1、第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.1 4.1 线性定常系统的能控性及其判据线性定常系统的能控性及其判据4.2 4.2 线性定常系统的能观性线性定常系统的能观性及其判据及其判据4.3 4.3 能控性及能观性的对偶关系能控性及能观性的对偶关系4.4 4.4 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.5 4.5 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.6 4.6 系统的实现系统的实现第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性两个基础性概念：能控性与能观性两个基础性概念：能控
2、性与能观性 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？态转移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的态的能控性问题能控性问题。在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？估计系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的称之为状态的能观性问题能观性问题。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.0.14.0.1 且且 。选各自的电压
3、为状态变。选各自的电压为状态变量量 。根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)(b)中相轨迹为一条直线。中相轨迹为一条直线。不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线离开这条直线,显然，是不完全能控的。显然，是不完全能控的。12CC1020()()0ccutut11222,CCxuxuyx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性若电路中电阻、电容分别为若电路中电阻、电容分别为则电路的系统方程为：则电路的系统方程为：01210,RRRk1233CCFu112112
4、xbuAxx xCx10y如果初始状态为如果初始状态为00)0(x系统状态转移矩阵为系统状态转移矩阵为ttttttttt3333eeeeeeee21eA系统状态方程的解为系统状态方程的解为utxttd)(e11)(0)(可见，不论加入什么样的输入信号，总是有可见，不论加入什么样的输入信号，总是有21xx 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.0.24.0.2 选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所
5、以该电路是不能观态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测的。测的。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.1 4.1 线性定常系统的能控性及其判据线性定常系统的能控性及其判据 4.1.1 4.1.1 连续系统的能控性连续系统的能控性定义定义4.1.1 线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为BuAxx 给定系统一个初始状态给定系统一个初始状态 ，如果在，如果在 的有限的有限时间区间时间区间 内，存在容许控制内，存在容许控制 ，使，使 ，则称系统状态在则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控
6、，则称系统是状态完全能控的。始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。)(0tx01tt,10tt)(tu0)(1tx0t第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性说明：说明：1）能控：初态）能控：初态 为任意非零点，终态为任意非零点，终态 为原点。为原点。能达：初态能达：初态 为原点，终态为原点，终态 为任意非零点。为任意非零点。由于线性定常连续系统的状态转移矩阵是非奇异由于线性定常连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。的，因此系统的能控性和能达性是等价的。0()tx()ftx0()tx()ftx3）当系统中存在不依赖于）当系统中存在不依赖于
7、的确定性干扰的确定性干扰 时，时，不会改变系统的能控性。不会改变系统的能控性。)(tu)(tf)(tf)(tfBuAxx2）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。才是能控的。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.1.14.1.1 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是下面的件是下面的nn维格拉姆矩阵满秩维格拉姆矩阵满秩tTtTdee),0(101AACBBW（该定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转（该定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算
8、状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理定理4.1.24.1.2 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是下面的件是下面的nnr 维能控性矩阵满秩。维能控性矩阵满秩。BABAABBQ1n2CnCQrank（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性证明：证明：00()()0()()()ffftA ttA tfttex teBudx不失一般性不失一般性,假设假设00,()ftt0 x则有
