1、6.利率及终现值计算 1.货币的时间价值-利率货币的时间价值 货币（资金）具有时间价值，是指当前一定量的货币比未来等量的货币具有更高的价值。例如，现在的1元比一年以后的1元钱价值更高；而一年以后的1元钱又比两年以后的1元钱的价值更高，依此类推。货币具有时间价值的原因 现在持有的货币可以用于投资，并在一定时期内获得相应的投资收益。人们一般更加偏好当前的消费。一般来说，未来的预期收入具有不确定性。物价水平的变化会影响货币的购买力，因而货币的价值会因物价水平的变化而变化。价格变动的长期趋势是上涨，当物价总水平上涨时，货币购买力会下降。衡量货币时间价值的尺度-利息与利率 利息(interest)-在资
2、金借贷过程中，债务人支付给债权人超过原借款金额（本金/principal）的部分。利息是货币时间价值的绝对尺度。利率(interest rate)-单位时间内利息额与本金之比率。体现了生息资本的增值程度。利率是货币时间价值的相对尺度。利率单位时间内所得的利息额/本金100%如：某人现借得本金2000元，1年后付息180元，则年利率为：年利率180/2000100%9%利率的种类q名义利率与实际利率q官定利率与市场利率q固定利率与浮动利率q一般利率与优惠利率q长期利率与短期利率（利率的期限结构）q单利与复利 名义利率与实际利率（费雪效应）名义利率（nominal interest rate）-对
3、物价变动因素未作剔除的利率。名义利率是以名义货币表示的，公布在银行利率表上的利率。实际利率（real interest rate）-对物价变动率因素进行剔除后的利率。名义利率与实际利率的计算 近似计算近似计算 设i为名义利率，r为实际利率，为物价变动率或通货膨胀率，有：i=r+，或者 r=i 精确计算精确计算 1111iir 费雪效应 阿尔文费雪（Irving Fisher，18671947），耶鲁大学第一个经济学博士，著名经济学家。对货币数量论和宏观经济学做出重要贡献，代表作是货币的购买力（1911）和利息理论。费雪第一个揭示了通货膨胀率预期与利率之间关系的，指出当通货膨胀率预期上升时，利率
4、也将上升。实际利率=名义利率-通货膨胀率，或：名义利率=实际利率+通货膨胀率。实际利率代表的是货币增值的实际购买力，它往往是不变的。因此，当通货膨胀率变化时，名义利率会随之变化。名义利率的上升幅度和通货膨胀率相等，此结论称为费雪效应（Fisher Effect）。实际利率=名义利率-通货膨胀率 法定利率与市场利率 法定利率（官定利率）是指由货币当局规定的利率。这里所说的货币当局，可以是中央银行，也可以是具有实际金融管理职能的政府部门。（中国人民银行公布的金融机构人民币存贷款基准利率是一种法定利率）。市场利率是由资金供求关系和风险收益关系等因素决定的利率，是资金时间价格的真实表现。法定利率法定利
5、率 (legal interest rate)中央银行或金融管理当局规定的利率。市场利率的对称。利率是中央银行货币政策的中间指标。法定利率是中央银行对利率体系施加影响的重要工具，通常包括三类：中央银行对商业银行等金融机构的再融资利率，包括再贴现利率和再贷款利率；中央银行在公开市场上买进卖出证券的价格；中央银行直接规定的商业银行存贷款利率以及对金融市场上股息、债息的直接管制所形成的利率（收益率）。法定利率对由供求关系决定的市场利率起导向作用。法定利率的升降直接影响贷款人对未来市场的预期，并影响他们提供信贷的松紧程度，从而使市场利率随之升降。法定利率可抑制或刺激国内的投资和投机活动，也会影响资本在
6、国际间的流向，并对汇率产生影响。同时，法定利率的高低还制约着金融机构及金融市场对中央银行的货币需求。-中国人民银行网站 固定利率与浮动利率 固定利率与浮动利率是以货币资金借贷关系持续期间内利率水平是否变动来划分的。基准利率 基准利率是在整个利率体系中起核心作用和普遍参照作用的基本利率利率。基准利率制约其他利率，其他利率或金融资产价格均根据这一基准利率水平确定。中央银行的再贴现利率，再贷款利率和同业拆借市场利率都可以承担基准利率的作用。全球最著名的基准利率有伦敦银行同业拆借利率LIBOR（London Interbank Offered Rate），以及美国联邦基准利率（美国商业银行间隔夜拆借利
