1、1第一章第一章 绪论绪论1.1 1.1 弦振动方程与定解条件弦振动方程与定解条件1.2 1.2 热传导方程与定解条件热传导方程与定解条件1.3 1.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程与定解条件1.4 1.4 基本概念与基础知识基本概念与基础知识21.1 弦振动方程与定解条件弦振动方程与定解条件 弦振动方程是在弦振动方程是在1818世纪由达朗贝尔等世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的。它是一大类偏微人首先给予系统研究的。它是一大类偏微分方程的典型代表。分方程的典型代表。一、下面先从物理问题出发来导出弦振动一、下面先从物理问题出发来导出弦振动方程。方程。给定一根两端固定且拉紧的给定一根两端固定
2、且拉紧的均匀均匀的的柔柔软软的弦，其长度为的弦，其长度为 。在外力作用下在平。在外力作用下在平衡位置附近作衡位置附近作微小的横振动微小的横振动，求弦上各点，求弦上各点的运动规律。的运动规律。l3 将实际问题归结为数学模型时，必须作将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题的最本一些理想化的假设，以便抓住问题的最本质的特征。质的特征。在考察弦振动问题时的基本假设为：在考察弦振动问题时的基本假设为：1.1.弦是弦是均匀均匀的，弦的截面直径与弦的长度的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略，弦的线密度相比可以忽略，弦的线密度是常数。是常数。2.2.弦是弦是柔软柔软的，它在形变时不
3、抵抗弯曲，的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克胡克 （HookeHooke）定律定律。（。（即指在弹性限度内，物即指在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比体的形变跟引起形变的外力成正比）4 3.3.弦在某一平面内作弦在某一平面内作微小横振动微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（该直线的方向上作微小振动。（“
4、微小微小”是是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小）很小）我们将在上述假定下来导出弦振动方程。我们将在上述假定下来导出弦振动方程。先讨论振动过程中不受外力作用时先讨论振动过程中不受外力作用时弦振动的情形弦振动的情形5为此，选择坐标系如下为此，选择坐标系如下uxO弦的平衡位置为弦的平衡位置为x轴，两端分别固定在轴，两端分别固定在0 x和和lx 处处.l),(txu表示弦上横坐标为表示弦上横坐标为x的点在时刻的点在时刻t时沿垂直于时沿垂直于x轴方向的位移。轴方向的位移。6 为了求弦上任意一点的运动规律，必须为了求弦上任意一点的运动规律，必须对弦上任取一对
5、弦上任取一小弦弧小弦弧uxOl1M2M1x2x21MM进行考察。进行考察。我们首先证明张力为常数（即与位置与时间我们首先证明张力为常数（即与位置与时间无关）。无关）。假设小弦弧假设小弦弧21MM的弧长为的弧长为,s7利用弧长公式可知：利用弧长公式可知：.,1212xuudxusxxxxuxOl1M2M1x2x由假定，弦只作微小振动，由假定，弦只作微小振动，2xu与与1 1相比可以相比可以忽略不计，从而忽略不计，从而.12xxs8uxOl1M2M1x2x这样我们可以认为这段弦在振动过程中这样我们可以认为这段弦在振动过程中并未伸长，并未伸长，因此由胡克定律知道，因此由胡克定律知道，弦上每一点所受的
6、张力在运动过程中保弦上每一点所受的张力在运动过程中保持不变，持不变，即张力与时间无关。即张力与时间无关。接下来接下来,我们只须说明张力与位置我们只须说明张力与位置x无关无关9uxOl1M2M1x2x我们分别把在点我们分别把在点,1M2M,1T处的张力记作处的张力记作,2T由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点,1M2M处的切线方向。处的切线方向。1T2T12由假定，弦只作横向振动，因此张力在由假定，弦只作横向振动，因此张力在x轴方向分量的代数和为零，轴方向分量的代数和为零，即有即有10.0coscos1122TT.21TT uxOl1M2M1x2x1T2T12
7、由于微小振由于微小振动：动：12120,0,cos1,cos1.于是上式可以写成于是上式可以写成这就是说，张力也不随地点而异，综上所这就是说，张力也不随地点而异，综上所述，述，张力是常数张力是常数，以下记作，以下记作0T11uxOl1M2M1x2x0T0T12现在来导出弦的横振动方程现在来导出弦的横振动方程.张力在张力在).sin(sinsinsin1201020TTT,11,2212|tansin|tansinxxxuxu轴方向轴方向分量的代数和为分量的代数和为由于小振动：由于小振动：u|120 xxxuxuT12uxOl1M2M1x2x0T0T12应用微分中值定理：应用微分中值定理：).)
