1、3-3 能观测性及其判据一：能观测性的概念 定义：设n维线性定常系统的动态方程为 DuCxyBuAxx 如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。若系统中至少由一个状态变量不能观测，则称此系统是不完全能观测的，简称不能观测。s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x该系统是不能观测的 由于 ttdButtxtttx0)()()()()(00可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的 定义：设n维系统的动态方程为 utDxtCyutBxtAx)()(
2、)()(若对状态空间中的任一状态x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入u(t0,t1)和输出y(t0,t1)的信息足以确定x(t0)，则称系统在t0时刻是完全能观测的。二：能观测性判据1 线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：10),()()(),(),(0010ttTTdttttCtCttttW为非奇异矩阵 证明:充分性设()0u t 00()(,)x tt tx00()()(,)y tC tt tx11000000(,)()()(,)(,)()()ttTTTTttt tCt C tt tx dtt tCt y t dt100100(,)(,)()
3、()tTTtW ttxt tCt y t dt1010010(,)(,)()()tTTtxWttt tCt y t dt二：能观测性判据1 线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：100100(,)(,)()()(,)tTTtW ttt tCt C tt tdt为非奇异矩阵 证明:必要性设系统能观测,但010(,)0W ttx()0y t 01(,)W tt是奇异的,即存在非零初态,使0010(,)0Tx W ttx 100000(,)()()(,)0tTTTtxt tCt C tt tdtx10()()0tTtyt y t dt 二：能观测性判据1 线性时变系统定
4、理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：10),()()(),(),(0010ttTTdttttCtCttttW为非奇异矩阵 定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1t0，使得mn型矩阵C(t)(t,t0)的n个列在t0，t1上线性无关。定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是(n-1)阶连续可微的，若存在一个有限的t1t0，使得 ntNtNtNrankn)()()(111110则系统在t0时刻能观测的，其中)()()()()()(10tNdtdtAtNtNtCtNkkk（充分条件）2：线性定常系统定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是 101)
5、,0(tAtTtAdtCeCetWT满秩,或 定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满秩，即 nCACACACrankrankQnO12()Ct的列线性无关.定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)n型矩阵 AIC对A的每一个特征值i之秩为n。（PBH判别法）定理三：线性定常连续系统，若A的特征值互异，经非奇异变换后为 xCyuBxxn21系统能观测的充分必要条件是阵中不包含全为零的列C定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为：xCyuBxJJJxk21系统能观测的充分必要条件是 阵中与
6、每一个约当块Ji第一列对应的列不全为零。C非奇异变换不改变系统的能观测性 3-4 离散系统的能控性和能观测性 线性定常离散系统方程为)()()()()1(kCxkykHukGxkx一：能控性定义 对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k0，在有限时间区间0，k内，存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的 二：能控性判据线性定常离散系统能控的充分必要条件是nnr型矩阵Qc满秩，即 rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n 证明 令 0)()0()(101kiikkiHuGxGkx111201(0)(1)(0)()(2)(1)kkki
7、kkikruuG xGHu iGHGHGHHu ku k 对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：krn且系数矩阵满秩 若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步可以使x(k)=0，（kn/r）例例 设单输入线性离散系统的状态方程为)(101)(011220001)1(kukxkx试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性 解解 33112201112ccrankQhGGhhQ系统是能控的)0(101122)0()0()1(uhuGxx)1(101)0(121062)1()1()2(uuhuGxx
8、系统是能控的)0(101122)0()0()1(uhuGxx)1(101)0(121062)1()1()2(uuhuGxx)2(101)1(121)0(3214122)2()2()3(uuuhuGxx0)3(x令8115)2()1()0(4122)2()1()0(101121321uuuuuu0)2(x062)1()0(101121uu若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。例例 双输入线性定常离散系统的状态方程为：)(011000)(041020122)1(kukxkx试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性 解解 系统是
9、能控的 令x(1)=0)0()0(3221021)0()0(211uuHuGx310140014020104221002ccrankQHGGHHQ)0(32)0(210)0(21,3221021321xxxAA若 若 ArankrankA则可以求出u(0)，使x(1)=0 ArankrankA则不存在u(0)，使x(1)=0 三：能观测性定义 对于离散系统，其定义为：已知输入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及有限采样周期内测量到的输出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的 四：能观测性判据 设n维离散系统
