1、22.1.1二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）（难点）雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？导入新课导入新课情境引入导入新课导入新课视频引入思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?1.什么叫函什么叫函数数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯
2、一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a0)问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.讲授新课讲授新课二次函数的定义一探究归纳问题2 n个球
3、队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 .n-1112mn n答：21122mnn 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？分析：这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的
4、产量y=_.20(1+x)20(1+x)220(1+x)2答：y=20 x2+40 x+20；此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的 y=6x2 想一想21122mnny=20 x2+40 x+20二次函数的定义：形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x的整式；的整式；（2）a
5、,b,c为常数，且为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项数项，但不能没有二次项.归纳总结 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x21yx=不一定是，缺少a0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=a
6、x2+c等.方法归纳 想一想:二次函数的一般式y=ax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）有什么联系和区别？联系：联系：(1)(1)等式一边都是等式一边都是ax2ax2bxbxc c且且a 0a 0；(2)(2)方程方程ax2ax2bxbxc=0c=0可以看成是函数可以看成是函数y=ax2y=ax2bxbxc c中中y=0y=0时得到的时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.二次函数定义的应用二 例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题可知）由题可知,解得=2 2;m（2）由题可知）由题可知
7、,解得 m=3.第（第（2）问易忽略二次项系数）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从这一限制条件，从而得出而得出m=3或或-3的错误答案，需要引起同学们的重视的错误答案，需要引起同学们的重视.注意273.mymx271,30,mm272,30,mmkxky)2(取值范围是什么？那么是二次函数若函数m，xmxmy4)2()9(.222k 1.已知:，k取什么值时，y是x的二次函数？解：当 =2且k+20，即k=-2时,y是x的二次函数.变式训练解：092mm3取值范围是什么？那么是二次函数若函数m，xmxmymm4)3()1(.3122012122mmm3mm的 取 值 范 围 是【解题小结】
8、本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，第x档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)；(2)若生产第x档次的产品一天
9、的总利润为1120元，求该产品的质量档次解：由题意可得 10 x2180 x4001120，整理得 x218x720，解得 x16，x212(舍去)所以，该产品的质量档次为第6档【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型思考：1.已知二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2180 x400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.二次函数的值三例4 一个二次函数 .234(1)21kkykxx（1）求
10、k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？解：（1）由题意，得2342,10,kkk 解得=2;k将x=0.5代入函数关系式 .（2）当k=2时，221yxx20.52 0.5 10.25y 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.归纳总结当堂练习当堂练习2.函数函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是()A.m,n是常数是常数,且且m0 B.m,n是常数是常数,且且n0C.m,n是常数是常数,且且mn D.m,n为任何实数为任何实数C1.把把y
11、=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为变成一般式，二次项为_,一次项一次项系数为系数为_，常数项为，常数项为 .3下列函数是二次函数的是下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D2yx211yxC-3x2-16124.已知函数已知函数 y=3x2m-15 当当m=时，时，y是关于是关于x的一次函数；的一次函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的反比例函数；的反比例函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的二次函数的二次函数.1 0325.若函数 是二次函数，求：232(4)aayaxa（1）求a的值.(2)求函数关系式.（3）当x=-2时，y的值是多少？解：（1）由题意，得2
12、322,40,aaa解得=1;a（2）当a=-1时，函数关系式为 .22(14)151yxx （3）将x=-2代入函数关系式中，有 25(2)121.y 6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系)0(42xxy)0(62aaS)260(1321)26(212xxxxxS7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售
13、，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量 就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）元6750,kg450400001400101050500402xxxxy8.矩形的周长为矩形的周长为16cm,它的一边长为它的一边长为x（cm),面积为面积为y（cm2).求求（1）y与与x之间的函数解析式及自变量之间的函数解析式及自变量x的取值范围；的取值范围；（2）当）当x=3时矩形的面积时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当当x3时，时，y328315 cm2.课堂小结课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）是常数）.同学们,加油！2005年11月7日7时33分
