1、LOGO复杂网络的控制复杂网络的控制张玉林张玉林LOGO报告提纲报告提纲一、控制论一、控制论二、混沌二、混沌三、规则网络时空混沌的牵制控制三、规则网络时空混沌的牵制控制四、无标度动四、无标度动态态网络的牵制控制网络的牵制控制五、一般复杂动态网络的牵制控制五、一般复杂动态网络的牵制控制LOGO 一、控制论一、控制论LOGO控制论控制论1、控制论的发展、控制论的发展2、控制论的主要方法、控制论的主要方法3、控制论的主要特征、控制论的主要特征LOGO 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。的方方面面。洗衣机智能控制电冰
2、箱温度控制LOGO1.1.两千年前我国发明的两千年前我国发明的 指南车指南车，就是一种开，就是一种开 环自动调节系环自动调节系 统。统。指南车2.2.公元公元1086108610891089年年 （北宋哲宗元（北宋哲宗元祐祐初年），初年），我国发明的我国发明的水运仪象台水运仪象台，就是一种闭环自动调节系就是一种闭环自动调节系 统。统。水运仪象台LOGO标志阶段标志阶段 1.19471.1947年控制论的奠基人美国年控制论的奠基人美国数学家数学家韦纳韦纳（N.WeinerN.Weiner）把控）把控制论引起的自动化同第二次产业制论引起的自动化同第二次产业革命联系起来，并与革命联系起来，并与194
3、81948年出版年出版了了控制论控制论关于在动物和机器关于在动物和机器中控制与通讯的科学中控制与通讯的科学，书中论，书中论述了控制理论的一般方法，推广述了控制理论的一般方法，推广了反馈的概念，为控制理论这门了反馈的概念，为控制理论这门学科奠定了基础。学科奠定了基础。控制论之父控制论之父韦纳韦纳LOGO2.2.我国著名科学家我国著名科学家钱学森钱学森将控制理论应用于工程实将控制理论应用于工程实践，并与践，并与19541954年出版了年出版了工程控制论工程控制论。钱学森钱学森LOGO复杂系统理论：复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范 筹，以解决复杂
4、系统的控制为目标。筹，以解决复杂系统的控制为目标。回顾控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了回顾控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。智能化时代。复杂航天器控制LOGO控制论的三个基本部分控制论的三个基本部分 1.1.信息论。主要是关于各种通路（包括机器、生物机体）信息论。主要是关于各种通路（包括机器、生物机体）中信息的加工传递和贮存的统计理论。中信息的加工传递和贮存的统计理论。2.2.自动控制系统的理论。主要是反馈论，包括从功能的观自动控制系统的理论。主要是
5、反馈论，包括从功能的观点对机器和物体中（神经系统、内分泌及其他系统）的调点对机器和物体中（神经系统、内分泌及其他系统）的调节和控制的一般规律的研究。节和控制的一般规律的研究。3.3.自动快速电子计算机的理论。即与人类思维过程相似的自动快速电子计算机的理论。即与人类思维过程相似的自动组织逻过程的理论自动组织逻过程的理论 LOGO控制论的四个特征控制论的四个特征 第一个特征，是要有一个预定的稳定状态或平衡状态。例第一个特征，是要有一个预定的稳定状态或平衡状态。例如在上述的度控制系统中，速度的给定值就是预定的稳定如在上述的度控制系统中，速度的给定值就是预定的稳定状态。状态。第二个特征，是从外部环境到
6、系统内部有一种信息的传递。第二个特征，是从外部环境到系统内部有一种信息的传递。例如，在度控制系统中，转速的变化引起的离心力的变化，例如，在度控制系统中，转速的变化引起的离心力的变化，就是一种从外部传递到统内部的信息。就是一种从外部传递到统内部的信息。第三个特征，是这种系统具有一种专门设计用来校正行动第三个特征，是这种系统具有一种专门设计用来校正行动的装置。例如速度控制系统中通过调速器旋转杆张开的角的装置。例如速度控制系统中通过调速器旋转杆张开的角度控制蒸汽机的进汽阀门升降装置。度控制蒸汽机的进汽阀门升降装置。第四个特征，是这种系统为了在不断变化的环境中维持自第四个特征，是这种系统为了在不断变化
7、的环境中维持自身的稳定，内部都具有自动调节的机制，换言之，控制系身的稳定，内部都具有自动调节的机制，换言之，控制系统都是一种动态系统。统都是一种动态系统。LOGO反馈控制系统反馈控制系统 基于基于反馈原理反馈原理建立的建立的自动控制系统自动控制系统。所谓反馈原理，。所谓反馈原理，就是根据系统输出变化的信息来进行控制，即通过比较系就是根据系统输出变化的信息来进行控制，即通过比较系统行为（输出）与期望行为之间的偏差，并消除偏差以获统行为（输出）与期望行为之间的偏差，并消除偏差以获得预期的系统性能。在反馈控制系统中，既存在由输入到得预期的系统性能。在反馈控制系统中，既存在由输入到输出的信号前向通路，