8、(|2112220012xxxxxuTxuxuTxx),(21xx另一方面，由于弦段另一方面，由于弦段很小，其上每点的很小，其上每点的加速度相差也不会太大，加速度相差也不会太大，因此可用其中一点因此可用其中一点处的加速度处的加速度|22tu代替，代替，13于是该小段弦的质量与加速度的乘积为于是该小段弦的质量与加速度的乘积为uxOl1M2M1x2x0T0T12).(|)(212212xxtuxx).(|)(|122201222xxxuTxxtu,12xx 当当弦不受外力作用弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得时，应用牛顿第二定律，得消去消去并令并令,12xx.22022xuTtu14uxOl1
9、M2M1x2x0T0T12上式化为上式化为.,0222222Taxuatu其中这个方程称为弦的这个方程称为弦的自由横振动方程。自由横振动方程。15uxOl1M2M1x2x0T0T12若还有外力作用到弦上若还有外力作用到弦上，其方向垂直于，其方向垂直于x),(txF),(21xx轴，轴，设其力密度为设其力密度为由于弦段由于弦段很小，很小，其上各点处的外力近似相等，其上各点处的外力近似相等，因此作用在该段上的外力近似地等于因此作用在该段上的外力近似地等于).)()(,(2112xxxxtF16uxOl1M2M1x2x0T0T12同样应用牛顿第二定律，得同样应用牛顿第二定律，得).)(,()(|)(
10、|12122201222xxtFxxxuTxxtu,12xx 消去消去并令并令,12xx 则得弦的则得弦的强迫横振动方程强迫横振动方程.),(),(,),(0222222txFtxfTatxfxuatu其中17 弦振动方程中只含有两个自变量弦振动方程中只含有两个自变量x,txt和和其中其中 表示时间，表示时间，表示位置。表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为因而又称它为一维波动方程一维波动方程。类似地可导出类似地可导出二维波动方程二维波动方程（例如薄膜（例如薄膜振动）和振动）和三维波动方程三维波动方程（例如电磁波、（例如电磁波、声波的传播
11、），声波的传播），它们的形式分别为它们的形式分别为),()(2222222tyxfyuxuatu).,()(222222222tzyxfzuyuxuatu18二、定解条件二、定解条件 对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量的物理量所满足的方程还是不够的，还要附加所满足的方程还是不够的，还要附加u一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的初始状态以及边界上的物理情况。初始状态以及边界上的物理情况。定解条件包括定解条件包括初始条件初始条件和和边界条件边界条件。初始条件：初始条件：表征某过程表征某过程“初始初
12、始”时刻状态的条件。时刻状态的条件。对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在在“初始初始”时刻的位移和速度。时刻的位移和速度。),(|0 xut).(|0 xtut初始位移初始位移初始速度初始速度19边界条件：边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件。所满足的物理条件。对于弦振动问题而言，有三种基本类型：对于弦振动问题而言，有三种基本类型：1 1、第一类边界条件第一类边界条件（狄利克雷（狄利克雷DirichletDirichlet）0 x)(1t0 x);(|10tux.0|0 xu弦的一端的运动规律已知，弦的
