1、第六章 电磁感应与暂态过程一、 目的要求 1、熟悉电磁感应现象，掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律； 2、深刻理解动生电动势、感生电动势、自感电动势、互感电动势等概念； 3、能熟练求解动生电动势和感生电动势； 4、了解磁场能量、能量密度等概念，会求磁场能量、能量密度。 5、了解 RL、RC 和 RLC 暂态过程。 二、教学内容 1、电磁感应的基本定律(2学时)2、动生电动势(2学时)3、感生电动势(2学时)4、自感和互感(1学时5、磁场的能量(1学时)6、暂态过程 (2学时)三、教材分析 前面学过的是静止与稳恒的电场和磁场，这一章开始学习变化的电场和磁扬，上一章学习的是电流产生磁场的问题，这一章
2、将学习它的逆现象：磁场产生电流的电磁感应现象。其基本定律是法拉第电磁感应定律，因此，全章应抓住这一条主线， 且能熟练求解动生电动势和感生电动势。 四、重点难点 重点：法拉第电磁感应定律、动生电动势、感生电动势；难点：感生电动势的求解 。 6.1 电磁感应的基本定律 一、教学内容 1、电磁感应现象 2、法拉第电磁感应定律3、楞次定律二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1电磁感应现象 1831年实验物理学家法拉第从实验中发现，当通过任一闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中就会产生电流，这种现象叫电磁感应现象，产生的电流叫 感应电流 。回路中有电流的原因是电路中有电动势，直接由电磁感应得
3、到的电动势 叫感应电动势 。 由于电磁感应定律是一条实验定律，我们当从实验现象入手。通过观察、分析实验现象，给出结论，学习定律。 我们选择有代表性的实验来观察实验现象，围绕如下图6-1所示装置开展实验：将空心螺线管A与检流计G连成回路，我们就是针对这样的装置来做演示实验，观察G指针的偏转情况，进而判断有无电磁感应现象发生。图6-1需指出：由于G的指针是双向偏转的，观察时我们只关心每次操作时偏转与否、偏转方向如何、偏幅怎样。至于后来的来回摆动、复零我们不关心，欲知可见以后磁电式仪表工作原理再介绍。 从稳恒电路角度看，上述螺线管A只相当于一段导线，回路中无电源，电路中没有电流，检流计G指针不发生偏
4、转（调节示零），我们现在的问题是：对该装置，由磁现象能产生电效应吗？如果有，则我们说发生了电磁感应现象。我们判定的方法即是通过检流计G指针的偏转情况来确定：偏转方向反映回路中电流的方向，偏转幅度表明产生的大小。 再者，实验之前，我们应明确其目的，不能忘记主题和目标。目的：观察有否电磁感应现象发生，正确判明产生的条件和产生的因素。下面开始做演示实验：实验一： 插入、拔出磁棒。 投影片：上端为实物图，下端对应地置投影式检流计。向学生展示实物：空心螺线管A与投影式检流计按图连成闭路，磁棒。分三环节做实验：插入、静止、拔出（每步中间稍顿）。 指出插、拔时检流计G指针反向偏； 强调磁棒置管内静止时，最大
5、但不变，检流计G示零。 再做一遍：与上相比，插、拔速度相对地慢一些。两次差别仅在于相对速度不同，产生的大小有别。观察现象，我们至少看到如下事实： (1) 插、拔时有电磁感应现象发生； (2) 的大小与相对运动速度有关，的方向决定于是插入还是拔出。接下来，我们再做第二个实验（板书实验二及题名）。实验二：插入、拔出载流线圈。投影片：实物图的连接仅是小线圈（螺线管B）与电源（含开关）组成又一回路。投影式检流计仍置投影仪下端。展示小螺管B：通过开关与电源连成回路。做实验：仍按三步进行，（通上电源）小螺线管插入、静止、拔出。观察现象，我们发现： (1) 仍有电磁感应现象发生； (2)（与实验一比较）产生