8、也包含从输出端到输入端的信号反输出的信号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路，两者组成一个闭合的回路。因此，反馈控制系统馈通路，两者组成一个闭合的回路。因此，反馈控制系统又称为闭环控制系统。反馈控制是自动控制的主要形式。又称为闭环控制系统。反馈控制是自动控制的主要形式。在工程上常把在运行中使输出量和期望值保持一致的反馈在工程上常把在运行中使输出量和期望值保持一致的反馈控制系统称为自动调节系统，而把用来精确地跟随或复现控制系统称为自动调节系统，而把用来精确地跟随或复现某种过程的反馈控制系统称为伺服系统或随动系统。某种过程的反馈控制系统称为伺服系统或随动系统。LOGO反馈控制系统反馈控制
9、系统反馈控制系统包括：（一）负反馈（反馈控制系统包括：（一）负反馈（negative feedbacknegative feedback）：）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相反，对控制部凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相反，对控制部分的活动起制约或纠正作用的，称为负反馈分的活动起制约或纠正作用的，称为负反馈1.1.意义：维持意义：维持稳态稳态2.2.缺点：滞后、波动（二）正反馈（缺点：滞后、波动（二）正反馈（positive positive feedback feedback）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相同，对控制部分的活动起
10、增强作用的，称为正反馈意义：同，对控制部分的活动起增强作用的，称为正反馈意义：加速生理过程，使机体活动发挥最大效应。加速生理过程，使机体活动发挥最大效应。反馈控制系统由控制器、受控对象和反馈通路组成。在反反馈控制系统由控制器、受控对象和反馈通路组成。在反馈控制系统中，不管出于什么原因（外部扰动或系统内部馈控制系统中，不管出于什么原因（外部扰动或系统内部变化），只要被控制量偏离规定值，就会产生相应的控制变化），只要被控制量偏离规定值，就会产生相应的控制作用去消除偏差。因此，它具有抑制干扰的能力，对元件作用去消除偏差。因此，它具有抑制干扰的能力，对元件特性变化不敏感，并能改善系统的响应特性。特性变
11、化不敏感，并能改善系统的响应特性。LOGOLOGO 二、混沌二、混沌LOGO混沌的产生混沌的产生 下面是著名的洛伦兹吸引子。洛伦兹(E.N.Lorenz)是当代世界知名的动力气象学家、混沌理论的少有几位创立者之一。他在1963年发表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了12年之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科混沌理论，成为现代新兴学科的代表。洛伦兹吸引子方程如下：LOGO混沌的产生混沌的产生(续续)LOGO混沌的产生混沌的产生(续续)奇异吸引子LOGO湍湍 流流(turbulence)v复杂、不规则、貌似游走无常的流体运动。复杂、不规则、貌似游走无
12、常的流体运动。v例如：水流的漩涡；例如：水流的漩涡；v以前的理论解释：模态（以前的理论解释：模态（modes）周期运动。周期运动。当流体受到外力的作用时，一定数目的模态就被激发出来；没有模态被激发，流体就处于定常状态；如果单一模态被激发，就是周期振荡；如果几个模态被激发，流动变得不规则；许多模态被激发时，就是湍流。LOGO混沌的定义混沌的定义v设设V为一个集合为一个集合,f:V V称为在称为在V上是混沌的上是混沌的,如如果果:f 对初始条件的敏感依赖性;f 是拓扑传递的;周期点在V中是稠密的;LOGO 烟头燃烧，没有 任何外力的情况下，烟会自动分解。在什么时候分解？什么原因分解？分解时刻是否可
13、以预测？LOGO一维逻辑斯蒂映射v 映射映射(mapping)也叫迭代也叫迭代(iteration)v xn+1=2xn，若，若x1=3,则则x2=6，x3=12。v 从控制系统的角度看，这也叫反馈从控制系统的角度看，这也叫反馈(feedback)，把输出把输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反馈的结果有若干种当作输入，不断滚动。很容易想到，反馈的结果有若干种：发散的、收敛的、周期的等等。v 但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型?是否是否存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代过程存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代过程?这就是有界非周期