9、则有0(0)()ftAeBud x应用凯应用凯-哈定理，有哈定理，有101110)()()()(niiin-naaaaeAAAIA状态方程的解为状态方程的解为整理得整理得100(0)A B()()dfntiiia xu第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性于是于是1101)0(nn-BAABBx)1,1,0(ni120()u()dfitiiiira 令令如果系统能控，必能够解得如果系统能控，必能够解得 。这样就要求。这样就要求011,.,nnrankrankBABAABBQ1n2C第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性11122233121100
10、100110300 xxuxxuxx100100B121101201001011030010AB易知易知例例4.1.1 4.1.1 考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性2121122401001011031042A BC101224010101001042Q其秩为其秩为3，该系统能控，该系统能控 从而从而第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性11122233132210201101311xxuxxuxx2C213254112244112244QBABA B其秩为其秩为2 2，所以系统不能控，所以系统不能控
11、 例例4.1.2 4.1.2 判断线性定常连续系统判断线性定常连续系统第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.1.34.1.3 （PBH判别法）判别法）线性定常连续系统为状态能控线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是，对的充分必要条件是，对A 的所有特征值的所有特征值 ，都有，都有i IABirank n),2,1(niuBxxn0021则系统能控的充分必要条件是矩阵则系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素全中不包含元素全为零的行。为零的行。B定理定理4.1.44.1.4 线性定常连续系统的矩阵线性定常连续系统的矩阵 A 的特征值的特征值 互异，将系统
12、经过非奇异线性变换变换成对角阵。互异，将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵。,)ni(1,i 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性112233300201010020 xxxxuxx 状态变量状态变量 x x3 3 不受控制不受控制 例例4.1.3 4.1.3 此系统是不能控的此系统是不能控的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性11122233700010504000175xxuxxuxx 定理定理4.1.44.1.4的优点在于很容易判断出能控的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的部分确定下来，但它的性，并且将不能控的部分确定下来，但它
13、的缺点是要进行等价变换。缺点是要进行等价变换。例例4.1.4 4.1.4 下列系统是能控的下列系统是能控的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.1.24.1.2 输出能控性输出能控性定义定义4.1.2 设连续系统的状态空间表达式为设连续系统的状态空间表达式为CxyBuAxx 如果在一个有限的区间如果在一个有限的区间 t t0 0,t t1 1 内，存在适内，存在适当的控制向量当的控制向量u u(t t),),使系统能从任意的初始输出使系统能从任意的初始输出y y(t t0 0)转移到任意指定最终输出转移到任意指定最终输出y y(t t1 1)，则称系统，则称系统是输
14、出完全能控的。是输出完全能控的。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性输出能控性判据：输出能控性判据：系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵21nCBCABCA BCAb的秩为的秩为q q。21nrank CBCABCA BCAbq 即即第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.1.5 4.1.5 判断系统判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。是否具有状态能控性和输出能控性。11221241123210 xxuxxxyx 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性秩为秩为1 1，等于输出
15、变量的个数，因此系统是输，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。出能控的。4221ABB 120CBCAB 秩为秩为1 1，所以系统是状态不能控的，所以系统是状态不能控的。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.1.3 4.1.3 离散系统的能控性离散系统的能控性定义定义4.1.3线性定常离散系统的状态方程线性定常离散系统的状态方程(1)()()x kGx kHu k 如果存在控制向量序列如果存在控制向量序列u u(k k),),u u(N N-1)-1)，使系统从第使系统从第k k 步的状态向量开始，在第步的状态向量开始，在第N N 步到达零状态，其中步到达零状
16、态，其中N N 是是大于大于k k 的有限数，那么就称此系统在第的有限数，那么就称此系统在第k k 步上是能控的步上是能控的。如果对每一个如果对每一个k k，系统的所有状态都是能控的，则称，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。系统是状态完全能控的，简称能控。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.1.5 4.1.5 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是矩阵矩阵 H,GH,Gn-1H 的秩为的秩为n n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Q Qc c表示，于是此能表示