6、并不在乎磁场是由什么激发的（是磁极，还是通电螺管激发）。至此，比较以上两实验，它们的共同点就是：有磁极相对运动参与其中，似乎给人的印象是要回路中产生，就要发生相对运动。现在要思考： (1)“相对运动”是否就是产生的唯一方式或原因？ (2) 我们能否将“相对运动”当作产生的必然条件而作为一般方法或结论固定下来呢？或许有的同学已发现，上述实验中，在磁极插入、拔出过程中，表面上看有相对运动，但这不正是引起大线圈A中的磁通变化的原因或一种方式吗？联想实验的目的，论及产生的原因或条件，试问究竟是相对运动、还是线圈中磁通变化哪一个更具权威性或本质性。带着这个问题我们再做实验三。（板书：实验三及题名）实验三
7、：通、断小线圈电流。投影片：大、小线圈相对静止的实物连接图（上端置投影片，下端放G）。展示实物：大、小线圈各自所在回路事前已连好，表明大、小之间存在两个“无”，一“无”相对运动（将小线圈置于大线圈之内）；二 “无”电的直接联系。通过小线圈通、断电源，能在大线圈中 产生吗？让实验回答：实验：仍分三个层次观察现象，我们得知：(1) 虽无相对运动，但仍有电磁感应现象发生；(2) 回答了相对运动只是产生的一种方式，并非一般性条件。综观以上实验，眼见为实，观察到电磁感应现象。联想实验过程，回顾目的要求，试分析以上实验中在产生的原因、决定的因素方面其共同的事实是什么？请同学们思考，并予以（提问）回答： (
8、1) 作为一般性结论，回路中产生的条件是什么？答：回路中磁通量随时间t发生变化时（若回答有偏差，再结合实验启发），这正是要害所在，但这仅是告诉了我们由的方法。至于具体地可见下。 (2) 的大小是决定于磁通本身、还是决定于磁通的时间变化率？的方向决定于什么？答：决定于，的方向决定于回路磁通是增还是减。2、结论以上实验和其他实验一致表明：回路中磁通发生变化时，产生，其大小决定于、方向决定于的增减。应该指出：以上实验，回路闭合，有即意味着回路中有电动势，而且与电阻有关；但如若不闭合，则既使有，也无。因而从这个意义上看：比更能反映电磁感应现象的本质。以下我们将目光投向，且在电源放电状态下，电源内与同向
9、（以下判知的方向，即知的方向）。有了以上知识和基础，现在再来学习法拉第电磁感应定律的内容，应该说不是一件太困难的事了。2、法拉第电磁感应定律(1)、定律内容导体回路中产生的与穿过该回路的磁通变化率成正比，即为比例系数，负号为能量守恒定律的要求。在SI制中：，定律表成(2)、定律讨论 N匝串联，总电动势式中，为总磁通，或称为磁链。若，则，。的大小，并非。 的方向公式中、均为代数量，可正、可负或为零。或的正负各代表什么含义，我们需约定一个规则赋予正负以明确的意义。的正负，在前我们已有约定：回路绕行方向与法向组成右手关系，若与夹锐角，则；若与夹钝角，则。但与是两个不同的物理量，需寻求一个共同“支点”
10、将两者统一于一个约定框架下，这个联络桥梁-即回路的绕行方向，人为选取的参考正方向：为正，其真实方向与正方向相同；为负，则真实方向与正方向相反。如图6-2，以下按四种情况分析，训练判断方向的方法。(a) 正向增 (b) 反向增 (c) 正向减 (d) 反向减 图6-2在图6-2中，的方向已示于其中，分别地对应于： (a) ； (b) ；(c) ；(d) 。综合四种情况分析，发现：回路中的取向，进而的流向，总是使其激发的回路磁通来阻碍（反抗）原磁通的变化。有这么一种“对着干”的味道，这实际上就是电感线圈表现出的“电磁惯性”，关于此内容，感兴趣的同学可参阅我发表于“大学物理”99年第4期教学研究栏的
11、文章。法拉第电磁感应定律既给出了计算大小的方法，又给出了判定方向的方法，此方法比较系统，但不总是方便和一目了然，下面学习楞次定律，简明地判定和的方向。3、楞次定律作用：判定感应电流的方向。内容：感应电流的效果总是阻碍引起感应电流的原因。图6-3 意义：能量守恒定律在电磁感应现象中的体现，其数学形式即法拉第电磁感应定律中的负号。释义：如图6-3，条形磁铁的N极插入螺线管，管内产生激发、极阻碍插入：外力克服斥力做功，转化为线圈焦耳热。如不是这样，则违反能量守恒：给小初速，感应端为吸N，愈来愈快，则感应电流更大，如此下去，磁棒加速地被自动吸入，体系的动能、焦耳热均无来处-永动机。应用：据的变化趋势及
