1、第三章 量子力学基础 量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的，也突破了玻尔理论的局限性。如今的量子物理科学已与我们生活息息相关。本章从量子力学薛定谔方程的引入开始，介绍如何利用薛定谔方程解决具体实际问题，如无限深势阱、线性谐振子及氢原子问题，并介绍相关的量子力学概念和原理。本本 章章 内内 容容 介介 绍绍北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理第三章 量子力学基础【内容内容】【重点重点】薛定谔方程 态叠加原理氢原子能量本征值与本征函数1.薛定谔方程2.势垒贯穿3.量
2、子力学中的一些理论与方法4.氢原子北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程 我们希望找到一个类似于牛顿方程的方程来描述这种新的量子现象，而且这个 方程应当能完全描述各种系统的状态。我们可从自由粒子出发，假定一个质量 为 m 动量为 p，在势场 中运动的非相对论粒子，粒子的能量可写成（考 虑一维运动）（1）利用德布罗意关系 代入上式得 （2）)(22xumpE)(xukpE,)(2)(2xumk一、薛定谔方程的引入一、薛定谔方程的引入北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程)7()(2)6(;:,)5(0)2()2(:)1(,0)(
3、)4(,:)3()(222222222)(0tixuxmxiptiEmpExmtixupxEtietxtkxi上得一维的薛定谔方程作用于波函数作如下变换对于一般情形知由时对于从上式，有，函数写成平面波形式：对于自由粒子，把其波北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程 推广到三维，得薛定谔方程为 式（8）就是薛定谔方程的一般形式。)8(),(),()(222trtitrrum)10(9)9()(21)()(),()8()(22EdtdTTiErumdtdTTitTrtrtru）式得使（于是有分离常数得为求其特解，把波函数写可用分离变量法时，式不显含当势场二、定态薛
4、定谔方程二、定态薛定谔方程北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程与时间无关。式几率密度并注意到，由）（得出定态薛定谔方程为所含常数中，得归到并将常数解得和*220022)12(13)(2)12()(),()11()(21ErumertrTeTTErumiEtEti北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程,.2,1,222nEumhnnn(*)nntinnea三、解定态薛定谔方程的一般方法三、解定态薛定谔方程的一般方法3*)()(.1,00,(*)32)()(:1rdrrdVrdrraeaaaeaTrtTnnnnntinnntin
5、nnn空间处粒子的概率为此时在是归一化的，则设时全为，其它当只有一个其中式、最后方程的通解为方程。、然后求解定态薛定谔即把时间及空间分开、首先用分离变量法【解薛定谔方程的一般方法解薛定谔方程的一般方法】北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程)4()3(2)2(02)1(0,0,0)()0(,22222222kdxdmEkEdtdmxdxdxxudxx则方程可以写为：记满足定态薛定谔方程：，因而在阱内，显然势函数不显含时间势能为无限大，即为零，而在此区域外，到从它的势能在一定区域内粒子考虑一维空间中运动的【举例举例】一维无限深势阱x=0 x=LV=0V北京邮电大
6、学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程)8()(22)(,08)7(,2,1,8,sin2)()6(,3,2,1,54)5(0)()0(4:01222221222EOmdhmpEpdxmdhEnmdhnEdxndxndnkdnnn，因而有：，则动量不确定度近似为位置不确定度为，也可从不确定原理看出级为注意到的是，最低的能）得量子化条件：）与（联合（）的解满足边界条件（限，连续。因而，方程波函数必须是单值，有准条件的波函数必须满足的标。考略到描写实物粒子在阱外，北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.1 薛定谔方程四、四、态叠加原理态叠加原理nnnnnn
7、nnnnnnnnnnnnnccEccncccdVrrrc*.,;:11)()(:)(，则的概率为个状态粒子处于第的状态函数指粒子处于是能量本征函数时例如：的概率振幅表示粒子所处是系数的某一状态用来描述粒子所处系统其中，或的完备性及正交性得则利用为若一个波函数可以表示态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是“波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.2 势垒贯穿本小节我们考虑方势垒的穿透问题。方势垒为：当入射粒子从 的地方向右入射，如
8、其入射能量 E 低于 时，按照经典力学观点，粒子不可能穿过势垒，将全部返回。但是量子力学将给出完全不同的结果。从一维定态薛定谔方程出发，得在区域 时，薛定谔方程为：)1(,0)(21021xxxVxxxxxu1xx 0V)2(2,22121222mEkkmEdxd其中1xx x0EV0X2X1V有限高势垒北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.2势垒贯穿(4)(2)(2,)3(,)sin(2)222220222220222021111111xkxkeBeAEVmkkEVmdxdEVuxxxAxkA其解为指数函数：，则方程为：中在区域均为常数。，其中式的解为正弦波：化条件决定。
