1、 一道高考题的一道高考题的 解法与思考解法与思考2015年浙江省高考理科数学第年浙江省高考理科数学第15题以向量题以向量为载体，以多变量最值为背景，以代数运算为载体，以多变量最值为背景，以代数运算为手段考查向量的数量积运算与向量模的概为手段考查向量的数量积运算与向量模的概念及几何意义的理解，要求学生具有较强的念及几何意义的理解，要求学生具有较强的跨知识点运用，分析，运算等能力，在思维跨知识点运用，分析，运算等能力，在思维灵活性的考查上考查学生综合应用知识的能灵活性的考查上考查学生综合应用知识的能力。下面我把对此题的解法及问题的演变的力。下面我把对此题的解法及问题的演变的探究给大家做个汇报，因为
2、能力有限，望亲探究给大家做个汇报，因为能力有限，望亲爱的同行们给予批评与指正。爱的同行们给予批评与指正。一一.思路分析与解法研究思路分析与解法研究b题目：2015年 浙江理15 已知 是空间单位向量，若空间向量 满足且对于任意 21,ee2121ee25,221ebebRyx,),(1)()(00201021Ryxeyexbeyexb则._,_,00byx),(),0,23,21(),0,0,1(21cbabee则由25,2ebeb得),3,2(cb 则1)323()221()323()221(220200222cyyxcyyx对于任意 恒成立。Ryx,又对任意1)()(201021eyexb
3、eyexbRyx,分析分析1 1：问题表述简洁，指向明确，即求：问题表述简洁，指向明确，即求 恒成立时参数恒成立时参数 的值及对应的的值及对应的 ，考虑到参变量较多，可以通，考虑到参变量较多，可以通过向量的坐标化，利用代数运算将不等关系转化为函数的最值过向量的坐标化，利用代数运算将不等关系转化为函数的最值大小，使条件更明晰。大小，使条件更明晰。1)(21eyexb00,yxb解法解法1：以平面AOB中以 相同方向的数轴为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz,1e2222)323()221(ccyyx因为因为1)323()221(2202002cyyxc所以所以0)323()221(20200yy
4、x整理地整理地1,1,2200cxy故故22,1,222200cbabxy因此因此评注：向量的坐标运算实质是把向量问题转化为代评注：向量的坐标运算实质是把向量问题转化为代数问题，通过坐标公式建立相关参数成立的不等式，数问题，通过坐标公式建立相关参数成立的不等式，通过夹逼原理将参数明确化，充分体现了方程与不通过夹逼原理将参数明确化，充分体现了方程与不等式思想在解题中的应用，体现了向量坐标运算的等式思想在解题中的应用，体现了向量坐标运算的优越性。优越性。1)(21eyexbRyx,解法解法2：由：由对于任意对于任意12522121222eexyebyebxyxb得：得：015)4(222byyxy
5、x即：即：对任意的对任意的x恒成立恒成立0)15(4)4(222byyyx得：得：020412322byy整理得：整理得：对任意的对任意的y恒成立恒成立,0)204(121222by则：则：22,82bb即：即：分析分析2 2：由于：由于 与向量与向量 的关系已知，且向量的模为关于向量坐标的关系已知，且向量的模为关于向量坐标的二次函数，因此，本题实质为二次函数对实数的二次函数，因此，本题实质为二次函数对实数x,yx,y的恒成立问题和的恒成立问题和对实数对实数 的存在性问题，所以可以用判别式来处理。的存在性问题，所以可以用判别式来处理。b21,ee00,yxRyx00,又存在又存在 ，1)(21
6、0eyexb使使0,0yx故故,22b因此因此1,2,2200 xyb即即评注：一些数学问题，只从形式上看，容易被问评注：一些数学问题，只从形式上看，容易被问题所描述的表象所迷惑，如果我们充分挖掘问题题所描述的表象所迷惑，如果我们充分挖掘问题所蕴含的背景，经过转化，可以使其化归为我们所蕴含的背景，经过转化，可以使其化归为我们熟知的问题形式。熟知的问题形式。一旦我们认识到问题实质为二次函数背景下的任意性与存在一旦我们认识到问题实质为二次函数背景下的任意性与存在性问题，可以结合配方法，利用二次函数的有界性，直接确性问题，可以结合配方法，利用二次函数的有界性，直接确定不等关系所隐藏的函数的最值。定不