10、的动态方程为)()()()()()1(kDukCxkykHukGxkx其解为 110()(0)()kkkiix kG xGHu i 在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1)0()(xCGkyk)0()1()0()1()0()0(1xCGnyCGxyCxyn110()(0)()()kkkiiy kCG xCGHu iDu k 定义 12noCGCGCGCQ为离散系统的能观测性矩阵。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n 因此线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n)0()(xCGkyk)0()1()0()1()0()0(1xCGnyCGxyCxyn五：
11、连续系统离散化后的能控性与能观测性定理一：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的 证明：用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则 rankH、GH、G2H、Gn-1H=nTAATBdeHeG0,故 nBdeeBdeeBderankTATnATAATTA,0)1(00容易验证 TAATdee0,为可交换阵，故 nBeBeBderankTnAATTA,)1(0nBeBeBrankTnAAT,)1(由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故,1)1(BAABBrankBeBeBrank
12、nTnAATnBAABBrankn,1连续系统是能控的，矛盾 nBeBeBderankTnAATTA,)1(0本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的 定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是 jTk2不是A的特征值。其中k为非零整数 证明 设A的特征值为1、2、n则 TAde0的特征值为：Tde01Tde02Tden000TdeTi如果i=0，则如果i0，则jTkjTkedeiiTiTii2020)1(10可见当 jTk2（k为非零整数）为A的特征值时 TAde0的特征值中出现0 不
13、可逆,由于TAde01(1)0,TnAATA nTH GHGHedB eBeB 1,nrank H GHGHn 定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使 jTk221成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。本定理为充分条件，对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。3-5 对偶原理若系统S1描述为 mrnRyRuRxCxyBuAxx,系统S2描述为,TTTnmrACBRRR则称S1（S2）为S2（S1）的对偶系统。显然，原系统S1（S2）的能控性（能观测性）矩阵等于对偶系统S2（S1）的能观测性（能控性）矩阵转置，或者说，
14、原系统的能控性（能观测性）等价与其对偶系统的能观测性（能控性）对偶系统有两个基本特征:1)传递函数阵互为转置2)系统特征值相同3-6 能控标准形和能观测标准形一：能控标准形一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：10001000010000101210baaaaAn则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 定理：若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能控标准形 具体做法是：设A的特征多项式为 012211)det(aaaaAInnn引入非奇异线性变换 xPx12121121111101nnnnaaaaaPbAbA bAba则 1,APAPbPb为能控标准
15、形 例例 已知能控的线性定常系统动态方程 xyuxx011110001010101试将其变换成能控标准形 解解 2011111101cQbAbA b32det()21IA系统是能控的 12122110100011021110111210111101100121aaPbAbA ba 111211312P11010000102011021APAPbPbccP 解解 2011111101cQbAbA b32det()21IA系统是能控的 12122110100011021110111210111101100121aaPbAbA ba 111211312P010000101021201xxuyx 二：
16、能观测标准形一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式 10001000100010001210caaaaAn则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形 定理：若n维单输出线性定常系统能观测，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能观测标准形 具体做法是：设A的特征多项式为 012211)det(aaaaAInnn引入非奇异线性变换 xPx1212121111101nnnnaaacaacAPcAacA 则 11,APAPccP为能观测标准形 可利用对偶原理来证明 3-7能控性、能观测性与传递函数的关系定理一：如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩
17、阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。定理二：单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消 定理三：单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。证明 单输入、单输出系统动态方程为 cxybuAxx如果A的特征值互不相同，则可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即 xcyubxAxnnnfffcbA21212111()()niiiifG sc sIAbs此式
18、即为传递函数的部分分式 若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的 例 设单输入、单输出系统的传递函数 231)(2ssssG由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的 例 已知系统的动态方程如下，试求传递函数，判断其能控性、能观测性 xyuxxxyuxxxyuxx01015.2001)3(1015.
