1、现代测量平差原理及其模型误差分析现代测量平差原理及其模型误差分析陶本藻教授武汉大学测绘学院地球空间环境与大地测量教育部重点实验室 函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质的模型。1、测量平差数学模型 经典平差模型R（A）=U R（Q）=n X为非随机参数 1 1 1 nununXAL 12020PQD min)()(LXAPLXAPVVTT 经典平差公式 QVLL)AX-L()(20201XXo11XXXTTTTQDunPVVNXAVPANPAPAAXR（A）=tu d=u-t R
2、(Q)=n X非随机秩亏自由网平差minX minTXPVVT QD )(Q XX20X20XX-tnPVVARnPVVXAVNPANXTTTmR（Q）=gt ut X非随机QXALun2011D min)(VAUAQVTT陶本藻、刘大杰5（51990）从奇异正态分布的密度函数)()(21exp),()2(),(21212lTlgglDlxlfminVDVTminVQVTTUUTUTAUAQQLQAAQAX)(fPVVT203、平差系统的模型误差 模型误差分为函数模型误差和随机模型误差两类 最小二乘平差参数X的估值具有最优无偏性，单位权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。这些良好的统计性质都是基
3、于模型误差不显著的情况。但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似，例如非线性观测方程的线性化；未顾及或近似考虑某种系统误差影响；观测值的先验协方差阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更为突出。4、模型误差若干理论问题函数模型不完善或者说存在函数模型误差，可理解为所建模型的参数个数过多或不足。当参数个数选得过多时 1）函数模型不完善参数估计性质 GYAXL)()(XXrXXrDtDtyy2020)E()(XXEy 当参数个数选得不足时，所估参数有偏，单位权方差有偏，而且偏大。2）随机模型不完善参数估计性质 随机模型不完善可归结为定权不正确。权的正确值应
4、为p，现定权为q XXEqAqAAXqTTq)()(111120)()()(qAAqqPAqAAXDTTTq)()(XDXDq2020)()(qTfqvvEE3)随机模型误差对函数模型的影响 函数模型GYAXLYYEYEH)(:H ;0)(:10),(2)(yyuumuyyFuunuRFPPPFFFRRR 当 时0FFF因因FFF此时的统计量 FFF 判定参数y显著，但实际上 FF 参数y不显著。按统计量 F检验，函数模型中列入了参数Y 权的误差P造成了函数模型参数的过渡化。当 时 用统计 检验，参数Y不显著，实际上 参数Y显著，使函数模型少选了参数Y。因此，在实际平差系统中，虽然存在随机模型
5、误差 P，但往往并不知道，上述的检验统计量采用了 致使所选函数模型产生了模型误差，影响了平差函数的最优无偏估计性质。0FFFFFFFFF F 4）函数模型误差和随机模型误差相互转化 误差方程21212121PP PllXAAVVPPllXAAVV21212121PP 21212121PP PLllXAAVVLVVVV2211 定权如果不正确，相当于该观测值存在模型误差是综合函数模型和随机模型误差的。平差系统模型误差的识别和补偿应综合考虑。5、估计和识别模型误差的理论基础公式实际模型 理论模型模型偏差 AXLGYAXLX XGYXXA)(GYGYAXPAANAXT)(1PANPAANJTTVV1
6、1Q)PA-(QJ-IR JRGY 估计偏差的精确度，采用带权均方误差PRGYRGYPJDJtrMSETTP)()()(PGYPQGYPRGYRGYtNNtrJtrPJDJtrVVTTTTTT2012020)()()(20)(tPGYPQGYMSEVVTTP误差方程6、模型误差影响项的估计)()(1GYAXPQPLQAANVVVTRRGYV)()()()()(PPQEPGYPQGYEPRREPRGYRGYEPVVEVVTVVTTTTTTTT)()()()(2020tnPQtrPDPQtrPPQEVVVVVVT)(20tnPVVPGYPQGYTVVTT7、模型误差的识别 检验Y=0 KY 可取4
7、-920tPGYPQGYkVVTTy8、平差系统最优模型的选取及应用例1，测边网坐标平差。数据及平差结果见（误差理论与测量平差基础1P1317-7）。该例 按（4139）式计算模型误差影响项按（4145）式计算dmmm1.0100608.0)813(1.0658.02PGYQGYVVTT6.71.08608.02yk例2，导线网坐标平差（数据及平差结果见1P1367-8）可见此平差系统模型误差不显著。414.010009.4131010)1017(109.11122yk9、模型误差补偿的半参数法半参数回归模型 补偿最小二乘准则 1111nntnSXAL1111nntnLSXAVminRSSPV
8、VTT)(2VLSXAKSRSPVVTT022TTKPVVPVK 02AKXT0KAT022TTKRSSSRKPLSRpXPAPLASPAXPAATTT)()()(1XALPRPSSPAPAAXXTT)(11PLAPAAXTT11)(10、AR（P）模型误差的补偿最小二乘法AR（P）模型tntntttaxxxx2211tppttttxxxxv2211 nptxxxxn,1,211其中时间序列数据为：21TN N,1S R ,1111-11-ttTNNsSRSTTT实例，某台站定点沉降观测数据分析月年/月19901991199219931994119.2918.9920.1220.1118.91
9、219.4219.0420.1319.2318.89319.4219.0319.7518.9619.39419.3219.0819.3618.9319.46519.2618.9319.2219.4519.99619.1619.3919.9419.2520.01719.3620.0418.8819.7319.86819.3619.7619.2020.0119.89919.1420.4819.3620.1218.991019.0120.0519.7719.3619.231118.9819.9219.5119.3420.031218.9020.0820.0219.6219.96 不同值的计算 1(0
10、.2812,-0.2116)1.61380.02880.8(0.2513,-0.2144)1.35760.02420.6(0.2134-0.2180)1.05660.01890.4(0.1630,-0.2231)0.70150.01250.2(0.0906,-0.2308)0.29820.0053)(2,1xVVT2 1.采用AR（P）模型（4154），经定阶检验，确定。2.平差求得方程。3.对上式作模型误差识别存在模型误差，按半参数法对AR（2）模型误差进行补偿，按分别进行补偿最小二乘平差求得参数和以及，由于时的最接近已知值，故采用的结果。4.预报方程为212116.02812.0tttxxx谢谢 谢谢！