13、一端的运动规律已知，为例，若以为例，若以表示其运动规律，表示其运动规律，则边界条件可以表达为则边界条件可以表达为特别的，特别的，若若端被固定，则相应的边界条件为端被固定，则相应的边界条件为非齐次边界非齐次边界条件条件齐次边界条件齐次边界条件以以202 2、第二类边界条件第二类边界条件（诺伊曼（诺伊曼Neumann）0 xxuT0).(|20txux.0|0 xxux若弦的一端（例如若弦的一端（例如）在垂直于）在垂直于轴的直线轴的直线上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界成为成为自由边界自由边界.根据边界微元右端的张力沿垂直方根据边界微元右端的张
14、力沿垂直方向的分量是向的分量是，得出在自由边界时成立，得出在自由边界时成立若边界张力沿垂直方向的分量是若边界张力沿垂直方向的分量是t t的一个已知函的一个已知函数，数，则相应的边界条件为则相应的边界条件为非齐次边界非齐次边界条件条件齐次边界条件齐次边界条件213 3、第三类边界条件第三类边界条件（鲁宾（鲁宾Robin）lx,0 xuT若弦的一端（例如若弦的一端（例如）固定在弹性支承上，）固定在弹性支承上，并且弹性支承的伸缩符合胡克定律并且弹性支承的伸缩符合胡克定律.为为则则u u在端点的值表示支承在该点的伸长。在端点的值表示支承在该点的伸长。弦对支承拉力的垂直方向分量弦对支承拉力的垂直方向分量
15、为为若支承的位置若支承的位置,0u由胡克定律得由胡克定律得.|0lxlxkuxuT因此在弹性支承的情形，边界条件归结为因此在弹性支承的情形，边界条件归结为.0|0lxlxuTkxu22在数学中也可以考虑更普遍的边界条件在数学中也可以考虑更普遍的边界条件非齐次边界条件非齐次边界条件,0|)(lxuxu齐次边界条件齐次边界条件0/Tk其中其中是已知正数是已知正数.),(|)(3tuxulx)(3t其中其中是是t t的已知函数。的已知函数。因此在弹性支承的情形，边界条件归结为因此在弹性支承的情形，边界条件归结为23,22222xuatu,0|0 xu),(|0 xut).(|0 xtut.0|lxu
16、定定解解问问题题定解问题：由定解问题：由泛定方程泛定方程和和定解条件定解条件构成的问题构成的问题根据定解条件的不同，定解问题又细分为：根据定解条件的不同，定解问题又细分为：混合问题或初边值问题；混合问题或初边值问题；初值问题或柯西（初值问题或柯西（CauchyCauchy）问题；）问题；边值问题边值问题两端固定的弦的自由振动问题两端固定的弦的自由振动问题241.2 热传导方程与定解条件热传导方程与定解条件),(zyxt热传导现象热传导现象：一、下面先从物体一、下面先从物体G G内的热传导问题出发来导出内的热传导问题出发来导出热传导方程。热传导方程。为此，我们用函数为此，我们用函数如果空间某物体
17、如果空间某物体G G内各处的温度内各处的温度不同，则热量就从温度较高的点处向温度较不同，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点流动。低的点流动。表示物体表示物体G G在位置在位置),(tzyxu处及时刻处及时刻的温度。的温度。25热的传播热的传播按傅立叶（按傅立叶（FourierFourier）实验定律）实验定律进行：进行：物体在无穷小时段物体在无穷小时段内流过一个无穷小面积内流过一个无穷小面积dtdSdQdSnu,),(dSdtnuzyxkdQ),(zyxk),(zyxkndS的热量的热量与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面法线方向法线方向的方向导数的方向导数成正比，即成正比，即其中其中称为物体
18、在点称为物体在点处的热传导处的热传导系数，为正值。系数，为正值。当物体为均匀且各向同性时，当物体为均匀且各向同性时，为常数，为常数，为曲面为曲面沿热流方向的法线。沿热流方向的法线。公式中的公式中的“负号负号”表示表示热量流向总是和温度梯热量流向总是和温度梯度的方向相反。度的方向相反。26u,2tnu,211dtdSnukQtt 1t,u为了导出温度为了导出温度所满足的方程所满足的方程,在物体在物体G G内任取内任取一闭曲面一闭曲面它所包围的区域记作它所包围的区域记作则从时刻则从时刻到时刻到时刻经过曲面经过曲面流入区域流入区域的热量为的热量为其中其中表示表示对曲面的外法向导数对曲面的外法向导数.
