1、第5章 极点配置与观测器的设计第第5 5章章 极点配置与观测器的设计极点配置与观测器的设计5.1 反馈控制结构反馈控制结构5.2 系统的极点配置系统的极点配置5.3 解耦控制解耦控制5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法5.5 带状态观测器的反馈系统带状态观测器的反馈系统5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用在控制系统综合中的应用第5章 极点配置与观测器的设计5.1 反馈控制结构反馈控制结构反馈控制具有抑制扰动影响、改善系统性能的能力，在系统控制中应用最为广泛。由被控系统和反馈控制律构成闭环系统是自动控制系统最基本的结构。按照从反馈信号的来源分类，系统反馈主要有状态反馈和输出反馈两种
2、基本形式。第5章 极点配置与观测器的设计5.1.1 状态反馈状态反馈设被控系统的动态方程为xAxBuyCxDu状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵K，经负反馈至控制输入处，和参考输入V一起组成状态反馈控制律，有 u=VKx (5-1)其中K为rn型反馈增益矩阵；V为r维输入向量。从而构成了状态反馈系统，其结构如图5-1所示。第5章 极点配置与观测器的设计图5-1 状态反馈系统的结构图第5章 极点配置与观测器的设计由图5-1可知，状态反馈系统的动态方程为(5-2)()()()xAxBuAxB VKxABK xBVyCxDuCxD VKxCDK xDV式中，(ABK)称为闭环状态阵，闭环特征多项式为
3、|I(ABK)|。显见状态反馈并不增加新的状态变量，只改变了系数矩阵及其特征值，对输入矩阵B和直接传输矩阵D均无影响。第5章 极点配置与观测器的设计5.1.2 输出反馈输出反馈输出反馈是将被控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端，构成闭环系统。经典控制理论中所讨论的反馈就是这种反馈，其结构如图5-2所示。输出反馈系统动态方程为 1111()xAxB VHyABH IDHC xBBH IDHD VyIDHCxIDHDV(5-3)当D=0时，输出反馈系统动态方程为(5-4)xABHC xBVyCx第5章 极点配置与观测器的设计图5-2 输出反馈系统的结构图第5章 极点配置与观测器的设计同样
4、，输出反馈也可以通过适当选取输出反馈增益矩阵H改变闭环系统特征值，从而改善系统的性能。比较状态反馈和输出反馈两种控制律构成的闭环系统状态空间方程可见，当D=0时，只要取K=HC的状态反馈即可达到与输出反馈相同的效果，即输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况。第5章 极点配置与观测器的设计5.1.3 状态反馈系统的性质状态反馈系统的性质引入状态反馈后，闭环系统的能控性和能观性相对于原被控系统来说是否发生了变化，是关系到能否实现状态控制和状态观测的重要问题。定理定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统能控的充分必要条件是原系统能控。证明证明:对于任意的K阵，均有0IIABKBIABKI第5章 极
5、点配置与观测器的设计上式中等式右边的矩阵对任意常值矩阵K都是非奇异的。因此对任意的和K，均有0IKIrankrankIABKBIAB(5-5)式(5-5)说明，状态反馈不改变原系统的能控性。但是，状态反馈可能改变系统的能观性。输出反馈不改变系统的能控性，也不改变系统的能观性。第5章 极点配置与观测器的设计5.2 系统的极点配置系统的极点配置控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点在根平面上的分布。因此在进行系统设计时，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点应有的位置。5.2.1 能控系统的极点配置能控系统的极点配置所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环
6、极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。定理定理5-2 能用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统能控。第5章 极点配置与观测器的设计证明证明:这里仅对单输入系统进行证明。设单输入系统能控，通过x=P1，将状态方程化为能控标准形，有x(5-6)012101210100000100000101xxx nnuaaaay对变换后的状态空间方程，引入状态反馈阵K(5-7)011Knkkk(5-8)VKxu第5章 极点配置与观测器的设计可求出引入状态反馈后状态空间方程为(5-9)()yxAbK xbVCx式中(5-10)00112211010000100001AbKnnakakaka