19、25.115.20)2(15.2105.15.210)1(三个系统的传递函数均为)1)(5.2(5.2)(ssssG系统（1）是能控不能观测的；系统（2）是能观测不能控的；系统（3）是既不能控又不能观测的 定理二、定理三只适用于单输入、单输出系统，对于有相重特征值的多输入、多输出系统，即使有零、极点对消，系统仍可能是既能控又能观测的 定理四：如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 BAsI1的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）定理五：如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵 1 AsIC的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测
20、的。（充分必要条件）例例 试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性 111110130020002)2(100001010010100240231)1(cbACBA400210234)4()1(1)(21ssssssAsI解解：（1）040242)4()1(1)(21sssssBAsI令 00040242321321ss说明 BAsI1的三个行向量线性无关，系统是能控的。说明 1 AsIC的三个列向量线性无关，系统是能观测的 00420304321321 ss例例 试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性 400210234)4()1(1)(21ssssssAsI解解：（1）令 12432
21、1()004(1)(4)ssC sIAsss111110130020002)2(100001010010100240231)1(cbACBA221)2()2(300)1)(2(000)1)(2()1()2(1)(ssssssssAsI（2）)5(10)1()2(2)(21sssssbAsI由于 bAsI1的三个行向量线性相关，系统不能控 221)1()2(2)(21ssssssAsIc令 02200)2()2()1(321321321sss存在非零解 系统是不能观测的。3-8 控制系统的结构分解 一：系统按能控性分解 设不能控系统的动态方程为 CxyBuAxx其能控性矩阵的秩为rn，即 ran
22、kQc=r令 CcCxxP xxx则 xCyuBxAx其中 1111121122200CCCCAABAP APBP BCCPCCA选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异矩阵T,令T-1 经非奇异变换后，系统的动态方程写为 11121221200CCCCCCxxAABuxxAxyCCx于是可得能控子系统动态方程为 1112111CCCCxA xA xBuyC x不能控子系统动态方程为 2222CCCxA xyC x系统传递函数矩阵为 11()()()G sC sIABC sIAB111112112111122()()00sIAABG sCCC sIABsIA例 已知 111100
23、341010121cbA试按能控性进行规范分解 解 328310004102 rankbAAbbrank系统不完全能控，取 1010301001100130010cTPT 则 11042114201210010ccccAP APbPbccP 能控子系统动态方程为 10421142012CCCCxxxuyx 不能控子系统动态方程为 2CCCxxyx 二：系统按能观测性分解设不能观测系统的动态方程为 CxyBuAxx其能观测性矩阵的秩为r0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是正定的 2：负定性 设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）0，则称标量函数V
24、（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 例 设 21xxx则 不定正半定负定正定221221221212221)()53()()4()()(xxxVxxxVxxxxVxxxV三：二次型函数的正定性设标量函数V（x）为二次型函数，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵：jiijnnnnnnqqqqqqqqqqqQ2122221112113：正半定性和负半定性 设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 赛尔维斯特准
25、则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。4-2李雅普诺夫意义下的稳定性概念赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。1：系统 设所研究的系统为),(txfx 式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下，方程有唯一解 2：平衡状态 满足 0 x 的状态即 0),(txfe对于线性定常系统 Axx 当A可逆时，有唯一平衡状态 0ex3：稳定性 以S（k）表示平衡状态
26、周围半径为k的球域 kxxekxxxxxxneee2122221)()()(设对应于每一个球域S（），都存在球域S（），使得当t t0时，从初始条件S（）出发的轨迹都超出不了S（），则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态 线性定常系统，如果是稳定的，则必是一致稳定的()S()S2x1xex4：渐近稳定性 如果平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（）出发的任意一个解，当t时，收敛于平衡状态，则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的 线性定常系统，如果是渐近稳定的，则必是一致渐近稳定的 5：大范围
27、稳定性 不管初始偏差有都大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有都大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 6：不稳定性 如果对于某个实数0和任一实数0，不管它们有多小，在球域S（）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（），这时的平衡状态是不稳定的 4-3李雅普诺夫直接法（第二法）主要理论 1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数V（x），
28、并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的 2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的 李雅普诺夫第一法-间接法李雅普诺夫第二法-直接法例22d ydymfkyFdtdt0,1Fm12,xy xy Fkmyf在讨论稳定性时,设12212xxxkxfx 22122111(,)22E x xxx1212(,)0(0)(,)0(0)E x xxE x xx系统稳定212221 12(,)dE x xx xkx xfxdt 定理一：设系统的动态方程为()xf x原点为一个平衡状态，即：(0)0f如果存在
29、一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件（1）是正定的()V x（2）是负定的()V x则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的 如果当 x()V x 时 则系统是一致大范围渐近稳定的。如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其()V x恒为零，则条件（2）可改为()V x是负半定的 定理二：设系统的动态方程为：()xf x原点为一个平衡状态，即：(0)0f如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件（1）是正定的()V x（2）是负半定的()V x则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的 如果当 x()V x 时 则系统是一致大范围稳定的。例 设系统状态方程为