12、“阻碍”含义（右手定则）确定感应电流方向。图6-4 R 计算实例例1：如图6-4，均匀磁场中，半径为R的圆回路形变成椭圆，保持周长一定，判定的方向。图6-6解：周长一定，圆面积最大，形变成椭圆则面积减小，即变小，由楞次定律可判知的方向，如图6-4所示。例2：均匀磁场中平面回路，一边长良好接触地以匀速运动，求。解：如图6-5，选取正方向，则图6-5 表明的方向为逆时针方向。例3：题意如图6-6。 解： ，方向同参考方向。 另一类：线圈不动，令，则楞次定律指出： 闭合回路中的感应电流总是企图使它自己所产生的磁场反抗原磁通量的变化 。因此对感应电流方向的判断可按相反的顺序分三步进行： (1)原磁场的
13、方向及磁通量m如何变? (2)由“反抗”m的变化确定感应电流的磁场方向； (3)由感应电流的磁场方向确定感应电流(电动势)方向。 这里要注意“反抗”的含义，反抗并不是相反，“反抗”是指 m若变大，感应电流的磁场方向应与之相反；而m变小，感应电流的磁场方向应与之相同。 四、练习作业 思考题： 13 作 业：6.2.1 6.2.3 6.2 动生电动势 一、教学内容 1、动生电动势 2、动生电动势与能量守恒 3、交流发电机原理 二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1动生电动势 (1)、动生电动势由洛仑兹力引起。 特例分析如图6-7(a)，其中感生电动势可用求出为：。运动段：如图6-7(b)电子受电力
14、及洛仑兹力分别为、，平衡后，、间建立一定电势差，相当于电源。(a) (b) (c) 图6-7 外路段：导体框外路导通，形成电流，平衡破坏，电子在作用下继续，等效成闭合电路, 如图6-7 (c)。 分析可见：扮演非静电力作用，运动段相当于电源内部，不动的外路仅提供形成电流I的闭路通道。定义非静电场强：(单位正电荷所受洛仑兹力)，则图6-8与用求得结果相一致。 一般情况下动生电动势的计算公式 当，此时如何求微分法。例如：如图6-8，在无限长载流直导线激发的磁场中，半圆形导线定轴转动，出现非均匀、运动部分非直线，且各元段上不等速。此时处理方法为：在运动导线上取元段，则，然后标量叠加，得总电动势为对于
15、连续情况，写成一般表达式为： 的大小可由此积分公式计算，的方向可结合判知。讨论 电动势仅存在于运动导线段上，此段相当于电源； 若一段导线在中运动而无回路，则有电动势，而无I； 电动势对应的非静电力为洛仑兹力（）； 导体怎样运动才产生电动势：形象地说成导线切割磁感应线产生。图6-9可举几图示让学生分析。(2)、动生电动势与能量守恒回路中电动势推动电荷可做功，而上述由引起，这与不做功相矛盾吗？回答：否。分析如下：如图6-9所示，载流导线在外磁场中以匀速运动，则电子参与两种运动：；，故合成速度为：，且。电子参与两种运动，在中就有两洛仑兹力：，其中与对应，与对应，且、，又 。这一结论与以前相一致。又从
16、上述过程可见：，即，表明合洛仑兹力的两分力之功率相等。当导线以匀速运动时，即外力克服对棒做功，外力功率，表明：外力克服总洛仑兹力的一分力做功，通过另一分力引起电荷定向移动产生，并转换为感应电流的能量，两者大小相等（能量守恒）物理图象如下：外力功洛仑兹力（桥梁）电能。例1：如图6-10(a)，匀强磁场中一段长为2L的导线绕一端转动，用求电动势。 (a) (b) (c)图6-10) 解：的方向：由判知为，即；的大小：。讨论 导体圆盘垂直放置，盘半径，绕中心轴转动，结果同上； 上例中将转动改为平动，如图6-10(b)，则 若转轴不在一端， 若是在中央，如图6-10(c)，则，但； 若是在处，情况又如