7、k第5章 极点配置与观测器的设计系统 仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。其闭环特征方程为(,)AbK B C(5-11)()detIAbKKss1212101210nnnnnnnsaksaksaksak于是，适当选择，可满足特征方程中n个任意特征值的要求，因而闭环极点可任意配置。充分性得证。再证必要性。设系统不能控，必有状态变量与输入u无关，不可能实现全状态反馈。于是不能控子系统的特征值不可能重新配置，传递函数不反映不能控部分的特性。必要性得证。0k1nk第5章 极点配置与观测器的设计这里配置极点所用的状态反馈阵可以通过状态反馈系统特征多项式与期望的特征多项式相比较来确定。设状
8、态反馈系统希望的极点为s1，s2，sn，其特征多项式记为K*1*1101()nnninissssasa sa(5-12)比较式(5-11)和(5-12)，令s同次幂的系数相等，即得(5-13)*00112211Knnaaaaaaaa对在变换后状态空间中设计的 应换算回原状态空间中去，由于KVKxVKPxVKxuKKP故(5-14)第5章 极点配置与观测器的设计例例5-1 设系统状态方程为0100001002311000 xxx uy试用状态反馈使闭环极点配置在2，1j。解解:该系统状态方程为能控标准形，故系统能控。设状态反馈矩阵为K=k0 k1 k2。012012010001000100010
9、23123AbK kkkkksk第5章 极点配置与观测器的设计状态反馈系统特征方程为32210()(3)(2)0IAbKssksk sk期望闭环极点对应的系统特征方程为32(2)(1)(1)4640ssj sjsss 根据两特征方程同幂项系数应相同的原则，可得k0=4，k1=4，k2=1，即系统反馈阵K=4 4 1，将系统闭环极点配置在2，1j。对于上述这种确定状态反馈阵K的方法，如果原系统不是能控标准形，必须先将系统方程变换为能控标准形，然后确定K阵。如果原系统阶数较低，则也可以不经过这一步，由待定系数法直接确定K阵。第5章 极点配置与观测器的设计例例5-2 设被控系统的状态方程为 1122
10、2111 12xxuxx 试用状态反馈使闭环极点配置在1和2处。解解:因为14rankrank221nbAb所以原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。设K=k1 k2，则状态反馈闭环系统的特征多项式为1212211221IAbK skksksk 2121212(23)221211skkskkkk第5章 极点配置与观测器的设计期望的特征多项式为(s+1)(s+2)=s2+3s+2比较对应项系数，可得 1241K kk经典控制中采用输出反馈方案，由于其可调参数有限，只能影响特征方程的部分系数，比如根轨迹法仅能在根轨迹上选择极点，它们往往作不到任意配置极点；而状态反馈的待选参数多，
11、如果系统能控，特征方程的全部n个系数都可独立任意设置，便获得了任意配置闭环极点的效果。一般K阵元素越大，闭环极点离虚轴越远，频带越宽，响应速度越快，但稳态抗干扰能力越差。第5章 极点配置与观测器的设计例例5-3 设被控系统传递函数为32()11()(6)(12)1872C sR ss sssss要求性能指标为:超调量%5%；峰值时间tp0.5 s；系统带宽b=10；位置误差ep=0。试用极点配置法进行综合。解解:(1)原系统能控标准形动态方程为11223312301000010072181100 xxxxuxxxyxx 第5章 极点配置与观测器的设计对应特征多项式为s3+18s2+72s。(2
12、)根据技术指标确定希望极点。系统有三个极点，为方便，选一对主导极点s1，s2，另外一个为可忽略影响的非主导极点。已知指标计算公式为21%e21pnt22412244bn第5章 极点配置与观测器的设计式中，和n分别为阻尼比和自然频率。将已知数据代入，从前两个指标可以分别求出0.707；n9.0；代入带宽公式，可求得b9.0；综合考虑响应速度和带宽要求，取n=10。于是，闭环主导极点为s1，2=7.07j7.07，取非主导极点为s3=10n=100。(3)确定状态反馈矩阵K。状态反馈系统的期望特征多项式为232()(100)(14.1100)114.1151010000IAbKsssssss由此，
