1、代数系统的基本概念1半群与含幺半群（独异点）2子群与陪集4同态与同构6v 代数系统代数系统 群（阿贝尔群与循环群）35设是含2个二元运算的代数系统,若：(1)是阿贝尔阿贝尔群群；(2)是半群半群；(3)运算*对是可分配分配的；则称是环环。通常把第1个运算 称为“加法”；第2个运算*称为“乘法”。以下代数系统都是环：，其中 I:整数集，+、是加法和乘法，其中 Q:有理数集，+、是加法和乘法，其中 R:实数集，+、是加法和乘法是环，则对a,b,c R，有：(1)a =a=（环中的加法幺元幺元是乘法零元）(2)a (-b)=(-a)b=-(a b)(3)(-a)(-b)=a b(4)a (b-c)=
2、a b-a c(5)(b-c)a=b a-c a其中：是加法幺元，-a 是 a 的逆元，a-1 是 a 的逆元，a+(-b)记为 a b是环，则对a,b,c A，有：(1)a =a=(2)a (-b)=(-a)b=-(a b)(3)(-a)(-b)=a b证明：(1)a=a =+a=a=(+)a=a+a由消去律，得 =a，同理可得 a =(2)a (-b)=(-a)b=-(a b)a (-b)+a b=a (-b+b)=a =同理 a b+a (-b)=-(a b)=a (-b)；同理-(a b)=(-a)b(3)(-a)(-b)=a b由(2)(-a)(-b)=-(a (-b)=-(-(a
3、b)=a b是环，则对a,b,c A，有：(4)a (b-c)=a b-a c(5)(b-c)a=b a-c a证明：(4)a (b-c)=a b-a c a (b-c)=a (b+(-c)=a b+a(-c)=a b-a c(5)(b-c)a=b a-c a 证法同(4)是环：(1)若是交换半群，则称是交换环；(2)若是含幺半群，则是含幺环；(3)若A中存在两个非零元素a和b，a ,b ，使ab=，则称a和b为零因子零因子，而称是 含零因子环；否则称是无零因子环。代数系统是环，Nk=0,1,k-1，+k和k是模k加法和乘法运算，是否含零因子环。k=5时，N5=0,1,2,3,4，0是k零元a
4、 0,b0，a5 b=(a b)mod 5 a b 5的倍数，a5b0，是无零因子环无零因子环 k=6时，N6=0,1,2,3,4,5，2 N6，3 N6，2 6 3=(2 3)mod 6=0而2 0，3 0是含零因子环，其中2和3是零因子 要根据k的具体值来确定是否是含零因子环是代数系统，若满足 (1)是阿贝尔群（交换群）(2)是可交换独异点，且无零因子 (3)运算对运算+是可分配的 则称为。（即：可交换的含幺元的无零因子环）无零因子环交换环含幺环整环环几种环之间的继承关系：整环中的无零因子无零因子条件等价于乘法消去律。(1)若无零因子，则有消去律若无零因子并设c 且且c a=c b，则有c
5、 a-c b=，c (a-b)=a-b=a=b左消去律成立，同理可证右消去律成立；(2)若消去律成立，则无零因子（反证法）假设存在零因子 a、b，即a ，b 有a b=a ，由消去律得b=，与b 矛盾，假设错 若消去律成立，则无零因子整环中的等价于。(1)若无零因子则有消去律若无零因子并设c 且c a=c b，则有c a-c b=，c (a-b)=a-b=a=b左消去律成立，同理可证右消去律成立；(2)若消去律成立，则无零因子（反证法）假设存在零因子 a、b，即a ，b 有a b=a ，由消去律得b=，与b 矛盾，假设错 若消去律成立，则无零因子 是代数系统，若满足：(1)是阿贝尔群(2)是阿
6、贝尔群（是加法幺元、乘法零元）(3)运算对运算+是可分配的则称。是域，|A|1，中含幺元，可交换，A-中每个元素有乘法逆元。例：是域是域：是阿贝尔群；是阿贝尔群 不是域不是域，不是群，例如2 I-0，但在中，2没有逆元，1/2I-0设是含2个二元运算的代数系统,若：(1)是阿贝尔群；(2)是半群；(3)运算*对是可分配的；则称是环。通常把第1个运算 称为“加法”；第2个运算*称为“乘法”。是环，则对a,b,c A，有：(1)a =a=（环中的加法幺元是乘法零元）(2)a (-b)=(-a)b=-(a b)(3)(-a)(-b)=a b(4)a (b-c)=a b-a c(5)(b-c)a=b
7、a-c a其中：是加法幺元，-a 是 a 的逆元，a-1 是 a 的逆元，a+(-b)记为 a b 是环：(1)若是交换半群，则称是；(2)若是含幺半群，则是；(4)若A中存在两个非零元素a和b，使ab=，则称a和b为零因子，而称是；否则称是。是代数系统，若满足 (1)是阿贝尔群（交换群）(2)是可交换独异点，且无零因子 (3)运算对运算+是可分配的 则称为。（即：可交换的含幺元的无零因子环）无零因子环交换环含幺环整环环几种环之间的继承关系：是代数系统，满足：是阿贝尔群 是阿贝尔群（即是可交换独异点）运算对运算+是可分配的是代数系统，满足是阿贝尔群是可交换独异点，且无零因子运算对运算+是可分配
8、的：域一定是整环。：有限整环一定是域。：域一定是整环。设是域，则是阿贝尔群，e A,e为乘法幺元，可交换，是可交换独异点。可交换的含幺元的无零因子环只需证满足无零因子条件，即只需证满足乘法消去律。设e是乘法幺元，对于a,b,cA，且a ，若有ab=ac，则 b=e b=a-1 a b=a-1 (a c)=e c=c满足乘法消去律 是整环。：有限整环必是域。设是有限整环，加法幺元 是的零元，并且是可交换独异点,具有乘法幺元e，且e ，也是可交换独异点,只需证中每个元素都有逆元。对于ai,aj,c A，且ai,aj,c ，且ai aj时，aic ajc，如：A=a1,a2,ai,c,ai+1,ai+2,an，c与ai,aj,各不相同。A c=a1 c,a2 c,ai c,c,c c,ai+1 c,ai+2 c,an c A有限，且运算封闭 A c A，且|A c|=|A|，所以A c=A 设 e 是幺元，则 e A，c 是任意的，且 c ，又 A c=A 必有ai A，使ai c=e，是整环，可交换，ai c=c ai=e c 的逆元是ai，A-中任一元素都有逆元。是域216v 作业作业