19、coscoscoszuyuxunu27),(21tt),(1tzyxu),(2tzyxu,),(),(),(),(122dvtzyxutzyxuzyxzyxcQc流入的热量使区域流入的热量使区域内部的温度发生变化内部的温度发生变化,在时间间隔在时间间隔中物理温度从中物理温度从变化到变化到所需要的热量为所需要的热量为其中其中为物体的比热为物体的比热,为物体的密度为物体的密度.如果所考察的物体内部没有热源如果所考察的物体内部没有热源,由于由于热量守恒热量守恒,12QQ dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 2128先对先对1Q,211dtdSnukQtt 进行变形进行变形.
20、)coscoscos(211dtdSzuyuxukQtt 利用奥利用奥-高高(Gauss)(Gauss)公式公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(uzyx,t1Q211()()();ttuuuQkkkdv dtxxyyzz 设函数设函数关于变量关于变量具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,关于变量关于变量具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,可化为可化为292QdvtzyxutzyxucQ),(),(122dvdttuctt)(21,)(21 ttdtdvtuc而而可化为可化为因此由因此由dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21 21)(ttdtdv
21、tuc21()()()ttuuukkkdv dtxxyyzz 移项即得移项即得（利用牛顿（利用牛顿-莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）3021()()()0.ttuuuuckkkdv dttxxyyzz 2,1tt,ck,/2ack).(2222222zuyuxuatu由于由于与区域与区域都是任意取的都是任意取的,并且被积函数并且被积函数是连续的是连续的,于是得于是得()()().uuuuckkktxxyyzz上式称为上式称为非均匀非均匀的各向同性体的的各向同性体的热传导方程热传导方程.如果物体是如果物体是均匀均匀的的,此时此时为常数为常数,记记则得则得齐次热传导齐次热传导方程方程31),(21tt
22、),(tzyxF.),(213dtdvtzyxFQtt 如果所考察的物体内部有热源如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有例如物体中通有电流电流,或有化学反应等情况或有化学反应等情况),),设热源密度设热源密度(单位时单位时间内单位体积所产生的热量间内单位体积所产生的热量)为为则在时间间隔则在时间间隔中区域中区域内所产生的热量为内所产生的热量为同样由于热量要平衡同样由于热量要平衡,dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21.),(21dtdvtzyxFtt 3221()()()ttuuuuckkkdv dttxxyyzz.),(21dtdvtzyxFtt()()()(
23、,).uuuuckkkF x y z ttxxyyzz).,()(2222222tzyxfzuyuxuatu./),(),(ctzyxFtzyxf其中其中非齐次热传非齐次热传导方程导方程相对应的一维、二维热传导方程可相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。类似写出。33二、定解条件二、定解条件初始条件：初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况。表示初始时刻物体内温度的分布情况。),(|),(0zyxtzyxut),(zyx),(1tzyxf),(|),(1tzyxftzyxuS其中其中为已知函数。为已知函数。1 1、第一类边界条件第一类边界条件（狄利克雷（狄利克雷DirichletDiric