13、求得状态反馈矩阵为 100000151072114.1 1810000143896.1K 第5章 极点配置与观测器的设计(4)确定输入放大系数。状态反馈系统闭环传递函数为232()(100)(14.1100)114.1151010 000vvyuKKGsssssss因为001lim()lim1()0peuyussesGsGss所以，可以求出Kv=10 000。0lim()1yusGs第5章 极点配置与观测器的设计5.2.2 镇定问题镇定问题镇定问题是一种特殊的闭环极点配置问题。可定义如下：若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实部，即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。显然，能
14、控的非渐进稳定系统可通过状态反馈改变闭环极点，实现镇定。如果系统不能控，是否还可以镇定呢？基于状态反馈不改变系统能控性的认识，可得到如下定理：定理定理5-3 线性定常系统采用状态反馈可镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定系统。第5章 极点配置与观测器的设计对于能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇定。对于满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性结构分解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反馈阵，最后再转换为原系统的状态反馈阵。例例5-4 已知系统的状态方程为100102010050u xx要求用状态反馈来镇定系统。第5章 极点配置与观测器的设计解：解：原系统为对角标准形，
15、特征值分别为1，2，5。系统有两个特征值为正，故系统不稳定。同时由定理3-2可知，系统为不能控的。不能控子系统特征值为5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈实现镇定，镇定后极点设为s1，2=2j2。能控子系统方程为 101021uu CCCCCxA xbx引入状态反馈u=VKCxC，设KC=k1 k2。期望的特征多项式为22j22j248ssss第5章 极点配置与观测器的设计状态反馈系统特征方程为21212()(3)220sskkskkCCCIAb K比较对应项系数，可得 121320kk CK特征值为-5的系统无需配置，所以原系统的状态反馈阵可写为013200 CKK第5章 极点配置与观测
16、器的设计5.3 状态解耦状态解耦5.3.1 问题的提出问题的提出对于多输入多输出系统xAxBuyCx在x(0)=0的条件下，输入与输出间的关系可用传递函数G(s)来描述，可写为1()()()()()sssssyGuCIABu第5章 极点配置与观测器的设计即11111221221122221122()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()rrrrmmmmrry sgs u sgs u sgs u sy sgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u s(5-15)由式(5-15)可知，每一个输入控制着多个输出，而每一个输出又被
17、多个输入所作用。我们称这种交互作用的现象为耦合。由于耦合关系的存在，往往使系统难于控制、性能很差。第5章 极点配置与观测器的设计所谓解耦控制系统，就是采用某种结构，寻找合适的控制规律来消除系统中各控制回路之间的相互耦合关系，使每一个输入只控制相应的一个输出，每一个输出又只受到一个控制的作用。分析多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之间的耦合关系是由于对象特性中的子传递函数gij(s)(ij)造成的。若(5-16)1122()000()0()00()mmgsgsG sgs第5章 极点配置与观测器的设计是一个非奇异对角形有理多项式矩阵，则该系统是解耦的。寻找消除耦合的办法实际就是使系统传递函数阵
