1、向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ，OA a=uur rOB b=uuu r r则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.arbrarbrOabAB当当=0时，时，与与 同向；同向；arbr当当=180时，时，与与 反向；反向；arbrababab共起点共起点当当=90时，时，与与 垂直，记作垂直，记作 。arbrab rr问题问题sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，是是
2、F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.cosWF sq=平面向量的平面向量的数量积数量积：BB1OAabcosa ba bq=r rr rg 已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定 a br rgcosa bqr rbrbrarar 其中其中是是 与与 的夹角的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，规定，零向量与任一向量的数量积为零，即即 。arbr00a=r rg 叫做向量叫做向量 在在 方向上的方向上的投影投影.cosbqrbrar1cosOBbq=uuu rr3,=4,=
3、120aba ba bq=orrr rr rg例1.已知与的夹角，求数量积的数量积的几何意义：几何意义：BB1OAab 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘积。的乘积。a br rgarararbrcosbqr3,=4,=120abababba变式：已知与 的夹角，求 在 方向上的投影，在 方向上的投影.q=orrrrrrrr()()()()1 cos (2)3 =4 ababa baba baba ba aaa bab前 提：和都 是 非 零 向 量若与 同 向，若与反 向，填或q=rrrrr rgrrr rgrrr rgr rrgr rrrg
4、由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据0abrra b-r r2ara ar rg思考：思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为时候为正正，什么时候为，什么时候为负负呢？呢？a babr rgrr数量积的运算规律：数量积的运算规律：()()()()()()()123 a bb aa ba babab ca cb clll=+=+r rr rggr rr rrrgggrr rr rr rggg=()()a b ca b c思考2：等式是否成立？=r r rr r rgga bb cac=
5、r rr rrrgg思考1：等式，则是否成立？消去律消去律不成立不成立结合律结合律不成立不成立 ()()()()()()()()22222222222.,=2,=,122a bRabaabbab ababa babaa bbababab例 我们知道，对任意的恒有对任意的向量是否也有下面类似的结论？+-+=+-=-r rrrrr rrgrrrrrrg()()6,=4,=602 3 abababab例3.已知与 的夹角，求q=+-orrrrrrrrg()()6,=4,2 3 72.abababab变式：已知求 与 的夹角 q=+-=-rrrrrrgrr3,4a bkakb a kb例5.已知ab，
6、且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？=+-rrr rrr rr3,45,2aba b例 4.已 知ab，求的 值.=-rrrrr rg 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量的数量积平面向量的数量积 ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)cosbaba运算律：运算律：abba1 bababa2cbcacba3复习回复习回顾顾特别地特别地aaaaaa|2或或 是是x x轴上的单位向量，轴上的单位向量，是是y y轴轴上的单位向量，上的单位向量，由于由于 所以所以 ijcosbaba iijjijji .1 1 0 平面向量数量积的坐标
7、表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1122,ax ybx ya ba b已知两个非零向量怎样用与的坐标表示呢？两个向量的数量积等于它们对应坐标的两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即乘积的和，即1212a bx xy y；或aaaaaa2)1(222221122221212(1)(,),2,)(,),)ax yaxyaxyA xyB xyABxxyy 向量的模设则或；（）两点间的距离公式设（、则（2、向量的模和两点间的距离公式0baba（1）垂直）垂
8、直0),(),21212211yyxxbayxbyxa则（设3、两向量垂直和平行的坐标表示0/),(),12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行）平行 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角122 33,ABCABACABC 已知，0，求 并判断的形状，给出证明。例2例1(3,4),(6,8),.aba b ab a ba b 已知求.(1,),32222ax ba baba bab已知（-，1）(1)当x为何值时，与平行？(2)当x为何值时，与垂直？例31122,ax ybxyabab已知两个非零向量是 与 的夹角，如何求 与 的夹角的余弦值呢？
9、121222221122x xy ya ba bxyxy cos=4、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 .(5,7),6 aba bab 设（，-4），求及 与 间的夹角精确到1例4 已知已知 =（4 4，3 3），），向量向量 是垂直于是垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 .aabb例例5 5 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（a+b）（a-b）=-7，a （b+c）=0（a+b）2=492、a b=8，|a|=5，|b|=，291、a b=-7，达标测评：达标测评：
10、1、已知已知a=（33，4 4），），b=（5，2）,求求a b,|a|,|,|b|2 2、a=（2，3），），b=（22，4 4），），c=（11，22）求求a b，（a+b）（a-b），），a （b+c），（），（a+b)2 3、已知已知a=（22，4 4），），b=（1，22），则），则a 与与b的关系是的关系是 A、不共线不共线 B、垂直垂直 C、共线同向共线同向 D、共线反向共线反向 4、以、以A（2，5），），B（5，2），），C（10，7）为顶点的三角为顶点的三角 形的形状是形的形状是 A、等腰三角形等腰三角形 B、直角三角形直角三角形 C、等腰直角三角形等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角小结小结（1）设）设a=（x，y），），则则 或或|a|=.2|a22yx 22yx 若设若设 、则则 11,yxA22,yxBAB212212yyxx（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式标表示式.222221212121cosyxyxyyxx1 22 1/0a bxyxy1 21 20a bxxyy 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即2121yyxxba