24、hlet）设所考察的物体设所考察的物体G G的边界曲面为的边界曲面为S S，已知物体，已知物体表面温度函数为表面温度函数为即即.),(Szyx边界条件：边界条件：342 2、第二类边界条件第二类边界条件（诺伊曼（诺伊曼Neumann）,|Snukq,q),(|2tzyxfnuS 特别地，如果物体表面上各点的特别地，如果物体表面上各点的热流量为热流量为0 0,绝热性边界条绝热性边界条件件已知物体表面上各点的热流量已知物体表面上各点的热流量kqtzyxf/),(20t.0|Snu也就是说在也就是说在单位时间内流过单位面积的热量是已知的，单位时间内流过单位面积的热量是已知的，其中其中由由傅里叶实验定
25、律傅里叶实验定律可知可知是定义在边界曲面是定义在边界曲面S S，且，且上的已知函数。上的已知函数。则相应的边界条件为则相应的边界条件为353 3、第三类边界条件第三类边界条件（鲁宾（鲁宾Robin）,1u.u,)(1dSdtuuhdQ考察将物体置于另一介质中的情形考察将物体置于另一介质中的情形.设和物体接触的介质温度为设和物体接触的介质温度为物体表面上的物体表面上的温度为温度为h若物体表面温度与介质温度不相同若物体表面温度与介质温度不相同,则在物体表面处与周围介质产生热交换则在物体表面处与周围介质产生热交换.利用利用热传导中的牛顿实验定律热传导中的牛顿实验定律:物体从一介质物体从一介质到另一个
26、介质的热量与两介质间的温度差成正比到另一个介质的热量与两介质间的温度差成正比,其中的比例常数其中的比例常数称为两介质间的热交换系数称为两介质间的热交换系数.即可得流过物体表面即可得流过物体表面S S的热量为的热量为36,1S1S1S,dSdtnukdQ,)(1dSdtuuhdSdtnuk.1huhunuk由于热量在物体表面不能积累由于热量在物体表面不能积累,在物体内部作在物体内部作一无限贴近物体表面一无限贴近物体表面S S的闭曲面的闭曲面则在曲面则在曲面上的热流量应等于表面上的热流量应等于表面S S上的热流量上的热流量.流过曲面流过曲面的热量为的热量为则有关系式则有关系式),(3tzyxf),
27、(|)(3tzyxfunuS,kh0,),(tSzyx其中其中是定义在是定义在上的已知函数上的已知函数.371.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程与定解条件0222222zuyuxu0u.02 u1.1.三维拉普拉斯三维拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程(1)(1)凡具有二阶连续偏导数并满足方程凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)(1)的连的连续函数为续函数为调和函数调和函数.(调和方程调和方程)方程方程(1)(1)通常表示成通常表示成或或拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律分布规律.38).,(222222zyxfzuyu
28、xu),(zyxfu).,(2zyxfu2.2.泊松方程泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程非齐次的拉普拉斯方程)(2)(2)方程方程(2)(2)通常表示成通常表示成或或3.3.拉普拉斯方程的边值问题拉普拉斯方程的边值问题第一边值问题第一边值问题(狄氏问题狄氏问题)39),(zyxu,f.|fu在空间某一区域在空间某一区域的边界的边界上给定了连续函数上给定了连续函数要求函数要求函数在闭区域在闭区域上连续且在上连续且在内内调和调和,在边界在边界上与给定的函数上与给定的函数f重合重合,即即第二边值问题第二边值问题(诺伊曼问题诺伊曼问题),(zyxu,f在空间某一区域在空间某一区域的边界的边界上给定了连续
29、函数上给定了连续函数要求函数要求函数在闭区域在闭区域上连续且在上连续且在内内调和调和,在边界在边界上法向导数上法向导数nu存在存在,且有且有,|fnu其中其中n n是外法线方向是外法线方向.401.4 基本概念与基本知识基本概念与基本知识一、基本概念一、基本概念1.1.偏微分方程偏微分方程：凡含有自变量、未知函数及未知：凡含有自变量、未知函数及未知函数关于自变量的偏导数的等式。函数关于自变量的偏导数的等式。2.2.偏微分方程的阶偏微分方程的阶：偏微分方程中所含有的未知：偏微分方程中所含有的未知函数最高阶偏导数的阶数。函数最高阶偏导数的阶数。3.3.线性偏微分方程线性偏微分方程：偏微分方程中各项