17、何？(3)、交流发电机原理正视 每匝 图6-11匀强磁场中，单匝线圈绕定轴转动发电，如图6-11所示。任一时刻，段、 段切割磁力线产生电动势为 若导线框以匀角速度旋转，则，由上式得其中为线圈面积。令时作为计时开始，则任时刻转过角度为，故可表成 其中电动势幅值，为圆频率。注实际发电机：电枢多匝，多极，转动磁极；以上也可用方法求出。四、练习作业 思考题： 45 作 业：6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.66.3 感生电动势 一、教学内容 1、感生电动势与感生电场 2、感生电场的性质 3、螺线管磁场变化引起的感生电场4、电子感应加速器 涡电流 二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1、感生电
18、动势和感生电场 (1) 感生电动势当磁场随时间变化，而回路不变时产生的感生电动势，如图6-14。由Faradays Law 给出为：式中由回路所围的任意曲面。只当回路不变时，上述最后等号才成立。(2) 感生电场是感生电动势之非静电力实验表明，感生完全与导体种类和性质无关，由变化引起。麦克斯韦分析了一些电磁感应现象后，敏锐地感觉到：感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应，他相信，即使不存在导体回路，变化的磁场周围也会激发一种电场，称之为涡旋电场，此场即之非静电力。故上述回路中感生为：(3) 场方程综上有 一般地，空间、并存，有总场：，因为，故，所以，场方程有可写为 图6-12表明电场、磁场不可分
19、割，有了变化的磁场就有变化的电场（另一方面见以后）。2、感生电场的性质(1)为有旋场，旋涡就在变化磁场处表明有旋无势。与方向间的关系如图6-15，对电荷施力作用：。(2)为无源场，力线为无头无尾闭线。， 场通量为零（作为假设），所以表明，高斯定理仍成立。讨论 有，就有，但有则需导体。是此处特例； 变化场情况，区域内处处有电源，不宜划分源内、源外； 动生、感生划分只具有相对意义；3螺线管磁场变化引起的感生电场(1).螺线管内的感生电场无轴向分量作如图回路abcd，其平面平行于轴线。则：所以 (2).螺线管内的感生电场无径向分量图6-13若有径向分量，则沿同轴圆柱面的积分与 矛盾，故无径向分量(3
20、).螺线管内的感生电场只能沿横截面圆周切向根据对称性知，在与螺线管同轴的圆周上各点E感的大小相等，方向沿圆周切线。在螺线管内外分别作同轴圆周，可由环路定理直接求出螺线管内外的感生电场 。例2：长螺线管通电，半径为，求管内、外。 解：如图6-14(a)，具有轴对称性，可由环路定理直接求 负号表示与参考正方向相反，如图6-14(b)。(a) (b) (c)图6-14R L() O B A 讨论 若给出的具体形式，便可代入计算，进一步讨论结果； 如图6-14(c)， 若在长螺线管内沿截面弦上置AB段导线，求。 方法一：； 方法二：（作辅助线使闭合，对各边情况研究）。四、练习作业 思考题： 68 作
21、业：6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4 自感和互感 一、教学内容 1.自感现象与自感电动势 2.互感现象与互感电动势 3.自感线圈的串联二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1 自感现象与自感电动势 如图6-15(a) ，R与L的直流电阻相同，A、B为相同的灯泡，电键K合上：A先亮、B后亮，渐同亮(自感作用)。如图6-15 (b)，L的电阻较小，原接通，灯泡不甚亮。K打开：灯猛亮然后熄灭(自感作用)。(a) (b) 图6-15 生活实例变压器原、付边无电联系，传输能量靠互感现象。日光灯镇流器自感，与起辉器配合起动日光灯，且稳流。当通过一个线圈的电流发生变化时，电流产生的磁场也随之变化，从
