1、数学物理方程 二阶常微分方程 二阶常微分方程n常用齐次定解问题n数学物理中的对称性n特殊函数常微分方程n常微分方程的级数解法n斯图姆刘维尔本征值问题n本章小结常用齐次定解问题n常用齐次定解问题的要素n常用齐次定解问题的分类n拉普拉斯算符的形式n拉普拉斯算符形式的推导常用齐次定解问题要素02uuaunt稳定方程：演化方程：泛定方程）（），用球坐标（球形：），用极（柱）坐标（圆形：）用直角坐标（矩形：边界形状,rzzyx）（初始速度：）（初始状态：初始条件rgurfuttt00|常用齐次定解问题的分类直角坐标极坐标球坐标稳定方程演化方程！拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极柱坐标球坐标yyxx2z
2、z2211122zz22sin1sin1sin22112122rrrrrrrrrr极坐标下拉普拉斯算符形式的推导yyxx2sincosyx2112121cossinsincosyx极坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系极坐标下拉普拉斯算符形式的推导0zzyyxxuuu化为极坐标0222sin1sincos12uuuuurrrrrr利用多元复合函数求导：cossinsincossinrzryrx（一）令sinr则sincosyxsincosrrz(1)(2)极坐标下拉普拉斯算符形式的推导由(1)cossinsincosyuxuuyuxuyyuxxuu得由此解出uuuyuuuuxu
3、cossincossinsincossincos极坐标下拉普拉斯算符形式的推导cossinsincosyx得算子再微分一次，并利用上式算子，得uuxuxxusincossincos22uuuuu2222222222sincossin2sincossin2cos极坐标下拉普拉斯算符形式的推导uuyuyyucossincossin22uuuuu2222222222coscossin2coscossin2sinuuuyuxu11222222222(2)由得sincosrrz(A)uuzuuzuyuxu112222222222222极坐标下拉普拉斯算符形式的推导变换上式中对于类似得出：2222zuur
4、ururruzuu11222222222urruucossinuu联立得所以0cossinsin1sin111222222222222222urrururrururruzuyuxu因此0sin1sinsinsin12uururrr数学物理中的对称性n对称性的概念q定义：对称性就是在某种变换下的不变性q分类n对称性的描述n对称性原理q当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。n对称性的应用对称性的分类空间转动对称性空间反演对称性空间平移对称性空间时间反演对称性时间平移对称性时间动力学对称性时空对称性对称性的描述对称性名称对称条件对称函数沿z轴反演对称沿z轴平移对
5、称绕z轴转动对称绕原点转动对称),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfazyxf),(),(zfzf|)|,(zyxff),(yxff),(),(rfrf),(zff)(rff),(),(rfrf),(rff),(),(zfazf),(ff 对称性的应用柱坐标输运方程对称性未知函数泛定方程无任何对称性沿z轴平移对称绕z轴转动对称双重对称),(tzuu),(tuu),(tuu),(tzuu)(22uuauzztuaut22)(12uuuauzzt)(12uuaut特殊函数常微分方程n球坐标下拉普拉斯方程的分离变量q一般情况n欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程q轴对称情况n勒让德方程n极
6、坐标下热传导方程的分离变量q一般情况n亥姆霍兹方程，贝塞尔方程q轴对称情况特殊函数特殊函数 n特殊函数一般是指某类微分方程的解又不能用初等函数的有限形式表示的函数.但是这类函数在应用中是常见的,比如勒让德函数,贝塞耳函数及许多正交多项式等;另外一些是由特定形式的积分所定义的函数,如 -函数,B-函数.还有从函数的周期性的角度来考虑的所谓椭圆函数,这类函数与微分方程无关.本章除了介绍这些函数的概念外,还给出关于函数的一些积分、级数和无穷乘积等表达式、渐近形式、函数之间的关系以及它们的常用性质.特殊函数范例特殊函数范例n引用如下符号-伽马函数伽马函数 1)(,)()()1()1(0aananaaa
7、an)(!)()1()1(!)1(!)1()1(anannanannaaanan式中 为正整数，为任意数.nan3.1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3.特殊函数特殊函数n3.1.1伽马函数（伽马函数（-函数）函数）-函数的定义与其他表达式 1o ueuzuzd)(012o 0d21)(1tteizzt积分路线从负实轴上无穷远处 出发，正向绕原点一周，再回到出发点)(tn3.1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3特殊函数特殊函数3o 11)11(1)()1(!lim)(kzznkzkznzzznnz)(nz4o 1)1()(1kkzzekzzez式中 称为欧拉常数。65101
8、532860605772156649.0ln1lim1nmnnmn3.1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3特殊函数特殊函数-函数有关公式 为正整数特别 （余元公式）特别 )()1(zzz)0(Rez!)1(nnn()1)2()1(zzzsin)1()(21()n3.1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3特殊函数特殊函数zzzzsin)()(),3,2,1()1()!1(sin)()(11222nkznzzznznnkzzzcos)21()21(nnn2!)!12()21(!)!12(2)1()21(nnnnn3.1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 殊函数殊函数可化为