14、运动，它与混沌有关LOGOv 逻辑斯蒂映射的形式为逻辑斯蒂映射的形式为v 其中其中a是参数，取值范围是是参数，取值范围是-2,4，通常人们只注，通常人们只注意意0,4这一半，其实另一半这一半，其实另一半-2,0也一样有趣也一样有趣。x的取值为的取值为0,1。映射的不动点是指满足关系。映射的不动点是指满足关系=a(1-)的相点的相点,解得解得_1=0,_2=1-1/a。设映射用设映射用 f 表示，表示，f 的的2次迭代记作次迭代记作f 2，3次迭代记作次迭代记作f 3，等等等等。注意，这种记法不表示乘方关系。注意，这种记法不表示乘方关系。f 的不的不动点也叫动点也叫f 的周期的周期1点。点。f
15、2的不动点实际上是的不动点实际上是f 的周期的周期2点。同理点。同理f n的不动点与的不动点与f 的周期的周期n点是一回事。点是一回事。1(1)nnnxaxxLOGOv映射映射f 的周期的周期m点的稳定性由乘子点的稳定性由乘子v完全决定。映射完全决定。映射f 的周期点的周期点(包括不动点，它包括不动点，它为周期为周期1点点)的稳定性可具体定义为：的稳定性可具体定义为：v1，吸引，稳定；吸引，稳定；1，排斥，不稳定；排斥，不稳定；=1，中性；中性；=0，超稳定。超稳定。miimmxfxfxfxfdxdf121)()().()(LOGOv以参数以参数a为横坐标、以为横坐标、以x的稳定定态的稳定定态
16、(stable steady states)为纵坐标作图，为纵坐标作图，得到得到1、图、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也也称周期倍化分岔或周期倍分岔称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此到同样结构的一套东西。此 所谓无穷自相似所谓无穷自相似结构。结构。LOGOLOGOLOGOLOGOv在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根鲍姆在在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根鲍姆在研究周期倍化过程中，发现相邻分岔间距之研究周期倍化过程中，发现相邻分
17、岔间距之 比收敛到一个不变的常数：比收敛到一个不变的常数：v不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，对于一不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，对于一维维“单峰单峰”映射，都能算出同一个常数映射，都能算出同一个常数 来。来。v的含义是什么？意义何在？的含义是什么？意义何在？11lim4.669,201,609.nnnnnaaaaLOGO混沌混沌v混沌可以说他是确定性的行为；混沌可以说他是确定性的行为；v或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实际系或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实际系统中，也可以说他是近似与确定性的，然而却不统中，也可以说他是近似与确定性的，然而却不是看起来像确定性的。是看起来像确定性
18、的。v在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经过充在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经过充分长的时间后会变得毫无一致性。分长的时间后会变得毫无一致性。LOGO混沌可以理解为貌似混沌可以理解为貌似随机的确定性。随机的确定性。LOGO三、规则网络时空混沌的牵制控制三、规则网络时空混沌的牵制控制LOGO牵制控制的原始基本思想牵制控制的原始基本思想:希望能够仅对网络中的一部分节点直接施加常数输希望能够仅对网络中的一部分节点直接施加常数输入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为的入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为的目的目的.早期的工作包括由胡岗等人对由早期的工作包括由胡岗等人对由L L 个节点