22、而使通过线圈自身的磁通量发生改变，因而线圈中产生了感应电动势，这种因线圈中电流变化而在线圈自身产生感应电动势的现象叫 自感现象 ，自感现象产生的电动势叫自感电动势。 由毕萨定律知，而所以，写成等式有：。 L称为 回路的自感系数 ，简称自感。由法拉第电磁感应定律可知，回路的自感电动势为 该式表明，当电流增加时，自感电动势与原来电流方向相反，当电流减少时，自感电动势与原来电流方向相同，自感系数 L越大，自感作用越大。自感系数如同力学中的惯性质量和转动惯量一样，是描述回路“电流惯性”的物理量，图6-16 着重指出：(1) 的单位：亨利（H）；(2) 中的负号表明：对电流的变化总起阻碍作用（电磁惯性）
23、；(3) 恒正，对应有关正方向如图6-16所示；(4) 求的方法 实验法测量。 计算法求：磁链法 设（与I 无关）。设。磁能法 ，例1：如图6-17，单层密绕长螺线管（长，匝，且，体积）设通电，求该螺线管的自感系数解： 螺线管内的，通过每匝磁通（工作磁通），螺线管的磁链 根椐定义，得 体积V=Sl 图6-17 图6-18 (2) 承上，若设通入交变电，试求。把自感L代入，且令自感电动势幅值为则有可见在相位上，波形图参见图6-18。注 另法求解：用计算。因为螺线管表面处又，所以 例2：同轴电缆内、外导体半径、，电流均匀分布，求长为一段的自感L。图6-19 解：如图6-19，设载流I，则B=单位长
24、自感为 6-19 2互感现象与互感电动势(1)互感现象图6-20 两邻近线圈中的电流变化时互相在对方回路中产生感应电动势的现象叫互感现象，互感现象产生的感应电动势叫互感电动势。疫有两个线圈、，见图6-20。现考虑一个线圈载流，而另一不载流，分析互感磁通及电动势。中载流 由以下因素决定： 当这些确定后，增大多少倍，亦增大多少倍，即： 引进互感系数，反映以上因素（除外）对的影响，则有 中载流 同上理由，可得 可以证明（见教材附录）：，称互感系数，简称互感，有， (2)互感电动势 因为，其中并不区分是由何回路激发的，所以互感电动势为 (3) 讨论 的单位可由，或确定SI制中： 的物理意义有两式定义，
25、可如下两个方面理解：某回路中通有单位电流时，在另一回路中的磁通匝链。反映两通电线圈互相提供磁通的耦合能力。当为常量时，常用此式求；:某回路中电流变化一单位时，在另一回路中感生的电动势，描述了一个线圈电流变化在另一线圈中感生电动势的能力。可正可负，可大可小大表示为强耦合，实现无漏磁达最大；小为弱耦合；当外来磁通与回路本身磁通指向相同，即场相互加强时，0；当外来磁通与回路本身磁通指向相反，即场相互削弱时，0；若回路周围磁介质为非铁磁性，则与I无关；又若两回路大小、形状、匝数即相对位置不改变，则为常数。互感电流的方向，可根据Lenzs Law确定，与互感电动势同向。L 无铁芯 有铁芯 变压器 图6-
26、21 电感符号：如图6-21例3：在例1 的螺线管上另套密绕匝线圈2，求它们的互感M。解：将N改用匝，设1中通电，则结果与无关。 3两线圈串联(1) 无漏磁理想情况考虑两线圈中每一线圈产生的磁通量对于每一匝而言相同，且全部穿过另一线圈的每一匝理想无漏磁。设线圈通电、匝，工作磁通为（即每匝磁通），则， （无漏磁条件），另设线圈通电、匝，工作磁通为，则，综合以上两分别通电情况，有其中的仅指大小，不含正负。(2) 有漏磁的一般情况引入耦合系数：，则对应无漏磁；对应无耦合。一般地，有两线圈串于一体，则整体总自感与原分立时各自的自感、互感之间的关系如下 顺串设原来未串时和，则顺串后同，且相互加强。图6-
27、22如图6-22：连接 ，或连接。因为原未串联时所以，顺串后总磁通、总自感分别为 (2) 反串如图6-22：连接，（或12连接），同理得。4自感磁能和互感磁能电容器储能 ：，电感器也储能：储的是磁能，且电感还有一个功能，即限（扼）流。(1) 自感磁能分析过程一线圈电感为L，电阻为R，如图6-23组成电路。R L K 1 2 图6-23 ：接通电源，由于自感电动势的存在，而使电路中不能立刻 （稳定值）要经一段时间，渐大： 的存在：通过R产生焦耳热 的存在：对电源而言是反电动势，电源需抵抗 做额外的功，此功即储于线圈内线圈储有磁（场）能。：上述过程达I后，让L放出磁能。此时减少， 的方向与上述相反
