1、8.7 保角变换和曲线坐标学习思路： 弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到x 平面的单位圆。 这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。由于应用保角变换，矢量位移，张量应力公式以及K-M 函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分析。 在本节学习之前，请你先学习附录2，（有关保角变换的知识）学习要点： 1. 保角变换和曲线坐标； 2. 矢量的保角变换； 3. 位移分量的曲线坐标表达式； 4. 应力分量的曲线坐
2、标表达式。为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换 z = w (x) 将物体在 z 平面上所占的区域变为在x 平面所占的区域。一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。 假设将z平面上的有限区域或者无限区域S 映射为x 平面的单位圆内的区域S，并且将z平面上的区域S的边界 l 映射为单位圆g，对应的关系如下表：x 平面z平面x =0（无穷远点）z=0（原点）r =const（圆）r =const （曲线）j =const （半射线）j =const （曲线）域S域Sdx dz 由于x 平面上的任一点可以表示为，。r 和j 是点x 的极坐标。 而根据保角变换公
3、式z = w (x)， 则z平面任意一点也可以通过r和j 表示。因此，r 和j 又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。曲线坐标的概念：x 平面的一个圆周r =const和一条径向直线j =const分别对应于z 平面的两条曲线，这两条曲线就记作r =const和j =const。 于是r 和j可以看作z平面上一点的曲线坐标。由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴r 和j 的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标r ，即j =const与x轴夹a 角，如果A为z平面上的任一矢量， 设A与
4、曲线坐标 r 夹b 角。设Ax, Ay分别表示矢量A在x，y 轴的投影；Ar ,Aj 表示在r =const和 j =const上的投影，则上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动a 角后，其在Oxy坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（r，j）中的位置，如图所示。 如果用ur , uj 分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则 根据保角变换，有所以 沿曲线（r）取微分线段dz，则在x 平面对应的有dx，由于 所以，取其共轭可得 。 将上式回代到公式，可得下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先，设K-M函数和y (z)分别使用和y 1(z)代替，同时令 根据位移表达式，有 在 z
5、平面上，将位移矢量向曲线坐标r 和j 投影。由公式可得 上式两边同时乘以2G，可得 上式是x 平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。如果用sr, sj , trj 表示物体在曲线坐标中的应力分量。则 因为 和,而由公式 所以 上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。8.8 无限大薄板的孔口问题学习思路： 本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题，确定K-M 函数的基本求解公式。推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式，将K-M 函数转换为曲线坐标形式。采用的方法仍然是将K-M 函数分解为以级数表达的解析函数
6、和对数表达的多值函数两部份。 对于K-M 函数的级数形式，通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程。这个求解过程，利用保角变换后孔口边界的特殊性质，使用柯西积分使得计算简化。学习要点： 1. 保角变换公式与K-M 函数 ； 2. 利用孔口边界条件确定K-M 函数求解公式； 3. 柯西积分确定K-M 函数的级数形式。保角变换的目标是：将z平面上的孔口边界l映射为x 平面上的单位圆g，将l 以外的无限区域S 映射为x 平面上的单位圆内的有限区域S，将z平面上的无穷远点映射为x 平面的坐标原点，如图所示。 保角变换公式： 是将l以外的无限区域映射为单位圆g 内（|x|1）的普遍变换式，公式中R
7、为实数，Ck为复数，而且1。 保角变换公式确定以后，可以确定K-M函数和y(x)，即将K-M 函数和y1(z)变换到曲线坐标中去。其中 因为 由于1 ，将上式展开，有 所以， ln z = ln x +单位圆内部x的解析函数。 另外 。 根据上述分析，的各项都转变为单位圆内x 的单值解析函数。因此其中， 。讨论边界条件确定K-M 函数和y 0(x )。根据面力边界条件，经过保角变换后，可得 在单位圆的圆周上，。所以上述面力边界条件可以表示为 根据公式，则在边界即单位圆周上 将上述K-M 函数的边界值回代面力边界条件，并且将已知函数与需要确定的未知函数分开，可得其中已知函数为因为和y 0(x )
8、是单位圆内的泰勒级数，它们是从z平面上lR之外无穷区域的罗伦级数转化而来的。因此对于公式幂级数求解时，由于方程两边都含有s k=e ikj 的各个项（k由到），比较各个同类项的系数，即可求得ak，bk 的值。不过这样作太麻烦了，由于和y 0( x )在单位圆内是解析的，而且在圆内和圆周上是连续的，因此可以直接采用柯西积分计算。 将边界条件的第一式两边乘以 ，积分可得由于在单位圆内是解析的，因此公式的第一个积分即等于，它是级数 之和。对于公式第三项的积分函数，由于 在单位圆外是解析的，在圆外和圆周上是连续的，所以。因此，边界条件的第一式就成为 同理，边界条件的第二式成为 上述公式就是边界条件通过柯西积分所推导出的计算和y 0(x )表达式。其中是边界的已知函数。10 / 10
