1、 石景山区石景山区 2020 届届高三第一学期期末高三第一学期期末 数数 学学 本试卷共 5 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分（选择题 （选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项一项 1. 已知集合 02Axx ， 1,0,2,3B ，则AB A. 0,1,2 B. 0,2 C. 1,3 D. 1,0,1,2,3 2. 复数 2
2、 1i z 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中既是奇函数，又在区间0 1（ ，）上单调递减的是 A. 3 ( )f xx B. ( )lg|f xx C. ( )f xx D. ( )cosf xx 4. 已知向量5,ma，2, 2b，若abb，则实数m A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 5. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内 夹谷约为 A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1
3、365石 6. 已知 3 log 4a ， log 3b ，5c ，则a，b，c的大小关系是 A. abc B. acb C. bca D. bac 7. 艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分5 个有效 评分与 7 个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 8. 一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如右图， 则截去部分 体积与原正方体体积的比值为 A. 8 1 B. 7 1 C. 6 1 D. 5 1 9. 在等差数列 n
4、 a 中，设, , ,k l p r N，则k lpr 是 klpr aaaa 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 22 4xxyy给出下列三个结论： 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2 ； 曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2 其中，正确结论的个数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 主（正）视图 左（侧）视图 俯视图 第二部分第二部分（非选择题共（非选择题共 110110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题
5、5 分，共分，共 30 分分 11. 在 6 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等于_ （用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为 2 2 1 3 x y，则其焦点到渐近线的距离为 13. 已知数列 * () n annN为等比数列， 1 1a ， 2 2a ，则 3 a _. 14. 已知平面, 给出下列三个论断： ；以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 15. 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c已知 1 4 bca-=， 2sin3sinBC=，则cosA的值为_ 16. 已知向量 1 e， 2 e是平面内的一组基向量，
6、O为内的定点，对于内任意 一点P，当 12 OPxeye时，则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标，若点 A、B的广义坐标分别为 11 ( ,)x y、 22 (,)xy，对于下列命题： 线段AB的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy ； 向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y； 向量OA垂直于向量OB的充要条件是 1212 0x xy y. 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17. （本小题 13 分）
7、已知函数 1 ( )cos (sincos ) 2 f xxxx. （）若 2 0，且 5 3 sin，求( )f的值； （）求函数 ( )f x的最小正周期，及函数( )f x的单调递减区间. 18.（本小题 13 分） 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6 点”获得 15 分，出 现三次“6 点”获得 120 分，没有出现“6 点”则扣除 12 分(即获得12 分) （）设每盘游戏中出现“6 点”的次数为 X，求 X 的分布列； （）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率； （） 玩过这款游戏的许多人发现， 若干盘游戏后， 与最初的分数相比， 分数