28、，此时它相当于电源（电阻的耗能）。计算公式：某瞬时，。历经时间，电源反抗做功为全过程中，电源做功为 以能量形式储于线圈内。 ：短接时，做正功 综上可见：线圈载流I所储磁能，即自感磁能为 M 图6-24 该式对中间态也成立。(2) 互感磁能分析过程两相邻线圈 ，如图6-26电路。两线圈，各自接电源 ，在两线圈中建立电流，最终达稳值 。 建立电流过程中，均变化，产生三个方面的效果： 电阻上产生热量； 两回路线圈中建立自感磁能； 各在对方线圈内产生互感电动势、。 电源除完成(1) 、(2)中所需能量外，还需克服再做功，以互感磁能的形式储于线圈1、2中。公式推导中，中，并且。全过程中，电源抵抗互感电动
29、势做总功为 此功储于线圈1、2中，互感磁能为 (3) 总磁能 其中自感磁能恒正；互感磁能可正负，正则磁通加强、负则削弱。两个线圈总磁能公式的对称形式 总磁能公式的一般形式此为K个线圈总自能与总互能之和总磁能。5.涡流与趋肤效应(1)涡电流图6-25在许多电磁设备中常常有大块的金属存在(如发电机和变压器中的铁芯)，当这些金属块在变化的磁场中或相对于磁场运动时，在它们的内部也会产生感应电流。电流的流线呈闭合的涡旋状,因而这种感应电流叫做涡电流,简称为涡流。由于大块金属的电阻很小,因此涡流可达非常大的强度。涡流热效应的应用制成高频感应电炉来冶炼金属优点:无接触加热、可放真空室而不受玷污、不致在高温下
30、氧化；加热的效率高，速度快。高频感应电炉已广泛用于冶炼特种钢、难熔或活泼性较强的金属，以及提纯半导体材料等工艺中。涡流热效应的危害当电机或变压器的线圈中通过交变电流时,铁芯中将产生很大的涡流，白白损耗了大量的能量(叫做铁芯的涡流损耗),甚至发热量可能大到烧毁这些设备。为了减小涡流及其损失，通常采用叠加起来的硅钢片代替整块铁芯,并使硅钢片平面与磁感应线平行。一方面由于硅钢片本身的电阻率较大,另一方面各片之间涂有天然的绝缘氧化层，把涡流限制在各薄片内,使涡流大为减小,从而减少了电能的损耗。涡流磁效应的应用 电磁阻尼由于穿过运动导体（铜或铝)的磁通量发生变化，铜片内将产生感应电流。根据楞次定律，感应
31、电流的效果总是反抗引起产生感应电流的原因，因此，铜片摆锤的摆动便受到阻力而迅速停止。图6-26四、练习作业 思考题： 0 作 业：6.5.4 6.5.3 6.11.36.6 暂态过程 一、教学内容 1、RL 暂态过程 2、RC 暂态过程 3、RLC 暂态过程 二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1.暂态过程 暂态过程也称瞬变过程，指的是在阶跃电压作用下RL组成的电路，因存在而电路电流不会瞬间突变；或RC电路中，不可能突变。在RL、RC等电路中，在阶跃电压作用下或从开始发生变化到渐达稳态有一个过程，此过程即暂态过程 （指从一个稳态另一个稳态的过程），研究此过程中有关电流、电压等的时变规律和电路特
32、点。需指出：此类问题中或虽变化，但变化不快而可视作似稳，认为欧姆定律、基尔霍夫定律等仍适用。(1) RL电路研究电路中电流的关系，分述如下：接通电源如图6-30所示，及K组成闭合电路，为阶跃作用信号。：接通电源。回路方程及定解条件为 （对应初态与稳态）2RLiK1图6-27因为，所以回路方程成为是关于电流的一阶常系数非齐次微分方程。以下求解微分方程：即 其中A为积分常数，所以 得 运用，确定出，故满足初始条件的解为 令 则 其中稳定值为 。讨论A 结果表明接通电源，按指数律增长。当时，这里给出了的物理意义。理论上应经方有，实际上经即近似认作稳定值。B 反映指数增加快慢的特征常量是-“时间常数”