7、等关系所隐藏的函数的最值。)(21eyexb函数函数 取得最小值取得最小值1?77)2(43)24(5)4(42222222bbyyxbyyxyx1,2,22,17002xybb因此因此解法解法3：由题意可知，当：由题意可知，当 时，时，00,yyxx2121222221252)(eexyebyebxyxbeyexb因为因为当且仅当当且仅当即即x=1,y=2时，等号成立时，等号成立2,24yyx,2121ee3,21ee解法解法4：因为：因为则则向量是数形结合的经典。对于向量问题，我们既要关注运用代数向量是数形结合的经典。对于向量问题，我们既要关注运用代数法去求解，也要学会从几何的角度去思考。
8、考虑到法去求解，也要学会从几何的角度去思考。考虑到 表示以表示以 所对应的有向线段为邻边的平行四边形的所对应的有向线段为邻边的平行四边形的对角线，而对角线，而 表示两间的距离，由最小值可以构造一个表示两间的距离，由最小值可以构造一个直四棱柱直观求解。直四棱柱直观求解。2010eyex2010,eyex1)(210eyexb21,ee3e取取所确定平面所确定平面 的一的一单位法向量单位法向量1)(210eyexb由由的几何意义的几何意义，b的终点到平面的距离为的终点到平面的距离为1，故，故 在空间基底在空间基底 下的下的分分解式为解式为b321,eee32010eeyexb253220210ee
9、eyeex231210120eeeeyex所以所以2521,2210000yxyx整理得整理得22)2(,2,1232100eeebyx即即向量既具有方向，长度，夹角等向量既具有方向，长度，夹角等“形形”的特征，又具的特征，又具有大小，正负，可进行运算等有大小，正负，可进行运算等“数数”的属性，如果我的属性，如果我们在学习过程中能深刻理解向量相关概念，在解题时们在学习过程中能深刻理解向量相关概念，在解题时就能抓住向量的就能抓住向量的“数形数形”双重性，突出其本质，则感双重性，突出其本质，则感受到思维深邃的意蕴，使解法简单。受到思维深邃的意蕴，使解法简单。二二.课本寻根与问题演变课本寻根与问题演
10、变 正如正如”木有本木有本,水有源水有源”,同样地同样地”题亦有根题亦有根”,在茫茫题在茫茫题海中很多题目表面上不同海中很多题目表面上不同,但其实质一样但其实质一样,可归结为同一题根可归结为同一题根.题根不是一个孤立的题目题根不是一个孤立的题目,它是一个题系中的根基它是一个题系中的根基.抓住了根抓住了根基基,就能深刻领悟问题是实质就能深刻领悟问题是实质,就会收到做一题就会收到做一题,会一类会一类,通一通一片的学习效果片的学习效果.显然，本试题的空间背景为直四棱柱，与距离和向量的显然，本试题的空间背景为直四棱柱，与距离和向量的投影紧密相联。先回到课本内寻找其投影紧密相联。先回到课本内寻找其“根根
11、”。数学教材必修。数学教材必修4的课后练习：已知的课后练习：已知 为单位向量，当他们之间的夹为单位向量，当他们之间的夹角分别等于角分别等于 时，画图表示时，画图表示 在在 方向上的投影，方向上的投影，并求其值。如果将此练习中向量变更为动态向量，则可以它并求其值。如果将此练习中向量变更为动态向量，则可以它在课外的在课外的“生长繁衍生长繁衍”。ea,6000135,90,45ae下面有几个变式进行巩固练习下面有几个变式进行巩固练习:Rt变式变式1:已知已知 ,对任意的对任意的 恒有恒有,1,eea,eaeta则则_ea.4,3bcac变式变式2:若若 是空间中两个相互垂直的单位向量是空间中两个相互垂直的单位向量,且且 ,则对于任意则对于任意 实数实数 的最小值是的最小值是_ ba,13c21,ttbtatc21谢谢大家！