30、关于未知：偏微分方程中各项关于未知函数及其偏导数（包括高阶偏导数）都是一次。函数及其偏导数（包括高阶偏导数）都是一次。412ttxxua u0 xxyyuu2xxyyyuxuyuxy228xyuux二阶，线性二阶，线性二阶，线性二阶，线性三阶，线性三阶，线性一阶，非线性一阶，非线性42,0yyxxuu4.4.古典解古典解:如果一个函数具有某偏微分方程中所如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数需要的各阶连续偏导数,且满足该方程且满足该方程.5.5.自由项自由项:偏微分方程中不含有未知函数偏微分方程中不含有未知函数u u及其及其各阶偏导数的项各阶偏导数的项.例如例如:.822xuuy
31、x齐次偏微分方齐次偏微分方程程(自由项为自由项为0)非齐次偏微分方非齐次偏微分方程程(自由项不为自由项不为0)43二、定解问题及其适定性二、定解问题及其适定性1.1.定解问题定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题。：由泛定方程和定解条件构成的问题。2.2.分类：分类：混合问题混合问题：由泛定方程、初始条件和边界条件构：由泛定方程、初始条件和边界条件构成的问题。成的问题。初值问题初值问题：由泛定方程和初始条件构成的问题。：由泛定方程和初始条件构成的问题。边值问题边值问题：由泛定方程和边界条件构成的问题。：由泛定方程和边界条件构成的问题。3.3.适定性适定性：定解问题的存在性、唯一性、稳定性。：
32、定解问题的存在性、唯一性、稳定性。44三、叠加原理三、叠加原理),2,1(2 22222ifFuyuExuDyuCyxuBxuAi),2,1(iuiifFA,考察二阶线性偏微分方程考察二阶线性偏微分方程yx,22222 2iiiiiiiuuuuuABCDEFufxx yyxy 其中其中都是某区域上都是某区域上的已知函数的已知函数.叠加原理叠加原理设设是方程是方程(1)(1)中第中第i i个方程的解个方程的解,(1)(1)45222221 2iiiuuuuuABCDEFuc fxx yyxy 0if22222 20.uuuuuABCDEFuxx yyxy),2,1(iui1iiiucu),2,1
33、(ici如果级数如果级数(2)(2)收敛收敛,其中其中为任意常数为任意常数,并且它还能够逐项并且它还能够逐项微分两次微分两次,则级数则级数(2)(2)是下方程的解是下方程的解特别地特别地,当方程当方程(1)(1)中的自由项中的自由项时时,则得相应的则得相应的齐次方程为齐次方程为若若是方程是方程(3)(3)的解的解,则级数则级数(2)(2)也是方程也是方程(3)(3)(3)(3)的解的解.46四、傅里叶四、傅里叶(Fourier)(Fourier)级数级数函数系函数系 nx,a b称为在区间称为在区间上是带权函数上是带权函数 0q x 正交的正交的，如果，如果 0,.bmnaxx q x dxm
34、n如果如果mn，则我们有，则我们有 1/22,bnnaxqdx这个值称为函数这个值称为函数 nx的的模模。47正交系正交系 nx，其中，其中n n可以有限或无限，如果它可以有限或无限，如果它满足关系式满足关系式 0,1,.bmnamnxx q x dxmn,a b就称为在区间就称为在区间上的上的标准正交系标准正交系。显然，一标准正交系可以由正交系的每个函数显然，一标准正交系可以由正交系的每个函数除以它的模而得到。除以它的模而得到。48容易证明：容易证明：三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx,0cossinnxdxmx.,0sinsinnm
35、nmnxdxmx.,0coscosnmnmnxdxmx.0cossinnxdxnxdx在在上正交。上正交。49补充：补充：三角函数三角函数积化和差积化和差公式公式)cos()cos(21sinsin)cos()cos(21coscos)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos50对应，写成对应，写成0,kka a b要找出系数要找出系数使使进一步地在区间进一步地在区间,上做一个形式级数与上做一个形式级数与)(xf01()(cossin),2kkkaf xakxbkx(4)(4)定义级数的前定义级数的前2n+12n+1项的部分和项的部分和 nsx01()(cossi