18、对角化，这样就在实际系统中消除了通道间的联系，将系统分解为多个独立的单输入单输出系统，实现了一对一的控制。解耦控制要求原系统输入与输出的维数要相同，反映在传递函数矩阵上就是G(s)应是方阵，且非奇异。第5章 极点配置与观测器的设计5.3.2 串联解耦串联解耦 串联解耦系统的结构图如图所示。图5-3 串联解耦结构图 第5章 极点配置与观测器的设计其中，sG0为受控对象的传递矩阵；)(sH为输出反馈矩阵。由图可知，串联解耦是一种比较简单的方法，只需在待解耦系统中串联一个前馈补偿器 sGc，使串联组合系统的传递函数矩阵变为对角形的有理函数矩阵 sG即可。设 sGP为前向通道的传递矩阵，sGf为系统闭
19、环传递矩阵。由图 5-3 可得 sGsGsHsGIsGPPf1第5章 极点配置与观测器的设计两边同时乘以 sHsGIP，并化简得 1sGsHIsGsGP 而 sGsGsGcP0 因此串联补偿器的传递矩阵为 110sGsHIsGsGsGc （5-17）若是单位反馈时，即 IsH,则 110sGIsGsGsGc （5-18）一般情况下，只要 sG0是非奇异的，系统就可以通过串联补偿器 sGc来实现解耦控制。第5章 极点配置与观测器的设计 例例5-5 设某串联解耦系统受控对象传递函数矩阵G0(s)、H(s)反馈阵、期望的闭环传递矩阵分别为 11122111210sssssG 1001sH 51002
20、1sssG求串联补偿器G0(s)。第5章 极点配置与观测器的设计 解解：由式（5-18）得 110sGIsGsGsGc11511002115100211112211121ssssssss410011)1()1(2)12()12(ssssss412412112ssssss第5章 极点配置与观测器的设计5.3.3 状态解耦状态解耦利用状态反馈实现解耦控制，通常采用状态反馈加输入变换器的结构形式，如图5-4所示。其中K为状态反馈阵，L为输入变换阵。图5-4 状态反馈实现解耦控制第5章 极点配置与观测器的设计由图5-4可知，状态解耦问题可描述为：对多输入多输出系统(设D=0)，设计反馈解耦控制律u=K
21、x+LV (5-19)使得闭环系统 (5-20)()xABK xBLVyCx的传递函数矩阵(5-21)1()()sKLGC sIABKBL为对角形，即式(5-16)。定义两个特征量：(1)解耦阶系数：(5-22)min()iisdG中各元素分母与分子多项式幂次之差1 第5章 极点配置与观测器的设计式中Gi(s)为被控系统传递函数矩阵G(s)中的第i个行向量。(2)可解耦性矩阵：(5-23)12mEEEE其中(5-24)1lim()idiisssEG定理定理5-4 被控系统实现解耦控制的充分必要条件是可解耦性矩阵E为非奇异的。第5章 极点配置与观测器的设计例例5-6 已知系统状态空间方程为000
22、100010012301110001xxuyx试判断该系统是否可通过状态反馈实现解耦控制。解：解：先求出系统传递函数矩阵21311(1)(2)(1)(2)()()1(1)(2)(1)(2)sss sssssssssssGCIAB第5章 极点配置与观测器的设计比较传递函数矩阵各行元素分母和分子的幂次差，可求得解耦阶系数为12min1 2 10min2 1 10dd ，系统可解耦性矩阵122111122311lim()10(1)(2)(1)(2)011lim()(1)(2)(1)(2)limdsdsssssss ssssssssssssGEEEG很明显，矩阵E是非奇异的，系统可以实现状态解耦。如果
23、系统满足定理5-4，那么如何选取状态反馈解耦控制的矩阵K和L呢？有如下定理：第5章 极点配置与观测器的设计定理定理5-5 如果系统满足解耦条件，可采用状态反馈u=Kx+LV来实现状态解耦。这时可选取L=E1 (5-25)12111121mdddmC AC AKEC A(5-26)使状态解耦系统的闭环传递矩阵GKL(s)变换为(5-27)1211111()1mdddssssKLG第5章 极点配置与观测器的设计式(5-26)中Ci为输出矩阵C中的第i个行向量。由式(5-27)可以看出，解耦后系统实现了一对一控制，并且每个输入与相应的输出之间都是积分关系。因此称上述形式的解耦控制为积分型解耦。例例5
24、-6 已知系统的状态空间方程为11002201011121xxuyx第5章 极点配置与观测器的设计试用状态反馈实现系统解耦。解：解：系统传递函数为111211()()21211ssssssGCIAB所以有d1=0，d2=0。对应系统可解耦性矩阵为1211112211lim1lim()21112lim()2111lim211dssdssssssssssssGEEEG111det02211 E第5章 极点配置与观测器的设计满足状态反馈解耦控制的充要条件。所以11122122111LE12111111221221012210111ddC AC AKEEC AC A解耦后的闭环传递函数为121111(