19、组个节点组成的一维离散时间最近邻耦合映像格子所做的探索成的一维离散时间最近邻耦合映像格子所做的探索,未控制的状态方程为未控制的状态方程为:LOGO牵制控制基本问题牵制控制基本问题一一.可行性问题可行性问题.二二.有效性问题有效性问题.LOGO牵制控制的可行性问题：牵制控制的可行性问题：参考文献参考文献1 1.Wang X F,Chen G R.Pinning control of scale-free dy-namical networks.Wang X F,Chen G R.Pinning control of scale-free dy-namical networks.Physica A
20、Physica A,2002,310(3-4),2002,310(3-4).2 2.Li X,Wang X F,Chen G R.Pinning a complex dynam-ical network to its Li X,Wang X F,Chen G R.Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium.equilibrium.IEEE Transactions onCircuits and Systems IIEEE Transactions onCircuits and Systems I,2004,2004.这方面的研
21、究目前主要集中在对部分节点施加线性这方面的研究目前主要集中在对部分节点施加线性反馈而使得整个动态网络稳定在期望的同步状态反馈而使得整个动态网络稳定在期望的同步状态.在理论方面已经清楚的是在理论方面已经清楚的是,只要网络的耦合强度和只要网络的耦合强度和反馈控制增益合适反馈控制增益合适,那么只需控制部分节点就能够那么只需控制部分节点就能够实现控制目标实现控制目标.LOGO有效性问题有效性问题 即如何选取受控节点才能使得达到控制目标所花的即如何选取受控节点才能使得达到控制目标所花的代价尽可能小代价尽可能小.这里的代价包括所需直接控制的节点这里的代价包括所需直接控制的节点数量、网络耦合强度和反馈控制增
22、益幅值等数量、网络耦合强度和反馈控制增益幅值等.已有已有的研究表明的研究表明,利用网络的拓扑特性利用网络的拓扑特性,有选择地对有选择地对网络网络中少量关键节点直接施加控制要比随机选择部分节中少量关键节点直接施加控制要比随机选择部分节点加以控制具有明显点加以控制具有明显优势优势.参考文献参考文献1 1.Wang X F,Chen G R.Pinning control of scale-free dy-namical networks.Wang X F,Chen G R.Pinning control of scale-free dy-namical networks.Physica APhys
23、ica A,2002,310(3-4),2002,310(3-4).2 2.Li X,Wang X F,Chen G R.Pinning a complex dynam-ical network to its Li X,Wang X F,Chen G R.Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium.equilibrium.IEEE Transactions onCircuits and Systems IIEEE Transactions onCircuits and Systems I,2004,2004.LOGO1()(1
24、)()(1)(1)2nnnnxif x if x if x ix为系统的状态变量为系统的状态变量为系统的状态变量为系统的状态变量ni表示映像格子的空间坐标表示映像格子的空间坐标表示耦合强度表示耦合强度()(1)f xxx表示局域动力学表示局域动力学胡岗等对有胡岗等对有L L个节点组成的一维离散时间最近邻耦个节点组成的一维离散时间最近邻耦合印象格子合印象格子规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGO受控制的状态方程为受控制的状态方程为 10()(1)()(1)(1)(1)2LInnnnnkxif x if x if x iiIkg其中其中I I 是相邻的两个被牵制控制节点之间的距离是相邻的两个
25、被牵制控制节点之间的距离.L=I L=I 为被牵制节点的个数为被牵制节点的个数.()1j当当j j=0=0时时,否则否则,()0j规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGOgngn是用来控制所牵制节点的反馈控制器是用来控制所牵制节点的反馈控制器.由于最初由于最初考虑的是常数输入考虑的是常数输入,所以这种控制称为牵制控制所以这种控制称为牵制控制.后后来人们做了适当推广来人们做了适当推广,输入已不再限于常数输入已不再限于常数.在这在这个耦合映像格子中个耦合映像格子中,一共有一共有L L/I I 个节点被直接施加个节点被直接施加了牵制控制了牵制控制.只有对足够多的节点施加牵制控制才只有对足够多的节