17、，于是此能控性判据可以写成控性判据可以写成rankc=rankH,GH,Gn-1H=n 对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。其状态能控性不变。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性)(101)(011220001)1(kukxkx例例4.1.64.1.6 2111rankrank 0223113HGHG H 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性,多输入系统的能控性矩阵是一个多输入系统的能控
18、性矩阵是一个n x np矩阵。根据矩阵。根据判据，只要求它的秩等于判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。可以停下来，不必再计算下去。)()(100001)()()(110201121)1()1()1(21321321kukukxkxkxkxkxkx例例4.1.74.1.7 1011rankrank 011230000HGH只要计算出矩阵只要计算出矩阵 H H,GH GH 的秩，即可的秩，即可第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的
19、能控性与能观性4.2 4.2 线性定常系统的能观性及其判据线性定常系统的能观性及其判据 4.2.1 4.2.1 连续系统的能观性连续系统的能观性定义定义4.2.14.2.1 线性定常连续系统方程为线性定常连续系统方程为 如果在有限时间区间如果在有限时间区间 （）内，通过观）内，通过观测测 ，能够惟一地确定系统的初始状态，能够惟一地确定系统的初始状态 ，称系，称系统状态在统状态在 是能观测的。如果对任意的初始状态都能是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。观测，则称系统是状态完全能观测的。)(0tx01tt,10tt)(ty0txAxBuyCx第四章第四章 线性系统
20、的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性说明说明：1）已知系统在有限时间区间已知系统在有限时间区间 内的输内的输出出 ，观测的目标是为了确定，观测的目标是为了确定 。0101,()t ttt)(ty)(0tx3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。能观测的。4）系统的输入）系统的输入 以及确定性的干扰信号以及确定性的干扰信号 均不改均不改变系统的能观测性。变系统的能观测性。)(tu)(tf2）如果根据）如果根据 内的输出内的输出 能够惟一地能够惟一地确定任意指定状态确定任意指定状态 ，则称系统是可检测的。连，则称系统是可检测的。连
21、续系统的能观测性和能检测性等价。续系统的能观测性和能检测性等价。)(ty)(1tx0101,()t ttt 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.1 4.2.1 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即nt,0rank1OWtttTttTdee,0101AAOCCW其中其中（这个定理为能观测性的一般判据。由于要计算状态转这个定理为能观测性的一般判据。由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定
22、理定理4.2.24.2.2 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即是以下能观性矩阵满秩，即nOQranknnmn1CACACQO其中其中（由于此判据很简单，由于此判据很简单，因而最为常用因而最为常用）第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性证明证明 设设 ，系统的齐次状态方程的解为，系统的齐次状态方程的解为0)(tuAAx()ex(0)y()Cx()Cex(0)ttttt应用凯应用凯-哈定理，有哈定理，有10)(eniiiaAA则则)0()()(10 xACyniiiat由于由于 是已知函数，因此，根据有限时间
23、是已知函数，因此，根据有限时间 内的内的 能够唯一地确定初始状态能够唯一地确定初始状态 的充分必要条件为的充分必要条件为 满秩。满秩。)(tai)(ty)0(xOQ10,t或者写成或者写成0111()()()()(0)nnCCAy ta ta tatCAx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.34.2.3（PBH判别法）判别法）线性定常连续系统为能观测线性定常连续系统为能观测的充分必要的条件是：对于的充分必要的条件是：对于A 的每一个特征值的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为以下矩阵的秩均为ninCi AIrank例例4.2.14.2.1 系统方程如下，试
24、判断系统的能观性系统方程如下，试判断系统的能观性u215002xx x10y解：解：15010rankrankCAC不满秩，故系统不能观测。不满秩，故系统不能观测。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.44.2.4 线性定常连续系统的线性定常连续系统的A 阵特征值阵特征值 互异，经互异，经过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是充分必要条件是 矩阵中不包含元素全为零的列。矩阵中不包含元素全为零的列。Ci例例4.2.24.2.2 有两个线性定常系统，判断其能观测性。有两个线性定常系统，判断其能观
25、测性。（1）xx10507x540y（2）xx10507x130023y解：解：根据定理根据定理4.2.4可以判断，系统（可以判断，系统（1）是不能观测的。）是不能观测的。系统（系统（2）是能观测的。）是能观测的。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.2.2 4.2.2 离散系统的能观性离散系统的能观性(1)()()()()x kGx kHu ky kCx k 在已知输入在已知输入u u(t t)的情况下，若能依据第的情况下，若能依据第k k 步及以后步及以后n n-1-1步的输出观测值步的输出观测值y y(k k),),y y(k k+n n-1)-1)，唯一地确