25、)11ddsssssKLG第5章 极点配置与观测器的设计对应闭环系统状态空间方程为0011()00211121xABK xBLVxVyCxx第5章 极点配置与观测器的设计定理定理5-6 若系统可用状态反馈解耦，且 12mdddmn（5-28）则采用状态反馈 1112222111111012221201110()()()mmddddddddmmdmmkkkkkkkkkC AAAICAAAIKECAAAI1LE,可以将闭环传递函数矩阵对角化为 111101()iiiiidddididiisdiagsk sksk skG（5-29）（5-30）第5章 极点配置与观测器的设计 例例5-8 已知系统的状
26、态空间方程为已知系统的状态空间方程为已知系统的状态空间方程为 201010311112101100101xxuyx试用状态反馈实现系统解耦，使解耦后闭环传递函数为 21011031ssss G第5章 极点配置与观测器的设计解：解：原系统闭环传递函数为 232252223681fssssssssG由传递函数可知。对应系统可解耦性矩阵为 12213211122232252limlim()0168121lim()223lim681dssdssssssssssssssssssGEEEG01det2021E满足状态反馈解耦控制的充要条件，且 120 123ddmn 第5章 极点配置与观测器的设计由定理5
27、-6知；代入公式5-29得 11101,1kk；2221201,3,1kkk，110111121202LE11221130110.587.512018161430123CAIKECAAI第5章 极点配置与观测器的设计5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法对于线性定常系统，在一定的条件下，可以通过状态反馈实现任意的极点配置。但前提是状态变量必须能直接测量到，这就给状态反馈的实现带来了困难。因此人们想到了通过系统的可测量参量(输入量和输出量)来重新构造估计状态的方法，该重构状态在一定指标下和系统真实状态等价。实现状态重构的系统称为状态观测器。本节讲述在确定性控制条件下系统状态观测器的设计原理
28、与方法。第5章 极点配置与观测器的设计5.4.1 观测器的设计思观测器的设计思路考虑如下线性定常系统 xAxBuyCx(5-31)解决系统状态重构问题的直观想法就是按原系统的结构，构造一个完全相同的系统。由于该系统是人为构造的，因此这个系统的状态变量是全部可以测量的。于是得到如下系统方程：(5-32)xAxBuyCx y式(532)中的 称为原系统的重构状态，也即是式(5-26)中x的估计值。x第5章 极点配置与观测器的设计用式(5-31)减去式(5-32)，可得到(5-33)xxA xxyyC xx其解为(5-34)(0)(0)Axxxxte第5章 极点配置与观测器的设计当时，有，于是可用作
29、为状态反馈信息。但是，被控对象的初始状态一般不可能知道，模拟系统状态初值只能预估值，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个系统的A、B、C矩阵完全一样，估计状态与实际状态也必然存在误差，用代替x，难以实现真正的状态反馈。但是的存在必导致的存在，如果利用，并负反馈至处，控制尽快衰减至零，从而使也尽快衰减至零，便可以利用来形成状态反馈。按以上原理构成的状态观测器并实现状态反馈的方案如图5-4所示。状态观测器有两个输入即u和y，其输出为。G为观测器输出反馈矩阵，目的是配置观测器极点，提高其动态性能，使尽快逼近于零。x(0)(0)xx xx x x xx yy yy x yy xx x x xx第5
30、章 极点配置与观测器的设计图5-5 状态观测器的结构图第5章 极点配置与观测器的设计由图5-5可得到状态观测器的状态方程为(5-35)xAxG yyBuAGC xBuGy所以状态估计的误差为(5-36)xxAGCxx该方程的解为e(0)(0)tA GCxxxx显然只要选择观测器的系数矩阵(AGC)的特征值，使之均具有负实部，就可以使状态估计逐渐逼近状态的真实值x，即。通过上述讨论可知，实现系统状态重构，关键在于G阵的存在和适当的选择。那在什么条件下，观测器的极点才可以任意配置呢？xlim0 xxt第5章 极点配置与观测器的设计定理定理5-7 若被控系统(A，B，C)可观测，则可用式(5-30)