7、率）。基准利率 当前我国金融市场上形成了种类繁多的基准利率，Shibor（上海银行间同业拆借利率）、Chibor（中国银行间同业拆借利率）、国债利率、定期存款利率等都在利率产品定价方面发挥了重要作用。上海同业拆借利率（Shibor）全称“上海银行间同业拆借利率”（Shanghai Interbank Offered Rate，SHIBOR），被称为中国的LIBOR，2007年1月开始运行。是中国人民银行希望培养的基准利率体系。以位于上海的全国银行间同业拆借中心为技术平台计算、发布并命名。是单利、无担保、批发性利率。目前，对社会公布的Shibor品种包括隔夜、1周、2周、1个月、3个月、6个月、
8、9个月及1年。Shibor报价银行团现由16家商业银行组成，是在中国货币市场上人民币交易相对活跃、信息披露比较充分的外汇做市商银行。每个交易日根据各报价行的报价，剔除最高、最低各2家报价，对其余报价进行算术平均计算后，得出每一期限品种的Shibor，并于11:30对外发布。一般利率与优惠利率 一般利率是指金融机构按一般标准发放贷款或吸收存款所执行的利率。优惠利率则是指低于一般标准的贷款利率和高于一般标准的存款利率。现值、终值与现金流 现值现值（present value/PV）：未来的现金流按一定的利率（一般为复利）折现（discounting）而得到的现在的价值。该利率亦称折现率。根据未来价
9、值和利率计算现值的过程称为折现。现值分为单笔资金的现值和年金的现值。终值终值（future value/FV）：以往的现金流以一定的利率（一般为复利）计息增值后，在未来某一时期结束时的本息总额。终值分为单笔资金的终值和年金的终值。现金流现金流（cash flows）：单笔或一系列资金的流入与流出。现金流入量与流出量之差为净现金流量。单利（simple interest）对本金计算利息，而对每期的利息不再计息，从而每期的利息固定不变，即“利不生利”的计息方法。设r为利率，PV 为本金，n期末终值FV（本金加利息）等于：FV=PV(1+rn)期初的现值等于：PV=FV/(1+rn)式中PV为本金，
10、或初值。在计算FV时，要注意式中n和r反映的时期要一致。单利 例如，有一笔50000元的借款，借期3年，按每年3%的单利率计息，试求到期时应归还的本利和。【解】FVPV(1+rn)50000(1+3%3)54500(元)即到期应归还的本利和为54500元。复利（compound interest）将前一期的本金与利息之和作为下一期的本金，来计算下一期的利息,即“利上加利”、“利滚利”的计息方法。按期结出的利息应属于贷出者所有并可作为资本继续贷出。复利的计算方法反映利息的本质特征。单笔资金，第n期期末FV的计算公式为：单笔资金，n期期初PV的计算公式为：称为单笔资金的终值系数，记为（F/P，r，
11、n）1nPVFVrnrPVFV）（1nr）（1nrFVPV）（1/复利（compound interest）时间加复利的威力比原子弹还可怕。-爱因斯坦2.单笔资金终值与现值的复利计算 假定你存入10000元，年利率为10%，按复利计算，五年后的终值计算如下：存入10000元，年利率为10%时的终值变化情况利息变动情况Value of$5 Invested1 Year$5*(1+0.10)$5.52 years$5.5*(1+0.10)$6.053 years$6.05*(1+0.10)$6.6554 Years$6.655*(1+0.10)$7.3205单笔资金的终值Future Value
12、of a Lump SumniPVFV)1(*F V w ith gro w th s fro m -6%to +6%05 0 01,0 0 01,5 0 02,0 0 02,5 0 03,0 0 03,5 0 0024681 01 21 41 61 82 0Y ea rsFuture Value of$10006%4%2%0%-2%-4%-6%单利和复利的差别有多大?举前例，一笔50 000元的借款，分别按借期3年和15年，每年8%的单利和复利计息，求到期本利和。借期3年的本利和：单利：FVPV(1+r n)50 000(1+8%3)62 000(元)复利：FVPV(1+r)n50 000(
