点为，轴与平面的交点为O，
11、物体绕平面内通过，物体绕平面内通过0点点相互垂直的两轴的转动惯量分别为相互垂直的两轴的转动惯量分别为Jx和和Jy，则有：，则有：zxyJJJ00L例例1.求质量为求质量为m，长度为长度为 L 的均质细棒的转动惯量。（转轴的均质细棒的转动惯量。（转轴oo 通过棒的一端并与棒垂直）通过棒的一端并与棒垂直）dxdm 解解：在距转轴：在距转轴x处，取质量元处，取质量元dm，其长度为其长度为dxdxLm dmxdJ2 dxxLm2 dJJ LdxxLm02231mL xdxdmLm R m解解：m看作质点看作质点 J=mR2 例例3.质量为质量为m的细圆环，求的细圆环，求J。J=R2dm=mR2dmR
12、Rdl例例2.求小球求小球m的转动惯量。的转动惯量。解解：把环分成无限多个质量为：把环分成无限多个质量为dm的的小段，对每个小段，对每个dm有：有：dJ=R2dm对整个环有对整个环有dldm Rm 2 dmRJ2 Rddl 另解：另解：2032dRRdR2mR ddJ=r2dm R例例4.求均匀薄圆盘求均匀薄圆盘(质量质量m，半径，半径R)的的J。解：解：把盘分成无限多个环。取其中一个环把盘分成无限多个环。取其中一个环(半径半径r，宽，宽dr，质量，质量 dm)dsdm 2Rm rdrds 2 rdrRmrdrRmdsdm2222 整个盘的转动惯量为整个盘的转动惯量为:23022212mRdr
13、rRmdmrJRm 其转动惯量为其转动惯量为drrRm4.3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4.3.1 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量力的时间累积效应力的时间累积效应力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理 Z JL 方向：沿轴正方向方向：沿轴正方向LJ矢量式：矢量式：刚体对刚体对Z 轴的角动量：轴的角动量：iiiirvmL 质元质元 的角动量：的角动量：imiLirivo oim iiiirvmL iiirmJ2 )(iiiiiirmrm224.3.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理
14、iMM外质点质点mi受合力矩受合力矩Mi(包括包括Mi外、Mi内)(ddd)(ddd2iiiirmttJtLM对定轴转的刚体对定轴转的刚体 ，0iM内ddLMttJrmtiid)(d)(dd2则合外力矩则合外力矩2121dttM tJJ对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从，从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：212t1t角动量定理微分形式角动量定理微分形式角动量定理积分形式角动量定理积分形式4.4.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 对于某一固定轴，当刚体所受合外力矩为零时，其角对于某一固定轴，当刚体所受合外力矩为零时，其角动量保持不变。动
15、量保持不变。(惯性系惯性系)-角动量守恒定律角动量守恒定律定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理L 常常矢矢量量LMtddl 守恒条件守恒条件0M l 若若 不变，不变，不变；不变；若若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨论若若 ，0M自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律l 动量守恒定律动量守恒定律l能量守恒定律能量守恒定律l角动量守恒定律角动量守恒定律l电荷守恒定律电荷守恒定律l质量守恒定律质量守恒定律l宇称守恒定律等宇称守恒定律等MM内外l 在冲击等问题中在冲击等问题中 L常量常量l角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.l
16、内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.例例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平处的水平固定轴转动固定轴转动.开始时，木杆竖直下垂开始时，木杆竖直下垂.质量质量m1=50g的小球的小球以以v0=30ms-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以v1=10ms-1的速度向反方向弹回的速度向反方向弹回.杆长杆长l=40cm，木杆质量，木杆质量m2=600g.设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.解：解：因为碰撞时间极短，可以认为碰撞过程中因为碰撞时间极短，可以认为碰撞过程中杆一直处在竖直位置杆一直处在竖直位置.对于木杆和小球组成的对于木杆和小球组成的系统，其所受外力是两者的重力以及轴处轴对系统，其所受外力是两者的重力以及轴处轴对杆的支持力，所有这些外力对轴的力矩为零，杆的支持力，所有这些外力对轴的力矩为零，因此因此系统对轴的角动量守恒系统对轴的角动量守恒.2101 1213mlmlm l 10123()25mm l-1rad s1ml