26、点施加牵制控制才能有效地控制时空混沌能有效地控制时空混沌.规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGO规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制ParekhParekh等人针对离散时间耦合映像格子使用等人针对离散时间耦合映像格子使用了下面的牵制控制方法了下面的牵制控制方法:1()(1)()(1)(1)()2nnnnnx if x if x if x ip i ()np i 其中其中是第是第n个时刻对个时刻对i节点的牵制强度节点的牵制强度()()npp iiip当当j=0时时,()1j否则否则,()0jLOGOParekh研究发现：研究发现：只有对网络中的每个节点都施加牵制控制只有对网络中的每个节点都
27、施加牵制控制,才能才能将耦合映像格子中的时空混沌稳定到平衡状态将耦合映像格子中的时空混沌稳定到平衡状态.比较比较施加牵制控制的节点的不同分布施加牵制控制的节点的不同分布,发现可以通过均匀发现可以通过均匀或随机分布牵制控制节点来达到全局控制时空混沌的或随机分布牵制控制节点来达到全局控制时空混沌的效果效果.因此因此,牵制控制的强度和控制器分布的密度牵制控制的强度和控制器分布的密度都都决定了耦合映像格子中时空混沌控制的有效性决定了耦合映像格子中时空混沌控制的有效性.规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGOParekh Parekh 和和SinhaSinha 后来又进一步将耦合映像格子的后来又进一
28、步将耦合映像格子的时空混沌控制拓展到了反控制时空混沌控制拓展到了反控制(anticontrol)16,(anticontrol)16,即通过牵制控制即通过牵制控制,使得耦合映像格子由非混沌状使得耦合映像格子由非混沌状态变为混沌状态态变为混沌状态,或者将耦合映像格子中比较弱或者将耦合映像格子中比较弱的混沌进一步增强的混沌进一步增强.有关混沌反控制有关混沌反控制(反馈混沌化反馈混沌化)的详细论述参见专著的详细论述参见专著1717参考文献参考文献16.Parekh N,16.Parekh N,SinhaSinha S.Controlling S.Controlling spatiospatio te
29、mporal dynamics temporal dynamics in excitable systems.in excitable systems.SFI Working PaperSFI Working Paper,2000,200017.17.陈关荣陈关荣,汪小帆汪小帆.动力系统的混沌化动力系统的混沌化.上海：上海交通大学出版上海：上海交通大学出版社社,2006,2006规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGO43牵制控制的思想同样被用于连续时间系统牵制控制的思想同样被用于连续时间系统.考虑如下描述的连续时间最近邻耦合网络考虑如下描述的连续时间最近邻耦合网络111100110110
30、()(2)().1,2,22()(2)()22iiiiiiiNNrx f xxxxxx iNrx f xx xxxxx 规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGO11式中式中r r为控制参数为控制参数.假设只对一个节点施加牵制控制假设只对一个节点施加牵制控制,也就是说也就是说,对于对于N N 个个(节点编号为节点编号为0,1,2,N)0,1,2,N)满足循环满足循环边界条件的最近邻耦合网络边界条件的最近邻耦合网络,只对节点只对节点0 0施加负反馈控制施加负反馈控制.通过分析特征值稳定域和通过分析特征值稳定域和LyapunovLyapunov指数发现指数发现:当当r r=0=0 时时,只通过牵
31、制控制一个节点来控制整个网络只通过牵制控制一个节点来控制整个网络是不可能的是不可能的.显然显然r r 的存在所代表的耦合连接影响了牵的存在所代表的耦合连接影响了牵制控制器的效率制控制器的效率.当当r r 达到一定值时达到一定值时,此时网络间的相此时网络间的相邻局部耦合已经到达了一定的密度邻局部耦合已经到达了一定的密度,于是只控制一个节于是只控制一个节点就能够将整个网络稳定住点就能够将整个网络稳定住.规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制LOGO报告提纲报告提纲 四、无标度网络的牵制控制四、无标度网络的牵制控制LOGO设连续时间耗散耦合动态网络有设连续时间耗散耦合动态网络有N N个节点，个节点，为