13、1+8%)62 986(元)借期15年的本利和：单利：FVPV(1+r n)50 000(1+8%15)110 000(元)复利：FVPV(1+r)n50 000(1+8%)15 15 8609(元)1元现值在不同利率及不同年限下的终值（终值表）元现值在不同利率及不同年限下的终值（终值表）72法则（RULE of 72）该法则表明，在每年复利计息一次时，现值翻一倍的年限大致为72除以年利率。每年多次计息时的终值 一年多次计息时的终值计算公式一般地，设：每年计息m次，r为年利率 在第n年结束时的终值计算公式为：nmmrPVFV)1(将nmmr)1(称作终值系数。多次计息，年名义利率（Annual
14、 Percentage Rates/APR）为18%时的有效年利率（Annual Effective Rates/EFF）A n n u a l P e r c e n t a g e r a t e F r e q u e n c y o f C o m p o u n d in g A n n u a l E f f e c t iv e R a t e 1 8 1 1 8.0 0 1 8 2 1 8.8 1 1 8 4 1 9.2 5 1 8 1 2 1 9.5 6 1 8 5 2 1 9.6 8 1 8 3 6 5 19722.118.0e 1 9.7 2 可实现12%年有效利率的年名
15、义利率A nnual Effective R ate C om pounding Frequency A nnual Percentage R ate 12 1 12.00 12 2 11.66 12 4 11.49 12 12 11.39 12 52 11.35 12 365 12.111333.0e 11.33 APR(r)and EFF1111111111mmEFFmrEFFmrmrEFFmrEFFmm Annual Effective Rates(EFF)Note that as the frequency of compounding increases,so does the an
16、nual effective rate What occurs as the frequency of compounding rises to infinity?111rmmemrLimEFF连续复利continuous compounding 当复利频率m趋于无限时，年名义复利率（r)就称为连续复利率，这是一个在财务分析中常用的概念。在连续复利下，终值的计算公式为：在连续复利下，现值的计算公式为：rtFVePVrtPVeFV continuous compounding The process of calculating interest and adding it to existin
17、g principal and interest at infinitely short time intervals.The process of accumulating the time value of money forward in time on a continuous,or instantaneous,basis.Interest is earned constantly,and at each instant,the interest that accrues immediately begins earning interest on itself.If PV dolla
18、rs is invested for t years at an interest rate r compounded continuously,thenrtFVePVthe future value is given bythe present value is given byrtPVeFV 连续复利 设年连续复利的名义利率为i=0.06，连续复利的通货膨胀率为=0.04，则：连续复利的实际利率为r=0.02：ireeeei02.004.006.004.006.0eeeeer1.02021040811.06184/1.re单笔资金现值的计算 举例：假定你在三年后需要支付10万元，设三年期存