26、定出第，唯一地确定出第k k 步上的状态步上的状态x x(k k)，则称系统在第，则称系统在第k k步是能观测的。如果步是能观测的。如果系统在任何系统在任何k k 步上都是能观测的，则称系统是状态完全步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。能观测的，简称能观测。定义定义4.2.24.2.2 考虑离散系统考虑离散系统 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.54.2.5 对于线性定常离散系统，状态完全能观测的对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵 1nCCGCG的秩为的秩为n n。矩阵称为能观测性矩阵，记
27、为。矩阵称为能观测性矩阵，记为O O。O1rankranknCCGUnCG第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.2.3 4.2.3 判断下列系统的能观测性判断下列系统的能观测性1012(1)021()1()3.021010()x kx ku kyx k 于是系统的能观测性矩阵为于是系统的能观测性矩阵为O1010021340nCUCGCG秩为秩为3 3，所以系统能观。，所以系统能观。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.2.4 4.2.4 系统状态方程仍如上例，而观测方程为系统状态方程仍如上例，而观测方程为001()()100y k
28、x kO2001100302101901203CUCGCG秩小于秩小于3 3，所以系统不能观。，所以系统不能观。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.3 4.3 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系xAxBuyCx1TTTzA zC vwB z2BACux xy TBVz zw TCTA第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性对偶系统具有两个基本特征对偶系统具有两个基本特征1.对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置BAICG11)(ss2.对偶的两个系统特征值相同对偶的两个系统特征值相同detdetTs
29、sAIAIT12OCQQT12COQQ对偶原理对偶原理：系统：系统 的能控性等价于系统的能控性等价于系统 的能观测性；的能观测性；系统系统 的能观测性等价于系统的能观测性等价于系统 的能控性。的能控性。1212)()()(1112ssssTTTTTGBAICCAIBG第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.3.14.3.1 线性定常系统如下，判断其能观测性。线性定常系统如下，判断其能观测性。uu001010001100 xBAxx xCxy100解解以上系统的对偶系统为以上系统的对偶系统为TT100001100010 CA 001TB该对偶系统的能控性矩阵该对偶系
30、统的能控性矩阵001100010CQ3rankCQ对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.4 4.4 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解 一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统。定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能观测性进行分解呢？如何按照能控性或能观测性进行分解呢？已经知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测已经知道，线性变换不改变系统的能控性和能观
31、测性。因此，可采用线性变换方法将其分解。结构分解必性。因此，可采用线性变换方法将其分解。结构分解必须解决须解决3个问题：个问题：1、如何分解？、如何分解？2、分解后系统方程的形式为何？、分解后系统方程的形式为何？3、变换矩阵如何确定？、变换矩阵如何确定？第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 把系统能控或能观测部分同不能控或不能把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深入了解系观测的部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。统的内部结构。标准分解标准分解 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划
32、分成能控（能观）部分与不能控分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。（不能观）部分。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.4.1 4.4.1 系统能控性分解系统能控性分解11112cc220AAA T ATA11c0BBTB12CCTCC其中其中定理定理4.4.1 4.4.1 若线性定常系统不完全能控，状态若线性定常系统不完全能控，状态 只有只有 个状态分量能控，则存在非奇异矩阵个状态分量能控，则存在非奇异矩阵T Tc c，对系统进，对系统进行状态变换行状态变换 ，可使系统的状态空间表达式，可使系统的状态空间表达式发生变换发生变换cxT xx1nAB
33、CxxuyxABC xxuyx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性变换后的系统分为两部分：变换后的系统分为两部分：前前n1维部分构成维部分构成n1维能控子系统，得到下式维能控子系统，得到下式111 11221xA xA xBu 后后n-n1维子系统维子系统为不能控子系统。为不能控子系统。2222xA x关键：变换矩阵关键：变换矩阵Tc的构造方法的构造方法在能控性矩阵在能控性矩阵 中选择中选择n n1 1个线性个线性无关的列向量；无关的列向量；将所得列向量作为矩阵将所得列向量作为矩阵T Tc c的前的前n n1 1个列，其余的列可以在个列，其余的列可以在保证保证T Tc
