1、13.2 命题与证明（第5课时）-教案 一、教学背景（一）教材分析 本节课是在已经学过三角形内角和定理及其研究方法的基础上继续研究三角形的外角的重要内容，同时它也首次在平面几何中安排了不等关系的处理与证明，通过对本课学习让学生进一步掌握证明的步骤和格式，为今后进一步研究平面几何图形做好充足的准备，同时本节课也为以后研究角相等提供了重要的依据，因此本节内容在整个数学知识体系中起到了承上启下的作用。（二）学情分析八年级的学生已经具有初步的几何意识并形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，他们能够独立地解决一些基本的几何问题，并且会出现多种的思路和方法。但由于本章学生初次接触严格的证明和相关的符号化表示
2、，所以在学习过程中也会遇到一定的困难.所以在学法上主要是突出探究发现、合作学习与归纳建构。二、教学目标1. 三角形的外角的概念和性质。2. 经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力。3. 通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路。从而使他们灵活应用所学知识。三、教学重点与难点重点：三角形内角和定理的推论。难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用。四、教学方法分析及学法指导1.本节课我采用“问题探究发现”的探究性教学模式，改变“结论例题练习”的传授模式。我采用这种教学法的原因是：新课程理念强调“让学生经历知识的形成过程”。我们不
3、能把学生看成是一个“容器”，尽可能把知识往里塞；也不能把学生训练成一个只会解题的“机器”。而应该让他们投入到获取知识的过程中去，在过程中激发学习兴趣和动机，展现思路和方法，学会学习；从过程中建构进取型人格，通过过程中的“成功感”来完善自我，我觉得这是目前学生最需要的。我们要树立一个观点：一般的教师教人真理，好的教师教人发现真理。2.在学法指导上，主要是让学生学会探究，学会面对实际问题时尝试着从数学角度运用所学的知识和方法寻找解决问题的策略。五、教学过程（一）复习回顾，引出课题师 上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？生 通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个
4、内角集中在一起，拼成一个平角，这样就可以证明三角形的内角和等于180。师 在证明这个定理时，先把ABC的一边BC延长，这时在ABC外得到ACD，我们把ACD叫做三角形ABC的外角。那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用。师 那什么叫三角形的外角呢？（二）合作交流，探究新知像ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。【活动一】 画出三角形的外角并观察特征学生观察后回答：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如：ACD的顶点C是ABC的一个顶点。（2）一条边是三角形的一边，如：ACD的一条边AC正好是ABC的一条边。（3）另一条边是三角形某条边的延长
5、线，如：ACD的边CD是ABC的BC边的延长线。把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角。由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质。【活动二】如图所示，1是ABC的一个外角，1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？ 生甲 1与4组成一个平角，所以1+4=180生乙 1=2+3，因为：1与4的和是180，而2、3、4是ABC的三个内角.则2+3+4=180，所以2+3=1804. 而1=1804, 因此可得： 1=2+3。生丙 因为1=2+3，所以由和大于任何一个加数，可得：12,13.师 很好。大家能用自己的语言说明你结论
6、的正确性。你能把你的结论归纳成语言吗？生丁三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角。生戊不对，如图658。（1） （2）图（1）中，ACD是ABC的外角，从图中可知：ACB是钝角三角形.ACBACD。所以ACD不可能等于ABC内的任两个内角的和。图（2）中的ABC是直角三角形，ACD是它的一个外角，它与ACB相等。由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的。应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角。师噢，原来是这样的，同学们同意他的意见吗？生同意。师是三角形的任一个外角都有此结论吗？生是的。师很好。由此我们得到了三角形的外角的
7、性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（三）例题讲解，应用新知例1已知，如图659，在ABC中，AD平分外角EAC，B=C，求证：ADBC。师生共析要证明ADBC.只需证明“同位角相等”即：需证明：DAE=B。证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=CB=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAE=EAC（角平分线的定义）DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）师同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？生甲这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证。证明：EAC=B+
8、C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAC=EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）生乙 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证。证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAC=EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）B+BAC+C=180（三角形的内角和定理）B+BAC+DAC=180（等量代换）即：B+DAB=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）师同学们叙述得真棒。运用了不同的
9、方法证明了两直线平行。例2已知，如图660，在ABC中，1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE. 求证：12。 师生共析一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明，所以需要找到三角形的外角。证明：1是ABC的一个外角（已知）13（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）3是CDE的一个外角（已知）32（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）12（不等式的性质）师很好。（四）学以致用，巩固新知如图所示，求证： （1）BDCA； （2）BDC=B+C+A. 如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？过程通过学生的探索活动，使学生进一
10、步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论。结果证法一：（1）连接AD，并延长AD，则：1是ABD的一个外角，2是ACD的一个外角。13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC。证法二：（2）连结AD，并延长AD，如图则1是ABD的一个外角，2是ACD的一个外角。1=3+B。2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）即：BDC=B+C+BAC 。 六、课堂小结1. 三角形的外角概念2. 三角形的外角的性质。3. 证明角的大小的一种办法。 七、作业布置1. 课本83页练习1、2题。2. 基训，同步。7 / 7