19、款的年利率为6%，按复利计息，为了满足三年后的这一支付需求，你现在需要存入多少钱？现值计算过程计算现值的一般公式3.年金终值与现值的计算 年 金（annuity）在各时期等额收入或支付的一系列现金流称为年金。现实的例子包括：零存整取 均等偿付的住宅抵押贷款 养老保险金 住房公积金 即时年金与普通年金 即时年金即时年金（immediate annuity，又称先付年金）-在各期期初发生的一系列等额现金流。零存整取、购买养老保险等都是即时年金。普通年金普通年金（ordinary annuity，又称后付年金）-在各期期末发生的一系列等额现金流。例如，假定你在月初与某家银行签订了一份住宅抵押贷款合同
20、，银行要求你在以后每个月的月末偿还2000元的贷款，这就是普通年金。即时年金与普通年金年金终值的计算 年金终值是一系列均等的现金流在未来一段时期后的本息总额。假定你在招商银行开立了一个零存整取账户，存期5年，每年年初存入10000元，每年计息一次，年利率为6%，那么，到第五年结束时，账户上有多少钱呢？这实际上就是求零存整取的（即时）年金终值，它等于你各年存入的10000元的终值的和,即一系列单笔存入资金的终值之和。年金终值的计算即时年金终值公式设：即时年金为pmt利率为r年限为n每年计息一次，则即时年金终值公式为：rrrpmtFVn 1)1)(1(普通年金终值公式设：普通年金为pmt，利率为r
21、，年限为n，每年计息一次，则普通年金终值公式为：式中 为年金终值系数，记为(F/A，r，n)FV=pmt(F/A，r，n)pmt=FV/(F/A，r，n)rrpmtFVn1)1(rrn1)1(普通年金终值与即时年金终值的关系普通年金终值=即时年金终值/(1+r)即时年金终值=普通年金终值(1+r)一般的年金终值表和excel计算器给出的都是普通年金终值。普通年金终值公式的推导（一）根据各期期末年金pmt与第n期期末年金终值的关系，有：FV=pmt(1+r)n-1+pmt(1+r)n-2+pmt(1+r)n-3+pmt(1+r)+pmt =pmt(1+r)n-1+(1+r)n-2+(1+r)n-
22、3+(1+r)+1根据等比级数前n项和公式：S=a（1+q 1+q 2+q 3+q n-1）也可以表示为：FV=pmt(F/A,r,n)qqaSnn11）（rrpmtrrpmtFVnn111111）（）（）（普通年金终值公式的推导（二）根据各期期末年金pmt与第n期期末年金终值的关系，有：FV=pmt(1+r)n-1+pmt(1+r)n-2+pmt(1+r)n-3+pmt(1+r)+pmt上式两边同时乘以（1+r）：FV(1+r)=pmt(1+r)n+pmt(1+r)n-1+pmt(1+r)n-2+pmt(1+r)n-3+pmt(1+r)后式减前式得：FV(1+r)FV=pmt(1+r)n-p
23、mt FV(1+r 1)=pmt(1+r)n-1即：FV=pmt(1+r)n-1/r 年金现值 问题举例：你将在未来五年里，每年年末支出2000元，你打算现在就为这一系列支出一次性存入正好足够的金额，假定年利率为6%，你现在应该存入多少钱？根据题意知，这是一种普通年金。设第i年末支取的 2000 元年金的现值为iPV，根据终值公式，分别得到如下关系式：2000%)61(1PV 2000%)61(22PV 2000%)61(33PV 2000%)61(44PV 2000%)61(55PV 你现在所要存入的金额就是未来五年中每年支取的 2000 元的现值的和，即：515432)06.1106.11
24、06.1106.1106.11(2000IIPVPV 06.111)06.11(1 06.1120005 73.8424 普通年金的现值设：普通年金为pmt，利率为r，年限为n，每年计息一次则年金现值公式为：式中 为年金现值系数，记为（P/A，r，n），有：PV=pmt（P/A，r，n）pmt=PV/（P/A，r，n）rrpmtPVn)1(1rrn)1(1即时年金的现值设：普通年金为pmt，利率为r，年限为n，每年计息一次则即时年金现值公式为：PV=pmt（1+r）（P/A，r，n）pmt=PV /（1+r）（P/A，r，n）rrrpmtPVn)1(1)1(普通年金现值与即时年金现值的关系普通