31、的全维观测器来给出状态估值。观测器输出反馈矩阵G可按极点配置的需要来设计，以决定状态估计误差衰减的速率。该定理可以由对偶原理来证明。它表明若原系统能观测，则其状态可用图5-4中的闭环状态观测器给出估计值，且其中输出偏差反馈增益矩阵G按使观测器系统矩阵(AGC)具有任意所期望特征值的需要选择，以使观测误差以期望的收敛速率趋于零。实际选择矩阵G参数时，既要防止状态反馈失真，又要防止数值过大导致饱和效应和噪声加剧等。通常希望观测器的响应速度比状态反馈系统的响应速度快25倍为好。第5章 极点配置与观测器的设计5.4.2 全维观测器的设计全维观测器的设计状态观测器根据其维数的不同可分为两类。一类是观测器
32、的维数与被控系统的维数n相同，称为全维状态观测器。前面构造的观测器，就是全维状态观测器。其设计方法类似于状态反馈极点配置问题。现以单输入单输出为例说明状态观测器特征值配置方法与步骤。(1)设单输入系统能观，通过，将状态方程化为能观标准形。有1xP x(5-37)001122110001000100010001xxxnnaaauay第5章 极点配置与观测器的设计线性变换阵P可以由第3章式(3-30)求出。(2)构造状态观测器。(5-38)()xAGC xbuGy令，得到T011ngggG(5-39)00112211010100010001AGCnnagagagag其闭环特征方程为(5-40)11
33、11100()()()()0IAGCnnnnssagsag sag第5章 极点配置与观测器的设计设状态观测器期望的极点为s1，s2，sn，其特征多项式记为(5-41)*1*1101()nnnKinissssasa sa令s同次幂的系数相等，即得(5-42)*00112211Gnnaaaaaaaa(3)令G=P1，代入式(5-38)中就得到系统的状态观测器。例例5-9 给定系统的状态空间方程为G1001021010211 10uy xxx第5章 极点配置与观测器的设计设计一个具有特征值为3，4，5的全维状态观测器。解：解：原系统特征多项式为32100()det()021584002sssssss
34、sIA观测器的期望特征多项式为*32()(3)(4)(5)124760sssssss所以有T*001122643917aaaaaaG第5章 极点配置与观测器的设计线性变换阵1222152110431,100110aaa CPCACA111111112137P原系统对应G阵为1111646011113943213717150GP G 状态观测器的状态方程为59600160()4345104314915021150 xAGC xbGx uyuy第5章 极点配置与观测器的设计对于比较简单的控制系统，状态观测器可以采用待定系数法直接计算，不必经过转换能观标准形这一步。例例5-10 设被控对象传递函数为
35、，试设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10。解解:该单输入单输出系统传递函数无零极点对消，故系统能控可观测。若写出其能控标准形，则有()2()(1)(2)C sR sss01023120 xxx uy第5章 极点配置与观测器的设计设反馈阵G=g0 g1T。全维观测器的系统矩阵为001121012022323AGC gggg观测器的特征方程为2001()(23)(622)0IAGCssgsgg期望特征方程为22(10)201000sss由特征方程同幂系数相等可得g0=8.5，g1=23.5。第5章 极点配置与观测器的设计5.4.3 降维观测器的设计降维观测器的设计实际应用中，由于被控系统的
36、输出量总是可以测量到的，因此可以利用系统的输出直接产生部分状态变量。这样所需估计的状态变量的个数就可以减少，从而降低观测器的维数，简化观测器的结构。若状态观测器的维数小于被控系统的维数，就称为降维状态观测器。若输出m维，则需要观测的状态为nm维。已知n维系统(A，B，C)完全能观测，设12CCCm n第5章 极点配置与观测器的设计其中C1为mm，C2为m(nm)。采用线性变换矩阵P对系统方程进行线性变换，矩阵P可由下式求出:(5-43)11112111200CCCCCPIIn mn m令，可得到如下形式的系统方程：xPx1APAPBPB1CCP(5-44)11111122222122120 x
37、BxAAuxBxAAxyIxm第5章 极点配置与观测器的设计或写作(5-45)11111221221122221xA xA xB uxA xA xB uyx从式(5-44)、式(5-45)可知，输出可直接由输出y1直接获得，不必通过观测器，只需要估计的值。因为，式(5-41)可改写成1x2x1yx(5-46)1112212212222yA yA xB uxA yA xB u令，则有212,uA yB u111wyA yBu(5-47)2222122xA xuwA x第5章 极点配置与观测器的设计式(5-47)是(nm)维子系统，输入为，输出为w。由于原系统是完全能观测的，因此该子系统也完全能观