32、为第第i i个节点的状态变量，个节点的状态变量，在在存在耦合作用存在耦合作用下第下第i i个节点所满足的状态方程个节点所满足的状态方程是是 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制LOGO 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制LOGO上式中上式中kiki 为节点为节点i i 的度的度.假设网络是连通的假设网络是连通的,那那么耦合矩阵么耦合矩阵A A是一个对称且不可约矩阵是一个对称且不可约矩阵,它有一个重它有一个重数为数为1 1的零特征根的零特征根,而其余特征根均为负实数。而其余特征根均为负实数。无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制LOGO假设网络是连通的假设网络是连通的,那么耦合矩阵那
33、么耦合矩阵A A是一个对称且不是一个对称且不可约矩阵可约矩阵,它有一个重数为它有一个重数为1 1的零特征根的零特征根,而其余特而其余特征根均为负实数。征根均为负实数。为了将动态网络控制到如下定义的平衡点为了将动态网络控制到如下定义的平衡点希望对占网络节点总数的比例为希望对占网络节点总数的比例为的小部分节点实施牵制控制的小部分节点实施牵制控制.这里假设选择节点这里假设选择节点i i1 1，i i2 2，ilil作为被牵制控制的节点作为被牵制控制的节点,这里这里l=l=的整数部分的整数部分.(01)N12,()0Nxxxx f x无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制LOGO被牵制控制的网络状态
34、方程可以写为被牵制控制的网络状态方程可以写为无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制这里这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制,d d 0 0是反馈增益是反馈增益.LOGO无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制将上方程在由定义的平衡点将上方程在由定义的平衡点处线形化，可以得到方程处线形化，可以得到方程,TXx x xx()Df xcB其中其中 是是f(x)在在x处的处的Jacobi矩阵矩阵B=AD,D=diag(d1,d2,dN),其中当其中当 时时,控制增益控制增益dik=d,而而 时时di=0。LOGO无标度网络的牵制控制无标度网络的
35、牵制控制这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制制,d d 0 0是反馈增益是反馈增益.基于线性化方法推知基于线性化方法推知,当存在当存在一个常数一个常数使得使得是是HurwitzHurwitz稳定矩阵时稳定矩阵时,只要耦合强度满足下面的条件只要耦合强度满足下面的条件动态网络就可以被牵制控制到平衡点。动态网络就可以被牵制控制到平衡点。LOGO无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大部分节点的度相对很低部分节点的度相对很低.对其一般采用两种不同的牵对其一般采用两种不同的牵制策略：制策略：一种
36、是随机牵制一种是随机牵制(random pinning),(random pinning),即在网络中随机即在网络中随机地选择若干个节点施加牵制控制；地选择若干个节点施加牵制控制；另一种是特定牵制另一种是特定牵制(specific pinning),(specific pinning),即依次选择即依次选择网络中度最大的若干节点施加牵制控制网络中度最大的若干节点施加牵制控制.二、无标度网络的牵制控制二、无标度网络的牵制控制LOGO无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大部分节点的度相对很低部分节点的度相对很低.对其一般采用两种不同的牵对其一般