25、年金现值=即时年金现值/(1+r)即时年金现值=普通年金现值(1+r)一般的年金终值表和excel计算器给出的都是普通年金现值。永久（永续）年金（perpetuity）永久年金就是永远持续下去没有终止日期的年金。我们无法计算永久年金的终值，但却可以计算它的现值。永久年金现值公式对年金现值公式求n无穷大的极限，便得到永久年金的现值：rpmtPV rrpmtPVn)1(1年金现值问题举例-住宅抵押贷款的月供额 如果知道年金现值，未来期限和利率，就可以通过现值公式计算出未来的年金。在均付固定利率抵押贷款中，根据已知现值、利率和借款期限，计算每月还款额。（已知PV,r,n,求pmt)假定你从银行申请到
26、了40万元的抵押贷款，贷款年利率为6%，期限为30年。那么，你的月供（月末付款）是多少呢？根据普通年金现值公式：有：将年利率换算成月利率，或，pmt=400000/(P/A,0.005,360)=400000/166.79=2398.20rrPVpmtn)1(1r)r(pmtPVn112023980050005011400000360.）（月供额抵押贷款月还款额年金现值与终值问题的结合举例-养老保险计划 有时候，在同一储蓄计划中，既要计算终值也要计算现值，养老保险计划就是典型的例子。假定某人现在30岁，计划每月月初在养老金账户存入一定的金额，连续存30年，以便到60岁退休后可以连续20年每月月
27、末从帐户领取1000元。假定利率为6%，每月应缴多少钱？第一步，计算出退休后20年每月1000元年金在30年后开始退休时的现值。该现值正是退休前30年每月缴纳的养老保险金的年金终值。第二步，根据该终值计算每月的缴款额。第一步利用年金现值系数计算：PV=1000（P/A，0.005，240）=1000139.581 =139581第二步 为了在30年后得到139581元，从现在起每月应该存入多少钱？由于是在每月月初交纳养老金款，这实际上是要计算终值为139581元的即时年金支付额。利用公式：rrrpmtFVn 1)1)(1(可以计算出月支付额：pmt=138.26 利用年金终值系数计算，须将普通
28、年金终值系数转换为即时年 金终值系数，再求月支付额：即时年金终值系数=普通年金终值系数 X（1+r）=（F/A，0.005，360）（1+0.005）=1004.5（1.005）=1009.5 月支付额=139581/1009.5=138.26 或，月支付额=139581/1004.5=138.95，138.95/1.005=138.26005.0 1005.01005.01139581360）（）（pmt折现率与贴现率贴现率贴现率折现率贴现率折现率（利率）111FVPVFVFVFVPVFVPVPVFVFVPVFVPVFVPVFVPVPVFV4.通货膨胀和利息税对利息收入的影响 通货膨胀和利息
29、税对利息收入的影响 假定你在银行存入10000元钱，名义利率为10%，按复利计息，存期为5年，年物价上涨率为5%，利息所得税为20%，那么，你在5年后所得到的税后实际利息是多少呢？税后、通胀后利率的计算 税后利率为：10%(1-0.2)=8%对通货膨胀率进行调整后的实际利率为：(1+0.08)/(1+0.05)=1.02857 5年后实际利息总额为：1593元。你现在存入的10000元钱，在五年后的本息总额只能买到以现在价格水平计算的实际价值为11593元的东西。而无通胀，无利息税时的利息为：利息减少了6105-1593=4512元。510000 1.028571000011513-10000=1513（）税后、通胀后利率的计算 你实际得到的利息为1513元。你现在存入的10000元钱，在五年后的本息总额只能买到以现在价格水平计算的实际价值为11513元的东西。而无通胀，无利息税时的利息为：利息减少值为：6105-1513=4592元。6105100001.01100005）（