38、测，可构造该子系统的状态观测器为u(5-48)22212222122212111()()()xAGAxuGwAGAxA yB u G yA yBu由式(5-48)可知，降维观测器的方程含有。为消去，令，有，代入式(5-44)中可得到y y 2zxGy2zxGy(5-49)22122111212()()()()zAGAzGyAGAyBGB uxzGy式(5-45)即为降维状态观测器的状态方程。变换后系统状态变量的估计值为(5-50)12xyxzGyx第5章 极点配置与观测器的设计由的 ，可得到原系统状态变量估计值为 (5-51)1111120yCCCxPxzGyIn m此时系统降维观测器的结构可
39、参看图5-6。1xP x第5章 极点配置与观测器的设计图5-6 降维状态观测器的结构图第5章 极点配置与观测器的设计例例5-11 已知0100001061161100010 xxx uy试设计降维观测器，并使它的极点位于5处。解：解：(1)经判断，系统完全能观，且n=3，m=2，nm=1，设计一维观测器。(2)求线性变换阵P和子系统：12100010CCC第5章 极点配置与观测器的设计121100010,0001n mCCPI100010001P111122122010001,6116AAAPAPAA12001BBPBB (3)求观测器反馈阵，设。降维观测器的特征方程式为G12,G Tg g2
40、2121220()()(6,)61IAGA f sssg gsg期望的特征方程式为f*(s)=s(5)=s+5，所以有，即。可任选，设，有。265g21g 1g10g 01G 第5章 极点配置与观测器的设计(4)求降维观测器状态方程2212211121()()()()AGAGAGABGB zzyyu 112212(6 1)(01)(61100(1 0)566yyzuyyzxxu (5)变换后系统状态变量的估计值为11222xGyxyyzyxzy原系统状态变量估计值1122xPxxyyzy第5章 极点配置与观测器的设计5.5 带状态观测器的反馈系统带状态观测器的反馈系统状态观测器解决了被控系统的
41、状态重构问题，为系统实现状态反馈创造条件。这又带来两个问题：在状态反馈系统中，用状态估计值是否要重新计算状态反馈增益矩阵？当观测器被引入系统后，状态反馈部分是否会改变已经设计好的观测器的极点配置？以下将分析这两个问题。第5章 极点配置与观测器的设计5.5.1 系统结构系统结构带状态观测器的反馈系统如图5-7所示，包括原被控系统，观测器和状态反馈三部分。设被控系统能控能观，其状态空间方程为xAxBuyCx 设状态反馈控制律为uvKx 全维状态观测器()xAGC xBuGy第5章 极点配置与观测器的设计图5-7 带状态观测器的反馈系统结构图第5章 极点配置与观测器的设计综合以上3式可得到带状态观测
42、器的状态反馈闭环系统状态空间方程为(5-52)()xAxBKxBVGCxAGCBK xBVyCxx由式(5-48)构造2n维复合系统：(5-53)0 xABKxBVGCABKGCxBxxyCx定义误差 xxx()()()()()xAxBuAGC xBuGCxAGC xxAxB vKxAxBVBK xxABK xBKxBV第5章 极点配置与观测器的设计写成矩阵形式为00 xABKBKxBVAGCxx(5-54)第5章 极点配置与观测器的设计5.5.2 系统基本特性系统基本特性1.特征值的分离特性特征值的分离特性由式(5-54)，根据分块矩阵的行列式，可得闭环系统的特征多项式为(5-55)|0sI
43、ABKBKsIABKsIAGCsIAGC 式(5-55)表明带状态观测器的状态反馈系统的特征值为采用真实状态反馈的状态反馈系统的特征值加上状态观测器的特征值。说明采用估计状态代替真实状态x进行反馈时，反馈阵K不变；状态观测器作为系统的一个组成部分时，G阵也不改变，所以有下列定理：x 第5章 极点配置与观测器的设计定理定理5-8(分离定理)若被控系统(A，B，C)能控能观，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行。第5章 极点配置与观测器的设计2.传递矩阵的不变性传递矩阵的不变性由式(5-50)可得带观测器的状态反馈系统的传递矩阵为11()0()00sIABKBK