37、采用两种不同的牵制策略：制策略：一种是随机牵制一种是随机牵制(random pinning),(random pinning),即在网络中随机即在网络中随机地选择若干个节点施加牵制控制；地选择若干个节点施加牵制控制；另一种是特定牵制另一种是特定牵制(specific pinning),(specific pinning),即依次选择即依次选择网络中度最大的若干节点施加牵制控制网络中度最大的若干节点施加牵制控制.无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制LOGO无标度动态网络的特定控制的有效性可以从以下两个无标度动态网络的特定控制的有效性可以从以下两个方面来理解方面来理解:(1)(1)在其它参数都
38、相同的情况下在其它参数都相同的情况下,为达到控制目标为达到控制目标,只控制那些度很大的节点所需要控制的节点个数只控制那些度很大的节点所需要控制的节点个数,比随机牵制所需要控制的节点个数可能要少很多比随机牵制所需要控制的节点个数可能要少很多.(2)(2)如果选取数目相同的节点数加以控制如果选取数目相同的节点数加以控制,那么为达那么为达到控制目标到控制目标,特定牵制策略所需要的最小耦合强度特定牵制策略所需要的最小耦合强度可能比随机牵制策略所需要的最小耦合强度小很多可能比随机牵制策略所需要的最小耦合强度小很多.无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制LOGO牵制控制陈无标度网络到不平衡稳定点牵制控制
39、陈无标度网络到不平衡稳定点这一小节通过介绍牵制控制陈无标度动态网络这一小节通过介绍牵制控制陈无标度动态网络中的每个节点都稳定到同一个不稳定平衡点的中的每个节点都稳定到同一个不稳定平衡点的方法和过程。这时网络中的每个节点都是如下方法和过程。这时网络中的每个节点都是如下状态方程描述的陈混沌系统状态方程描述的陈混沌系统LOGO当当p1=35,p2=3,p3=28时，该系统的混沌时，该系统的混沌吸引子如上图所示。吸引子如上图所示。系统有一个不稳定的系统有一个不稳定的平衡点平衡点x+=7.9373,7.9373,21LOGO牵制控制陈无标度网络到不平衡稳定点牵制控制陈无标度网络到不平衡稳定点为了将陈网络
40、所有节点的状态都控制到平衡点，我们对为了将陈网络所有节点的状态都控制到平衡点，我们对网络中部分节点施加牵制控制。受控网络的状态方程为网络中部分节点施加牵制控制。受控网络的状态方程为LOGO四、牵制控制陈无标度网络到不平衡稳四、牵制控制陈无标度网络到不平衡稳定点定点根据稳定条件选择控制参数根据稳定条件选择控制参数C=2.01745C=2.01745，d=1000.d=1000.对一个对一个5050节点的由节点的由BABA模型生成的陈无标度网络，只特定牵制控模型生成的陈无标度网络，只特定牵制控制其一个最大度节点，比牵制控制两个最大度节点所需制其一个最大度节点，比牵制控制两个最大度节点所需要的耦合强
41、度条件大的多。且控制过程中度最小的节点要的耦合强度条件大的多。且控制过程中度最小的节点所能受到的影响也要慢的多。如下图所示（实线为最大所能受到的影响也要慢的多。如下图所示（实线为最大节点的轨迹，虚线为最小节点的轨迹）。就特定牵制与节点的轨迹，虚线为最小节点的轨迹）。就特定牵制与随机牵制相比，控制整个陈无标度网络所需要花费的耦随机牵制相比，控制整个陈无标度网络所需要花费的耦合强度及节点数目都要小的多。合强度及节点数目都要小的多。LOGOLOGOLOGO报告提纲报告提纲四、一般复杂网络的牵制控制四、一般复杂网络的牵制控制LOGO李翔、汪小帆和陈关荣接着考虑了如下更为一般的动李翔、汪小帆和陈关荣接着
42、考虑了如下更为一般的动态网络模型态网络模型一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制LOGO为了将动态网络控制到平衡点为了将动态网络控制到平衡点X X，定义如下的牵制控，定义如下的牵制控制制一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制LOGO这里控制增益这里控制增益dik dik 0,0,且各节点间耦合强度满足且各节点间耦合强度满足不失一般性不失一般性,重新编号被选择牵制的节点为前重新编号被选择牵制的节点为前l l 个个节点节点,并定义如下的两个矩阵并定义如下的两个矩阵一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制LOGO再将方程再将方程(10)(10)利用利用KroneckerKronecker卷积写成向量形式如下卷积写成向量形式如下一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制LOGO一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制定理定理LOGO一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制