34、 c为非奇异矩阵的条件下任意选择。为非奇异矩阵的条件下任意选择。1nQcBABAB第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.4.24.4.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即函数矩阵相同，即1()()G sG s.11()()()G sC sIABC sIAB111121122211111100()sIAABCCsIACsIABG s因为因为第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.4.14.4.1 对下列系统进行能控性分解。对下列系统进行能控性分解。00110 103101
35、30 xxu 012yx2101rankrank 11323012bAbA b 能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控。可知系统不完全能控。第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第为计算简单，选取其中的第1 1列和第列和第2 2列。易知它们列。易知它们是线性无关的。是线性无关的。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。c102110011T1c12211123111T变换矩阵变换矩阵 第四章第四章 线性系统的能控性与能
36、观性线性系统的能控性与能观性状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 011112200010 xxu 112yx二维能控子系统二维能控子系统 11011120 xxu 111yx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性系统能控性分解结构图系统能控性分解结构图 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.4.2 4.4.2 系统能观性分解系统能观性分解其中其中定理定理4.4.34.4.3 若线性定常系统不完全能观，状态若线性定常系统不完全能观，状态 只有只有 个状态分量能观，则存在非奇异矩阵个状态分量能观，则存在非奇异矩阵T To
37、 o，对系统进，对系统进行状态变换行状态变换 ，可使系统的状态空间表达式，可使系统的状态空间表达式发生变换发生变换oxT xx2nABCxxuyxABC xxuyx111oo21220AA T ATAA11o2BBT BBo10CCTC第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性变换后的系统分为两部分：变换后的系统分为两部分：前前n2维部分构成维部分构成n2维能观子系统，得到下式维能观子系统，得到下式 后后n-n2维子系统维子系统为不能观子系统。为不能观子系统。关键：变换矩阵关键：变换矩阵T To o的构造方法对于能观性分解，变换矩阵的构造方法对于能观性分解，变换矩阵的求法有
38、其特殊性。应由构造其逆的求法有其特殊性。应由构造其逆T To o-1-1做起。做起。在能观性矩阵在能观性矩阵 中选择中选择n n2 2个线性个线性无关的行向量；无关的行向量；将所得行向量作为矩阵将所得行向量作为矩阵T To o-1-1的前的前n n2 2个行，其余的行可以个行，其余的行可以在保证在保证T To o-1-1为非奇异矩阵的条件下任意选择。为非奇异矩阵的条件下任意选择。T1nQoCCACA111 11xA xBu11 1yC x221 12222xA xA xB u第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.4.44.4.4 能观子系统与原系统的传递函数
39、矩能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同。即阵相同。即 1()()G sG s 11()()()G sC sIABC sIAB111112212211111100()BsIACBAsIACsIABGs因为因为第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.4.24.4.2 系统同例系统同例4.4.1，进行能观性分解。进行能观性分解。计算能观性矩阵的秩计算能观性矩阵的秩 2012rankrank12323234CCACA任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得之线性无关的行向量，得 1o012123001To2
40、11102001T第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统二维能观子系统 010112011010 xxu 100yx11011121xxu101yx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性系统能观性分解结构图系统能观性分解结构图 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.4.3 4.4.3 系统按能控性与能观性进行标准分解系统按能控性与能观性进行标准分解定理定理4.4.5 4.4.5 设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为xAxBuyCx经过线
41、性状态变换经过线性状态变换,可以化为下列形式可以化为下列形式1111131221222232423333444344000000000 xxAABxxAAAABuxxAxxAA12133400 xxyCCxx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性111 1133111 1xA xA xBuyC x221 1222233244220 xA xA xA xA xB uy3333333xA xyC x443344440 xA xA xy第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.5 4.5 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形能观标准形是指在一组
42、基底下，将能观性矩阵能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的中的A 和和 C 表现为能观的标准形式表现为能观的标准形式适当选择状态空间的基底，对系统进行状态线性变适当选择状态空间的基底，对系统进行状态线性变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的中的A 和和 B 表现为能控的标准形式表现为能控的标准形式第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.5.1 4.5.1 系统的能控标准形系统的能控标准形线性定常系统线性定常系统AbCd xxuyxu