8、没有增加反而减少了 请 运用概率统计的相关知识分析解释上述现象 19.（本小题 14 分） 已知在四棱锥ABCDP 中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，CD平面 PAD，OGFE、分别是ADBCPDPC、 的中点 （）求证：PO平面ABCD； （）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； （）线段PA上是否存在点M，使得直线GM 与平面EFG所成角为 6 ，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由 20.（本小题 14 分） 已知函数( )exf xax.（aR） （）求函数( )f x的单调区间； （）若3a ，( )f x的图象与y轴交于点A，求( )yf x
9、在点A处的切线方程； O E F G P C D BA （）在（）的条件下，证明：当0x 时， 2 ( )31f xxx恒成立 21. （本小题 13 分） 已知椭圆 22 2 :1 2 xy C a 过点(2,1)P （）求椭圆C的方程，并求其离心率； （） 过点P作x轴的垂线l， 设点A为第四象限内一点且在椭圆C上 （点A不在直线l上） ， 直线PA 关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B设O为坐标原点，判断直线AB与直线OP的位 置关系，并说明理由 22.（本小题 13 分） 已知由 * ()n nN个正整数构成的集合 1212 ,(,3) nn Aa aaaaa n， 记 12An S
10、aaa，对于任意不大于 A S的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集 的所有元素之和等于m. （）求 21,a a的值； （）求证： “ n aaa, 21 成等差数列”的充要条件是“ 2 ) 1( nn SA” ； （）若2020 A S，求n的最小值，并指出n取最小值时 n a的最大值. 石景山区石景山区 2020 届届第一学期高三期末第一学期高三期末 数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B D
11、A C D C 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11160； 121； 13 5； 14 或； 15. 1 4 ； 16. 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题 13 分） 解： （）因为 2 0 ，且 5 3 sin， 所以 2 4 cos1 sin 5 . 2 分 所以 4 34128131 = 5 55225250 f . 5 分 （） 2 1 cossincos 2 1 cos
12、sincos 2 xxxxxxxf 8 分 所以函数 xf的最小正周期 2 2 T . 9 分 由 3 2 22 + 242 kxk,kZ， 解得 5 + 88 kxk,kZ. 11 分 所以函数 xf的单调递减区间 5 + 88 k,k,k Z. 13 分 18. （本小题 13 分） 解： （）X可能的取值为0，1，2，3. 1 分 每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 1 6 p . 03 3 1125 (0)(1) 6216 P XC， 12 3 1175 (1)(1) 66216 P XC， 22 3 1115 (2)( )(1) 66216 P XC， 33 3 11 (3)( )
13、 6216 P XC， 5 分 所以 X 的分布列为： 6 分 （）设“第 i 盘游戏获得 15 分”为事件 Ai(i1，2)，则 12 905 ()()(1)(2) 21612 P AP AP XP X. 8 分 X 0 1 2 3 P 125 216 25 72 5 72 1 216 ) 4 2sin( 2 2 )2cos2(sin 2 1 2 1 2 2cos1 2sin 2 1 x xx x x ) 4 2sin( 2 2 )2cos2(sin 2 1 2 1 2 2cos1 2sin 2 1 x xx x x 所以“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”的概率为 12 95 1() (
14、) 144 P A P A 因此，玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为 95 144 . 10 分 （）设每盘游戏得分为Y. 由（）知，Y的分布列为： Y 12 15 120 P 125 216 5 12 1 216 Y的数学期望为 125515 1215120 2161221636 EY . 12 分 这表明，获得分数Y的期望为负 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大 13 分 19.（本小题 14 分） （）证明:因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以 POAD. 又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以 POCD. DCDAD，CDAD，平面ABCD， 所以PO面ABCD.
15、 4 分 （）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系. 则)32 , 0 , 0(),0 , 4 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 4 , 2(),0 , 4 , 2(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(PGDCBAO， )3, 0 , 1(),3, 2 , 1(FE ，)3, 2 , 1 (),0 , 2, 0(EGEF， 设平面EFG的法向量为 ),(zyxm , 032 , 02 zyx y 令1z，则 ) 10 , 3(，m， 6 分 又平面ABCD的法向量 ) 1 , 0 , 0(n ，7 分 设平面EFG与平面A