30、)()(22212122221121xxxxxxxxxx坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 222212211)(2)(2)(xxxxxxxV为一负定的标量函数，且)(,xVx系统是一致大范围渐近稳定的。例 系统动态方程为 0)1(1222221axxxaxxx坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 22222211)1(2)(2)(xaxxxxxxV为负半定的，系统是稳定的 定理三：设系统的动态方程为()xf x原点为一个平衡状态，即：(0)0f如果在平衡状态的某个邻域
31、内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件：（1）是正定的 ()V x（2）是正定的()V x则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 类似地，若()V x除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。例 设有如下系统 21221xxxxx试判断系统的稳定性 解：x=0为系统的平衡状态，取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 2222112)(2)(xxxxxxV为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上 不恒为零，系统是不稳定的)(xV4-4 线性连续系统的稳定性分析 一：线性定常系统李雅普诺夫函数的求法设线性定常系统 Axx 若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=
32、0 取一个可能的李氏函数 PxxxVT)(P为正定实对称矩阵 xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(令 QxxxVPAPAQTT)()(若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。例例 21211110 xxxx试确定系统平衡状态的稳定性解解：x=0为系统的平衡状态，取Q=I，由：ATP+PA=-Q 设 121212322121211PppppPP为正定矩阵)223(21)(222121xxxxPxxxVT系统是一致大范围渐近稳定的 推论：如果 QxxxVT)(沿任意一条轨迹不恒
33、为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵 例 设系统状态方程为：uKxxxKxxx0010120010321321求系统稳定时K的取值范围 解 令u=0，detA0，故原点是系统的平衡状态。取 100Q由于只有在原点处才有 0)(23xQxxxVT故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得 21260122122630612212212260122122KKKKKKKKPKKKKKKK二：线性时变系统李雅普诺夫函数的求法xtAx)(设线性时变系统系统的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 xtPxtxVT)(),(P（t）为正定实对称矩阵，xtAtPtPtPtAxxtPxxtPxxtPxtxV
34、TTTTT)()()()()()()()(),(令 xtQxtxVtAtPtPtPtAtQTT)(),()()()()()()(若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程)()()()()()(tQtAtPtPtAtPT成立 三：线性系统稳定性的几个结论 设线性系统 xtAx)(系统的平衡状态x=0状态方程的解为)(),()(00txtttx渐近稳定系统一致渐近稳定一致稳定系统稳定0000000000000,0),(exp),()4(,0),()3(,),()2(,)()
35、,()1(tttcttcNtttttttttNttttttNtt四：线性定常系统稳定性的特征值判据 定理：线性定常系统 Axx 渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面。即 Rei0 （i=1、2、n）i为A的特征值 4-5线性定常离散系统的稳定性取Vx(k)=xT(k)Px(k)，P为正定实对称矩阵。)()()()()1()1()(kxPPGGkxkPxkxkPxkxkxVTTTT令 PPGGQT定理：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P使GTPG-P=-Q成立，此时V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任
36、一解序列不恒为零，那么Q可取为正半定矩阵。设 x(k+1)=G x(k)，x=0为平衡状态。()()()TV x kxk Qx k 例 设)(00)1(21kxkx试确定系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得 2221110011P根据P为正定实对称矩阵的要求，得 11214-6 外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)K1),0tt的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 20(),)y tKtt 定理：对零初始条件的连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条
37、件为，存在一个有限正常数K3，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式 03(,)1,2,1,2,tijth tdKimjr 证明考虑SISO情形充分性0001132()(,)()|(,)|()|(,)|tttttty tg tudg tudKg tdK KK 1.有界输入、有界输出稳定(BIBO)外部稳定必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使10|),(|1ttdtg可以取),(sgn)(1tgtu有1010|),(|)(),()(111ttttdtgdutgty矛盾推论：对零初始条件r维输入和m维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳
38、定的充分必要条件为：存在一个有限正常数K3，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式 03()1,2,1,2,ijhdKimjr 定理：对零初始条件的连续时间线性时不变系统，系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。例()cG ssa(0)xaxuycxc()ath tce线性定常系统分析系统是否BIBO稳定解传递函数脉冲响应00|()|0cahdaa系统BIBO稳定的充要条件是0a 等价于传递函数的极点位于左半复平面定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：0)(limtXout定理：对n维连续时间线性时不变自治系统 0)0(0txxAxx 内部稳定的充分必要条件为 0limAtte或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0。2.外部稳定与内部稳定性之间的关系定理：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。例 系统方程为06211101xxuyx分析系统的内部稳定性与外部稳定性解det()0IA260(2)(3)01223 系统位于原点的平衡状态不是渐近稳定的传递函数1221()()63sG sc sIAbsss系统是BIBO稳定的容易判断,系统是能观测、不能控的
