1、椭圆的定义和标准方程 北师大版选修2-1 第三章第一节 椭圆的起源椭圆定义的探究椭圆方程的推导椭圆的应用目录发现椭圆曲线 梅内克缪斯梅内克缪斯（公元前（公元前375375年年-公元前公元前325325年，古希年，古希腊数学家）腊数学家）阿波罗尼奥斯（约公元前262年-约公元前190年，古古希腊数学家希腊数学家）旦徳林（1794-1884，比利时数学家）梅内克缪斯时期梅内克缪斯时期用垂直于圆锥母线的平面截顶角分别为直角、钝角、锐角的（正）圆锥。得到直角圆锥曲线、钝角圆锥曲线、锐角圆锥曲线，统一命名为圆锥曲线梅内克缪梅内克缪斯（公元斯（公元前前375375年年-公元前公元前325325年，年，古希
2、腊数古希腊数学家）学家）阿波罗尼奥斯时期阿波罗尼奥斯时期用一个不过圆锥顶点的平面沿着不同方向截同一个圆锥。截出三种不同的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）阿波罗尼奥阿波罗尼奥斯（约公元斯（约公元前前262262年年-约约公元前公元前190190年，年，古希腊古希腊数学家数学家）阿波罗尼奥斯时期阿波罗尼奥斯时期书中他证明了近500个命题，几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽，但证明过程复杂，其中得到了一条很重要的性质：椭圆上的点到两定点的距离之和为常数旦德林时期旦德林时期构造“旦德林双球”模型，巧妙而简洁的证明了椭圆上的点到两定点距离之和为常数。旦徳林旦徳林（1794-1794-18841884，比，比利
3、时数学利时数学家）家）发现椭圆曲线 梅内克缪斯梅内克缪斯（公元前（公元前375375年年-公元前公元前325325年，古希年，古希腊数学家）腊数学家）阿波罗尼奥斯（约公元前262年-约公元前190年，古古希腊数学家希腊数学家）旦徳林（1794-1884，比利时数学家）椭圆定义探究 旦徳林双球模型实验：若将细绳的两端分别用图钉固定在图板上不同的两点F1、F2处，使两图钉间距离小于绳长，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？为定值21MFMF+思考：改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？再改变图钉之间的距离，使其大于绳长，画出来的又是什么？结论：绳
4、长记为结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为，两定点间的距离记为2c(c0).（1）当）当2a2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（2）当）当2a=2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（3）当）当2a=+解析几何基本思想 勒内笛卡尔（公元1596年3月31日公元1650年2月11日）法国著名哲学家、物理学家、数学家皮埃尔德费马（公元1601年8月17日-公元1665年1月12日）性质方程坐 标 法数形结合由形到数由数到形椭圆方程的推导 建系：建立直角坐标系建系：建立直角坐标系设点：把未知点设出设点：把未知点设出限制：找出限制条件代入：把点坐标代入限制条件化简建系设点限制代入化简椭圆方程的推导 如图所示如图所示
5、:F:F1 1、F F2 2为两定点，且为两定点，且|F|F1 1F F2 2|=2|=2c，求平面内，求平面内到两定点到两定点F F1 1、F F2 2距离之和为定值距离之和为定值2 2a(2(2a22c)的动点的动点M M的的轨迹方程。轨迹方程。解解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，由椭圆的定义得由椭圆的定义得代入坐标代入坐标122MFMFa+=222212(),()MFx cy MFx cy=+=-+2222()()2xcyxcya+-+=得椭圆方程的推导
6、移项得移项得两边平方、整理得两边平方、整理得2a2c0，即ac0，a2-c20，那么式两边再平方，整理得两边再平方，整理得两边同除以两边同除以a2(a2-c2)得得如图点B是椭圆与y轴正半轴的交点你能在图中找你能在图中找表示表示a，c，b的线段？的线段？(ab0)2222()=2a-()xcyxcy+-+222()acxaxcy-=-+22222222(-)(-)a c xa ya a c+=222221-xyaac+=1212|,|,BFBFa OFOFc=可 得22|-BOac=22|-bBOa c=令22221xyab+=椭圆方程的推导 椭圆的标准方程椭圆的标准方程:焦点在焦点在x轴轴：
7、焦点在焦点在y轴轴：12yoFFMx1oFyx2FM方程特征：（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；（2 2）在椭圆两种标准方程中，总有）在椭圆两种标准方程中，总有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2,ab0,ac0,ab0,ac0；（3）焦点在）焦点在大分母大分母变量所对应的那个轴上；变量所对应的那个轴上；()222210 xya bab+=22221(0)yxabab+=例题例题1.已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：(1)a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为
8、椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点，并且并且CF1=2,则则CF2=_.5436(-3,0)、(3,0)8(3)若若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，的弦，则则CF1F2的周长为的周长为_，F2CD的周长为的周长为_。F1F2CD1620椭圆曲线的应用 2212516xy+=例题例题2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；(1)a=,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点；求椭圆标准方程的解题步骤求椭圆标准方程的解题步骤：（1 1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2 2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3 3）根据题目条件确定）根据题目条件确定a a、b b的值，的值，写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.椭圆曲线的应用 62216xy+=2212516yx+=2211612xy+=椭圆的起源椭圆的定义椭圆的定义 椭圆及其标准方程椭圆的标准方程椭圆的标准方程课堂小结 椭圆曲线的应用椭圆曲线的应用必做题：课本的练习选做题：想一想椭圆还有其他的画法和证明方法？作业布置 谢谢