36、n),2nnkkkasxakxbkx逼近逼近)(xf nsx在最小平方意义下在最小平方意义下逼近逼近)(xf，即使得积分，即使得积分 20,kknI a a bf xsxdx为极小值。为极小值。(5)(5)(6)(6)51于是，把于是，把(5)(5)代入代入(6)(6),且对且对0,kka a b求偏导，得到求偏导，得到 0100101(cossin)22(cossin)cos22(cossin)sin2njjjnjjjknjjjkaIf xajxbjxdxaaIf xajxbjxkxdxaaIf xajxbjxkxdxb 52sincos0,nxdxnxdx利用三角函数系的正交关系及利用三角
37、函数系的正交关系及可得可得 0022cos22sinkkkkIaf x dxaIaf xkxdxaIbf xkxdxb53因为因为I I取极值，所以上述各式等于取极值，所以上述各式等于0.0.于是有于是有01()1()cos1()sinkkaf x dxaf xkxdxbf xkxdx这些系数称为这些系数称为f(x)f(x)的的傅里叶系数傅里叶系数，(4)(4)式的级数式的级数称为对应于称为对应于f(x)f(x)的的傅里叶级数傅里叶级数。54)(xf)(xf当当为为奇函数奇函数时时当当为为偶函数偶函数时时1()sin,kkf xbkx01()cos,2kkaf xakx02()cos (0,1
38、,2,).kaf xkxdxk02()sin (1,2,3,).kbf xkxdxk55可以得到可以得到(4)(4)的的复数形式复数形式利用公式利用公式(),ikxkkf xc esin,cos,22ixixixixeeeexxi1()e2ikxkcf xdx56引入新变量引入新变量t t，则，则如果函数的定义区间是任意的，如如果函数的定义区间是任意的，如a,ba,b.用变用变换换/2/2F tfbabat122baxbatt，定义，定义01()(cossin),2kkkaF taktbkt把这个函数展开成傅里叶级数得到把这个函数展开成傅里叶级数得到再把再把t t变成变成x x，就得到，就得到
39、f(x)f(x)的展开式。的展开式。57同理同理,-L,L-L,L上的函数上的函数)(xf,kka b可展开成傅里叶级数可展开成傅里叶级数:01()(cossin),2kkkak xk xf xabll1()cos (0,1,2,),lklk xaf xdxkll1()sin (1,2,3,).lklk xbf xdxkll其中傅里叶系数其中傅里叶系数满足满足58)(xf)(xf当当为为奇函数奇函数时时当当为为偶函数偶函数时时1()sin,kkk xf xbl01()cos,2kkak xf xal02()cos (0,1,2,).lkk xaf xdxkll02()sin (1,2,3,).
40、lkk xbf xdxkll59五、两个自变量的二阶微分方程的分类五、两个自变量的二阶微分方程的分类一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状yx,fcbbaaa,21221211),(00yx),(00yx,221221211fcuububuauauayxyyxyxx(7)(7)其中其中等都是自变量等都是自变量在区域在区域上的实函数，并假定他们是连续可微的。上的实函数，并假定他们是连续可微的。若在区域若在区域上每点上每点,02211212aaa则称方程则称方程(7)(7)在每点在每点为为双曲型双曲型的；那么的；那么也也则称方程则称方程(7)(7)在区域内是在
41、区域内是双曲型双曲型的。的。60),(00yx),(00yx若在区域若在区域上每点上每点,02211212aaa则称方程则称方程(7)(7)在每点在每点为为椭圆型椭圆型的；那么的；那么也也则称方程则称方程(7)(7)在区域内是在区域内是椭圆型椭圆型的。的。),(00yx),(00yx若在区域若在区域上每点上每点,02211212aaa则称方程则称方程(7)(7)在每点在每点为为抛物型抛物型的；那么的；那么也也则称方程则称方程(7)(7)在区域内是在区域内是抛物型抛物型的。的。61例如：例如：xxttuau20yyxxuuxxtuau20)(102a0)(002a0110双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型