9、-函数的积分 010111)(d)1(lndzttttetzztz012)(21d2ztettz)0(2020)12()21(2dcosdsinnnttttnn)1(nn1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数3o 11)11(1)()1(!lim)(kzznkzkznzzznnz)(nz4o 1)1()(1kkzzekzzez式中 称为欧拉常数。65101532860605772156649.0ln1lim1nmnnmn由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数-函数有关公式 为正整数特别 （余元公式）特别 )()1(zzz)0(Rez!)1(nnn()1
10、)2()1(zzzsin)1()(21()n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数zzzzsin)()(),3,2,1()1()!1(sin)()(11222nkznzzznznnkzzzcos)21()21(nnn2!)!12()21(!)!12(2)1()21(nnnnn由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数可化为 -函数的积分 010111)(d)1(lndzttttetzztz012)(21d2ztettz)0(2020)12()21(2dcosdsinnnttttnn)1(n球坐标下拉普拉斯方程0)(22uurrrr0)1()(2RllRr)1
11、(/)(2llYYRRr0)1(YllY1llDrCrR/sin)1(/)(sinsin2ll00sin)1()(sinsin2ll0)1()1(2212xmllxmBmAsincos),()(YrRu)()(Ycosx球坐标下拉普拉斯方程0)(22uurrrr0)1()(2RllRr)1(/)(2llYYRRr0)1(YllY1llDrCrR0sin)1(/)(sinsin2ll0)1()1(2llx)()(YrRu)(Ycosx极坐标下热传导方程uaut22022TkaT222/)/(kvvTaT022vkv)exp(22tkaAT/)(22RkRR00)()(221RkR0)1(221R
12、RRxmxmBmAsincos),()(vtTu)()(Rvkx常微分方程的级数解法n常微分方程中点的常微分方程中点的分类分类n各点邻域级数各点邻域级数解的形式解的形式n勒让德方程勒让德方程的级数解的级数解n贝塞尔方程贝塞尔方程的级数解的级数解常微分方程中点的分类n二阶变系数常微分方程的一般形式qw”+p(z)w+q(z)w=0n方程中点的分类q常点：z0 是 p(z)和 q(z)的解析点q正则奇点：z0 是(z-z0)p 和(z-z0)2 q 的解析点 q非正则奇点：其它情况各点邻域级数解的形式n非正则奇点 z0 邻域q有一解为00)(kkkzzaw00)(kskkzzawkskkzzaw)
13、(0常点z0邻域两解均为正则奇点 z0 邻域有一解为其中 s 由判定方程确定a00贝塞尔方程的级数解0)(222ymxxyyx贝塞尔方程为：022202200kkskkkskkkskkkskxaxaxayxxay：为正则奇点，邻域解为0201)1)()(kkskkkskxaksksyxaksy级数解的导数为：0)(0222kkskkxaamsk代入方程得：0)(222kkaamsk即：ak0=0贝塞尔方程的级数解0)(2kkaamksmks递推公式：02)2)(1(!212)42(41402)1(110)22(21242aaaaaammmmm！具体递推：02)()1(122)22()2(122
14、)1(aaakkmmkkkkmkk！22110)2(1)(1200)1)(1(10)(0kkkakmkamksmksakaamsmskmsamsmsk贝塞尔方程的级数解)1(210022)1(!)1(,)(mkkmxkmkmmkaxJy特解：mxxJmxxJmmmmmmmNxDNxCJxBJxAJysin)(cos)()()()()(通解：性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；收敛性：特解的收敛半径为 ；有界性：在 x 0，m0 时,Jm有界，Nm发散。斯图姆刘维尔本征值问题n本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本
15、征函数的问题n斯特姆刘维尔本征值问题q斯特姆刘维尔型方程q斯特姆刘维尔型边界条件n斯特姆刘维尔本征值问题的性质q可数性：存在可数无限多个本征值；q非负性：所有本征值均为非负数；q正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；q完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。斯特姆刘维尔本征值问题n斯特姆刘维尔型方程,0)()()(baxyxyxqyxk其中k(x)、q(x)和(x)都非负；k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。斯特姆刘维尔型边界条件 三类齐次边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件斯特姆刘维尔本征值问题abkq 本征值问题0L1010L101-111-x2010bx
16、m2/xx0)()0(,0Lyyyy)()(,0 xyLxyyy)1(,0)1(2yyyx0)(,)0(,0 2byyxyyxyxm本征函数集合的正交性和完备性正交性bammnnmNdxxxyxy2,)()()(完备性)()(xyfxfnnbanNndxxxyxffn)()()(21展开系数本征函数集合的正交性和完备性例题1LLmnnmdxxyxy02,)()(问题LnLnnndxxyxffxyfxf02)()()()(0)()0(,0LyyyyxwywwnnLnnnnsin,2本征函数正交性完备性本征函数集合的正交性和完备性例题220,2)()(mnnmdxxyxy问题2021)()()()(dxxyxffxyfxfnnnn)()2(,0 xyxyyy)exp(,2imxymmm本征函数正交性完备性本征函数集合的正交性和完备性例题3211,)()(nnlnlNdxxPxP问题1110)()()()(2dxxPxffxPfxflNlllll,2,1,0),(),1(lxPylllll本征函数正交性完备性)1(,0)1(2yyyx本章小结齐次化特解常微分方程齐次化特解条件非斯刘问题斯刘问题齐次定解问题的解齐次半通解本征变化齐次定解问题非齐次定解问题