16、BCD所成锐二面角为， 所以 2 1 | | cos nm nm . 所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为 3 . 9 分 （）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为 6 ， 设 1 , 0,PAPM， PAGPPMGPGM ， 所以)1 (32 , 4,2(GM. 11 分 所以 7642 3 ,cos| 6 sin 2 mGM， 13 分 整理得0232 2 ，无解， 所以，不存在这样的点M. 14 分 20.（本小题 14 分） 解： （）( ) x fxea， 1 分 当0a 时，( )0fx 恒成立，所以 ( )f x在R上单调递增， 3 分 O z y x
17、E F G P C D BA 当0a 时，令( )0fx ，解得lnxa. 当x变化时，( ),( )fxf x 的变化情况如下表： x (,ln )a lna (ln ,)a ( )fx 0 + ( )f x 减 极小值 增 所以0a 时， ( )f x在(,ln )a 上单调递减，在(ln , )a 上单调递增. 5 分 （）令0x ，得 1y ，则 0,1A ， 6 分 因为 e3 x fx，所以 01 32 f ， 7 分 所以在A点处的切线方程为 12(0)yx ，即 21yx . 9 分 （）证明：令 22 ( )(3 +1) = e1 x g xf xxxx， 则 e2 x gx
18、x. 令 e2 x h xx，则 e2 x hx， 当0ln2x时， 0h x ， h x单调递减， 当ln2x 时， 0h x ， h x单调递增； 11 分 所以 ln2 ln2e2ln222ln20h xh，即 0g x 恒成立. 所以 g x在, 上单调递增，所以 01 0 10g xg ，13 分 所以 2 e10 x x ，即当 0x 时， 2 31f xxx恒成立 14 分 21.（本小题 13 分） 解： （）由椭圆 22 2 :1 2 xy C a 过点 (2,1)P， 可得 2 41 1 2a ，解得 2 8a 2 分 所以 222 826cab， 3 分 所以椭圆C的方程
19、为 22 1 82 xy ，离心率 63 22 2 e 5 分 （）直线AB与直线OP平行 6 分 证明如下：由题意，设直线:1(2)PA yk x ，:1(2)PB yk x ， 设点A 11 ,)x y（，B 22 ,)xy（， 由 22 1 82 21 xy ykxk 得 222 41)8 (1 2 )161640kxkk xkk（， 8 分 所以 1 2 8 (21) 2+ 41 kk x k ，所以 2 1 2 882 41 kk x k ，同理 2 2 2 8+82 41 kk x k ， 所以 12 2 16 41 k xx k ， 10 分 由 11 21ykxk， 22 21
20、ykxk ， 有 1212 2 8 ()4 41 k yyk xxk k ， 因为A在第四象限，所以0k ，且A不在直线OP上，所以 12 12 1 2 AB yy k xx ， 又 1 2 OP k，故 ABOP kk，所以直线AB与直线OP平行 13 分 22. （本题 13 分） 解:（）由条件知 A S1，必有A1，又 n aaa 21 均为整数，1 1 a. 2 分 A S2，由 A S的定义及 n aaa 21 均为整数，必有A2，2 2 a. 4 分 （）必要性：由“ n aaa, 21 成等差数列”及1 1 a,2 2 a 得), 2 , 1(niiai此时, 3 , 2 ,
21、1nA满足题目要求 从而) 1( 2 1 321nnnSA. 6 分 充分性：由条件知, 21n aaa且均为正整数，可得), 3 , 2 , 1(niiai 故) 1( 2 1 321nnnSA，当且仅当), 3 , 2 , 1(niiai时，上式等号成立. 于是当) 1( 2 1 nnSA时，), 3 , 2 , 1(niiai，从而 n aaa, 21 成等差数列. 所以“ n aaa, 21 成等差数列”的充要条件是“) 1( 2 1 nnSA”. 8 分 （）由于含有n个元素的非空子集个数有 12 n ，故当10n时，10231210， 此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不
22、同的整数m，不符合要求. 而用11个元素的集合1024,512,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2 , 1A的非空子集的元素之和可以 表示2047,2046, 3 , 2 , 1共2047个正整数. 因此当2020 A S时，n的最小值为 11. 10 分 当2020 A S时，n的最小值为 11.记 102110 aaaS 则2020 1110 aS并且 1110 1aS. 事实上若 1110 1aS， 111110 22020aaS，则1010 11 a，1010 1110 aS， 所以1010m时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020 111110 aaS，得 2 2021 11 a， * 11 Na ，所以1010 11 a. 当1010 11 a时1010,499,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2 , 1A满足题意 所以当2020 A S时，n的最小值为 11，此时 n a的最大值1010. 13 分 【若有不同解法，请酌情给分】【若有不同解法，请酌情给分】