43、A的特征多项式的特征多项式0111detaaaAInnn1bAAbbQCn能控性矩阵能控性矩阵duynx110能控标准形能控标准形uaaan100010010010110 xx第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.5.1 4.5.1 如果系统如果系统 是完全能控的，是完全能控的，那么必存在一非奇异变换那么必存在一非奇异变换 ，使其变换成，使其变换成能控标准形能控标准形 。xAxbuxPxccxA xb u1112100001 00001cnpQbAbA bAb1111npp APp A线性变换矩阵线性变换矩阵 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的
44、能控性与能观性例例4.5.14.5.1 线性定常系统线性定常系统111101xxu C1011QbAb能控性矩阵能控性矩阵 逆矩阵逆矩阵 1C1011Q第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性1c1 1111 1010110011 1APAPc1 1100111bPb 11 1p 111 101pPp A11 101P第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.5.2 4.5.2 系统的能观标准形系统的能观标准形能观测性矩阵能观测性矩阵1nCACACQOxAxbuycu线性定常系统线性定常系统0001y x011221100010001000001n
45、nnnaauaaxxnOQrank，则系统完全能观测，则系统完全能观测若若能观标准形能观标准形第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.5.2 如果系统是能观测的，那么必存在一如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形非奇异变换将系统变换为能观标准形xTx oooxA xb uyc x1111TAATTTn1111000011onCCATQCA 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.5.24.5.2 111,1022xxyx O11210cQcA能观性矩阵能观性矩阵 11110011211210cTcA 第四
46、章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性423111ATTT1431113021210224132xTATxxx131101242ycTxxx 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.6 系统的实现系统的实现由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。的状态空间表达式的工作，称为实现问题。换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实现，则必有现，则必有在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。小实
47、现。1()()C sIABDG s第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.6.1 单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为nnnnnnnnasasasssssg11112211)(,)A B C 当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性)(sg的能控标准形实现的能控标准形实现 122111010000001000000000,0000101nnnnnAbaaaaac 第四章
48、第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性11222211000010000100,0000000100001 nnnnnnaaaAbaac)(sg 的能观标准形实现的能观标准形实现 第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.6.2 传递函数矩阵的最小实现传递函数矩阵的最小实现 在所有可能的实现中，维数最小的实现称在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。最小实现也不是唯一的。为最小实现。最小实现也不是唯一的。定理定理4.6.1 系统方程系统方程CxBAxxyu为传递函数为传递函数 的一个最小实现的充分必要条的一个最小实现的充分必要条件是系统完全能控
49、且完全能观。件是系统完全能控且完全能观。)(sg第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性根据上述判断最小实现的准则，构造最小实现根据上述判断最小实现的准则，构造最小实现的途径为：的途径为：(1)(1)求传递函数矩阵的任何一种能控形或能观形求传递函数矩阵的任何一种能控形或能观形 实现，再检查实现的能观性或能控性，若已实现，再检查实现的能观性或能控性，若已是能控能观，则必是最小实现。是能控能观，则必是最小实现。否则的话，采用结构分解定理，对系统进行否则的话，采用结构分解定理，对系统进行 能观性或能控性的分解，找出既能控又能观能观性或能控性的分解，找出既能控又能观的子空间，从而
50、得到最小实现。的子空间，从而得到最小实现。(2)(2)第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.6.3 能控性、能观性与传递函数矩阵关系能控性、能观性与传递函数矩阵关系xAxbuycx系统的传递函数系统的传递函数 1adj()()()()det()()sIAN sg sc sIAbcbsIAD s定理定理4.6.2 系统能控能观的充要条件是传递函数系统能控能观的充要条件是传递函数g(s)中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。单输入单输出系统单输入单输出系统第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 一个系统的传递函数所表示的是该系统既能一个系统