44、BG sCC sIABKBsIAHC(5-56)由此可见，带观测器的状态反馈闭环系统的传递矩阵等于直接状态反馈闭环系统的传递矩阵。换句话说，两者的外部特性完全相同，而与是否采用观测器无关。例例5-12 已知被控系统的状态空间方程为01006110 xxuyx 第5章 极点配置与观测器的设计试设计全维状态观测器(设极点为10，10)，构成状态反馈系统，将闭环极点配置到4j6。解：解：(1)判断能控性和能观性。01,16bbCQA1001OCQCA能控判别矩阵QC和能观能控判别矩阵Q0均满秩，所以系统能控能观。(2)设计状态反馈矩阵。设K=k1 k2，对应闭环特征方程式为22112166sssks
45、kkskIAbK第5章 极点配置与观测器的设计期望的特征多项式为 2(4j6)(4j6)852ssss比较对应项系数，可得12522kkK(3)设计全维状态观测器。设反馈阵G=g0 g1T。状态观测器的特征方程为2112()(6)(6)ssgsggIAGC期望特征方程为22(10)201000sss由特征方程同幂系数相等可得1416G第5章 极点配置与观测器的设计所以观测器方程为141140()166161ybuyu xAGC xGx第5章 极点配置与观测器的设计5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用在控制系统综合中的应用5.6.1 极点配置极点配置在MATLAB控制系统工具箱中，提供了两
46、种函数place()和acker()，可以完成极点配置的计算。第5章 极点配置与观测器的设计1.place函数函数place函数调用格式为 K=place(A，B，P)式中，(A，B)为系统状态方程模型，P为包含期望极点的向量，返回的变量K为状态反馈向量。该算法即前面讲过的用能控标准形进行极点配置的方法。即先通过变换矩阵P将状态方程转换为能控标准形，然后对其施加状态反馈，并将期望的特征方程*(s)和加入状态反馈阵后的特征方程K(s)比较，令对应项系数相等，从而求出状态反馈阵，然后按定义的变换关系求出K阵。AKKKP第5章 极点配置与观测器的设计例例5-13 已知系统的状态方程为12304560
47、7891 xxu希望极点为2、3、4。试设计状态反馈阵K，并检验引入状态反馈后的特征值与希望极点是否一致。A=1 2 3；4 5 6；7 8 9；B=0；0；1；输入系统矩阵Qc=ctrb(A，B)；求能控性矩阵rank(Qc)求能控性矩阵的秩结果为ans=3说明系统能控，可以进行极点配置。第5章 极点配置与观测器的设计P=-2-3-4；输入期望极点K=place(A，B，P)求状态反馈阵结果为K=15.4333 23.6667 24.0000eig(A-B*K)求引入状态反馈后特征值ans=4.0000 2.0000 3.0000该结果和期望极点一致。第5章 极点配置与观测器的设计2.Ack
48、er算法算法Acker算法调用格式为K=acker(A，B，P)，式中参数和place()函数一样。该函数是按照Acker公式求反馈阵的。注意该函数仅用于单变量系统极点配置问题。对单变量系统，acker函数和place函数求出的结果应相同。例5-7如果用acker函数进行极点配置的话，可输入K=acker(A，B，P)结果为K=15.4333 23.6667 24.0000和用place函数求出的结果一样。第5章 极点配置与观测器的设计5.6.2 状态观测器设计状态观测器设计状态观测器的状态方程为xAGC xBuGy我们注意到观测器的系数矩阵的转置TTTTAGCAC G其形式与原系统状态反馈系
49、数阵ABK相似，可视其为对偶系统的状态反馈。因此，在MATLAB中，可以直接用place()或acker()来进行状态观测器反馈阵的计算。其格式为G=place(A，C，P)或G=acker(A，C，P)式中，A，C是系统矩阵A和输出矩阵C的转置，P为观测器希望极点，G为观测器反馈矩阵。第5章 极点配置与观测器的设计例例5-12 试用MATLAB求给定系统1001021010211 10uy xxx具有特征值为3，4，5的全维状态观测器，并验证。A=1 0 0;0 2 1;1 0 2;B=1;0;1；C=1 1 0；D=0；输入系统状态空间方程 Q0=obsv(A，C)；求能观测矩阵 rank(Q0)求能观测矩阵的秩结果为ans=3能观测矩阵满秩，所以系统能观，可以得到系统状态观测器。第5章 极点配置与观测器的设计P=3 4 5；G=place(A，C，P)所以状态观测器矩阵为G=60.0000 43.0000 150.0000Ao=AG*C；求观测器的系数矩阵eig(Ao)检验观测器特征值第5章 极点配置与观测器的设计结果为ans=5.0000 4.0000 3.0000设计状态观测器的极点和期望极点一致。