33、：大则达稳态越慢，小则增长快；的单位为秒。的物理意义：当达稳值的63%时所对应的时间；的物理意义也可从另外方面认识考察时电流的时间变化率I 0 接通 短接 t 图6-28 表明，若电流以初始时的增加率增加，则用时间即达稳态值。C 求得的变化规律，便可求R上的电压变化规律 结果为指数升。也可得L上的电压变化 结果为指数降。D 比较不同下曲线的上升情况。撤去电源（短接）：阶跃，仍沿用上述正方向规定。 方程与初始条件为： （以新过程的起点作为计时零点）特解：，由，得，故 结果仍指数律变化（此为指数衰减），快慢仍以来衡量。讨论A 解决实际问题时，应具体问题具体对待。例如，上述初始条件不同，结果也就不同
34、，不能死记硬背，应该：电压方程微分方程确定满足条件的特解。（在电工学中有“三要素”法）B 同一回路，充磁、放磁曲线（如图6-28）相交处对应的（答：）。有关计算需算的指数式值。2、R C电路图6-29 R K C 研究RC电路中电量、电流或电压的时变规律：、。(1)充电如图6-29：、C、及开关K 组成的闭合电路。：给C 充电，为阶跃信号电压，则电路的初、终态为 方程及解为，或又代入方程，选定作为求解对象，所以 运用，得 ，故特解为 其中，时间常数。注：记忆方法：。讨论A 如图6-30，按指数律增加，增长率由描述，的单位为：秒。q Q t 0 图6-30B 求得后便可求其它 结果为指数减； 结
35、果为指数升。(2) 放电仍沿用上述正方向规定，如图6-29。满足的初始条件为 电路方程为 满足初始条件的解为 所以 其中的负号表示与原假设正方向相反。电荷、电流随着的变化曲线如图6-31。图6-31 3、LC振荡电路设t=0时：C上电荷，L中电流，图6-32 L C 如图6-32。电路满足的方程为 ， 或令，则上式成为谐振方程其解为 其中为待定常数；此外 运用初始条件；，因此可以证明：任意时刻电容、电感总储能恒值。证明 （恒值）。4、RLC电路电路如图6-33，研究关系。图6-33 L R K C 1 2 2 i (1) 电路方程为关于的二阶线性常微分方程。(2) 通解非齐次方程齐次化令，则
36、特征根法求 特征方程：，其特征根为定义电路阻尼度：，则特征根为通解求得后，则原问题的通解为 现在对各种情况的解分述如下： A 若，即，有两个不等的实根，对应解为此情况下，R较大，随变化但不振荡。当时，而。称之为过阻尼。B 若 ，即，有二重根（），则解为 此情况下， （R比第一种情况小），随变化。当时，称之为临界阻尼。C 若，即，有两不等的复根，则解为 此情况下，R较小，随作指数减幅振荡（含时变余弦函数），终随仍趋于零，即。称之为阻尼振荡（欠阻尼）。(3) 确定系数 以上诸式中常数，均可用初始条件确定，结果如下： 或(4)讨论阻尼振荡特点：减幅振荡（每当流过R，便耗一部分能量）； 振荡频率不变，
37、。当R=0，即时，便退化为LC 振荡电路。此时，等幅振荡，结果与前述所论内容一致。图6-34 K1(充) K2(放) 上述求解对、一并适用，其曲线分别如图6-37所示。(5) 应用灵敏电流计构造简述 投影图示，介绍各部件功用。工作机制 N 匝线圈通电（被测），线圈面积S；磁极磁场，悬丝扭转常数D，偏转角，线圈电阻，外电路电阻R，则力矩分为三方面：其中A 的出现是因平衡前的转动切割线产生，大小为 进而产生感应电流为 该又处在中，受安培力产生阻尼力矩 其中定义阻力系数为。B 当力矩平衡指针不动时：，即有偏转角其中，称为灵敏度。线圈（连动指针摆动）定轴转动的运动规律，可类似以上阻尼电路进行讨论：（相似问题的物理基础在刚体力学中：，为转动惯量，为角加速度）即 或 它是关于的二阶线性常微分方程。令为阻尼度，仿效上述研究进行分析，可按过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况进行讨论（从略，参见教材）。四、练习作业 思考题： 0 作 业：6.8.2 6.8.4 6.8.830 / 30