9、两点连续的条件和归一在一起由波函数它们与均为常数式中其解也是正弦波：方程形式为内在区域2111332231332,)5()sin(),2(,0 xxAABAxkAuxx北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.2势垒贯穿计算可知，在区域 的波函数不为零，故根据Born的几率解释可知，粒子有一定的几率到达区域 。这是经典力学不可能得到的，伽莫夫首先导出这一公式，并用此解释了原子核发生a衰变的实验事实，解释了经典物理无法回答的势垒穿透效应。0,2uxx,0,2uxx北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.3量子力学中的一些理论与方法一、平均值一、平均值一维无限深势
10、阱 LxxLxLxnAx,000sin)(,其他位置0|002dd0222axxLxEmx可以解微分方程得到:以一维无限深势阱为例：以一维无限深势阱为例：x=0 x=LV=0VV北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.3量子力学中的一些理论与方法nnnnnnnnLnnnnnnnaaaanndxdxdxtEiatxxLnLnEmtEitTtxtxtxt*0*221)(1)exp(),(sin)(2)exp()(),(),(),(的概率为：，粒子处于某一故：及正交完备性：由归一化条件：得到分解，利用分离变量法将，的波函数这样可以求出任意时刻北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原
11、子物理原子物理3.3量子力学中的一些理论与方法【引论引论】热学平均能量dppxipdppppppppdppxitEipEdxHEaaENNNNNNNNNNNNNNNNPnnnnnnnnnnnn)()()()()()()exp()exp()()(,.,:,.,*2122112211则：动量的概率为：粒子处于按动量展开：按能量展开：表示概率，其中则北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.3量子力学中的一些理论与方法二、算符的引进二、算符的引进dpppppppppdpdxfpxfpxdpdpdpdpxpfpppxipdppppdpppppppdxxfxfdkikxxfxfppppp
12、)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()exp()()(*故：其中：令：由傅氏变换：北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.3量子力学中的一些理论与方法EHumumpHzyxuuzipyipxipxdxAxixAdxppxAzyxLL22),(,sinsin,sin22200*示为：从而薛定谔方程可以表能量算符：势能算符：可见引入算符：则若：可见算法的重要性，在量子力学中的力学量，大部分以算符的形式出现。北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理 3.4 氢原子【引进球坐标引进球坐标】0)(2)2(/tantancossins
13、incossin2222222222uEmEumzyxxyrzrzyxryzzzzrzrx薛定谔方程：氢原子问题是薛定谔方程唯一可以严格求解的原子结构模型问题，因而也是最具有代表性的。本节将给出解题的大致步骤及物理意义。),(r北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理 3.4 氢原子代入上式，有：再令为球谐函数其中分离变量：)()()(sin1sinsin1142),(,)(),(222222220222rRrrrrrrErZemYrRY0sin)(sinsin101)(sinsinsin)242)()1222sin12222022222mddddRRZeEmrdrdRrdrd、
14、北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理有限球谐函数故：令rrRllZeEmrdrdRrdrdmimmimPYlllxdxxdxPxxPxmdxdxdxdxdxddddxdddxdxdddxlmmlmlmlmlmmlmlm,00)1(42)(,.2,1,0)exp(0)exp(:.3,2,1,0)1()1()1(2)1()1()(12)1(sin,sin,cos:02222222222!2/2)(2/22222222222 3.4 氢原子北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院 原子物理原子物理3.4氢原子 2、角动量算符mmzlmlmzlmlmlmnllmnlnlmyzxzyxmL
15、YmYLYllYLYLPYRLLLyzzymiPzPyLPrLLLLL)1(sin1)(sinsin1)(222222222222【物理意义物理意义】1、径向波函数 Rn,l(r)是决定于主量子数n和角量子数l的多项式3.4氢原子 3.n,l,m的物理意义：体系的状态由量子数n,l,m确定，它们应该决定体系的全部可能的知识。1）主量子数n:决定了单电子体系的能量 2）角动量子数l:决定M的大小（叫角量子数的原因）电子亚层 决定原子轨道的形状 多电子原子 决定能量 决定原子轨道磁矩的大小 2n102)12(nlnl22022nZaeEn1Ml l3.4氢原子 3)磁量子数mzM 决定 的大小磁量子数 决定轨道及电子云的空间取向（实验表明：在有外加磁场时，Z方向相当于磁场方向）决定磁矩在磁场方向分量的大小。到此，我们又引出了 两个力学量，即角动量和磁矩。zM m【结论】轨道角动量和轨道磁矩都是方向量子化的。这些已在原子光谱的塞曼效应中得到证实。
