1、1 安徽省 2020 年名校高考冲刺模拟卷 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.C解析：由 x22x3 变形，得(x+1)(x3)0，解得 x3 或 x1，Ax|x3 或 x1. 又Bx|0x4，AB3，4). 2.A解析：由题意可得 ， ， 03 01 m m 解得 1m3.又mZ，m2，z1i， 5 5 5 1 1 1 1 1 zz . 3.D解析：设扇形的圆心角为，大扇形的半径长为 R，小扇形的半径长为 r，则 S大扇形 2 2 R ， S小扇形 2 2 r ，R=2r.所以根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）
2、部分的概率为 4 3 4 3 2 22 2 2 2 22 2 22 r r R rR R rR P . 4.A解析：，22211 3 1 3 1 001log3log 1 3 102 . 0 2 1 2 1 cbaabc. 5.B解析：设 a与 b的夹角是.|a|b|4，且(a+b)(a2b)，(a+b)(a2b)a2ab2b2 4244cos 2420，cos 1.0，. 6.D解析：)( sin cos |ln )(xf xx xx xf ，f(x)为奇函数，排除 A.又f(1)f(1)0， 0 22 ff ，排除 B.又 0 3 f ， 0f，排除 C.故只有 D 选项符合. 7.C解析
3、：二项式(2+x)5展开式的通项公式是 rrr r xT 5 51 2C.令3r， 33353 513 402xxT C， x3的系数的 3 倍为 120，即程序运行的结果 S 为 120.模拟程序的运行，可得 k6，S1， 不满足条件；执行循环体，S6，k5，不满足条件；执行循环体，S30，k4，不满足条 件；执行循环体，S120，k3，满足条件，退出循环，此时 S 的值为 120.则判断框中应填 入的关于 k 的判断条件是“k4？”. 8.B解析：an是等差数列，a21，a1+d1.Sn为等差数列an的前 n 项和，3S3 S2+S4， dadaada 2 34 4 2 23 33 111
4、1 ，整理得 3a1+2d0.联立 ， ， 023 1 1 1 da da 解得 . 3 2 1 d a， a52+4(3)10. 9.C 解析：这 50名学生中，恰有 3名女生的课余使用手机总时间在10，12，课余使用手机总时 间在10，12的学生共有 500.082=8(名)，从课余使用手机总时间在10，12的学生中随机抽 取 3人，基本事件总数 n= 3 8 C=56，至少抽到 2名女生包含的基本事件个数 m= 3 3 C+ 2 3 C 1 5 C=16， 则至少抽到 1 名女生的概率为 p= n m = 56 16 = 7 2 . 10.D解析：如图，设 OE 的中点为 G，|FM|
5、= m. 2 PFx 轴，MFOE， | | | | OA AF OE FM ，即 a ca OE m | ， ca ma OE |， )(2 | 2 1 | ca ma OEOG .又OGFM， | | | | BF OB FM OG ，即 ca a m ca ma )2( -， a3c，则 3 1 a c e. 11. D解析：过点 S 作 SE平面 ABC 于点 E，记球心为 O. 在正三棱锥 S-ABC 中，底面边长为 6，侧棱长为34，326 2 3 3 2 BE， 6 22 BESBSE .球心 O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径 长 R，OBR，OE6R.在 R
6、tBOE 中，OB2BE2+OE2，即 R212+(6R)2，解得 R4，该正三棱锥外接球的体积 V= 3 4 R3= 3 256 . 12.B解析：对任意的 xR，有 f(x+2)f(x)0，对任意的 xR，f(x+2)f(x)，f(x)是周期 为 2 的函数，f(1)f(12)f(1)，又当 x1，1)时，f(x)x，f(1)f(1)1， 函数 f(x)不是奇函数，故错误，正确.当 x1，1)时，f(x)x，f(0)0，又f(x) 是周期为 2 的函数，函数 f(x) 的全部零点为 x2k，kZ ，故正确.当 x1，1) 时，f(x)x，令 x xgxf 1 )()(，解得 x1(舍)或
7、x1；当 x1，3)时，)2()(xfxf x2，令 )()(xgxf ，则 x x 1 2 ，解得 x1+ 2或 x12(舍)；当 x3，1)时， 2)2()(xxfxf ，令 )()(xgxf ，则 x x 1 2 ，解得 x1 2或 x1+2(舍)， 共有 3个公共点，故错误.因此真命题的个数为 2个. 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 2 1 解析：函数 f(x)ax3+x+1 的导数为 )(xf 3ax2+1， ) 1 (f 3a+1，而 f(1)a+2， 切线方程为 ya2(3a+1)(x1).切线方程经过点(2，5)，5a2(3a+
8、1)(21)， 解得 a 2 1 . 14.10解析：根据题意画出可行域，如图所示： 由图可知目标函数经过点 A(4，1)时，z 取得最大值 10. 3 15. 27 40 解析：由 a1+3a2+ 1 3 n ann，得当 n1 时，a11；当 n2 时，a1+3a2+ 2 3 n an1 n1.又 a1+3a2+ 1 3 n ann，两式相减，得 1 3 1 n n a，当 n1 时也成立，数 列an是首项为 1，公比为 3 1 的等比数列， 27 40 3 1 1 3 1 1 4 4 S . 16.1 15 22 yx 解析：由双曲线的方程 C：1 5 2 22 b yx (b0)，知
9、a5，不妨设圆 A与双曲线 的一条渐近线 x b y 5 交于 M，N 两点，过点 A 作 AB 垂直于该渐进线于点 B，连 接 AN，如图. 点A(5，0)到渐近线bx5y0的距离 c b ab ab AB 5 22 .ANrb， BN c b c ba bABAN 2 2 22 222 . NBONONOM2 2 3 ， NBON4 ， NBOB5 ，OB5BN c b25 .在 RtABO 中，OA5，AB c b5 ，OB c b25 ，OB2+AB2OA2，即5 525 2 2 2 4 c b c b ，25b4+5b25c2，25b45c25b2 5(c2b2)5a225，b21，
10、双曲线 C的标准方程为1 15 22 yx . 三、解答题三、解答题（共 70 分） 17.解：（1）3sin Bcos B1， 1 6 sin2cos 2 1 sin 2 3 2 BBB ， 2 1 6 sin B.2 分 0B， 6 B 6 6 5 ，B 6 6 ，B 3 . 3 分 又A 12 5 ，且 A+B+C，C 4 . 4 分 由 B b C c sinsin ，得 3 sin 1 4 sin c ，解得 c 3 6 .6 分 （2）b2a2+c22accos B，a2c，B 3 ，b24c2+c24c2 2 1 ，解得 b3c. 8 分 b2+c23c2+c24c2=a2，AB
11、C 为直角三角形，A 2 ，c 3 3 ， 10 分 SABCbc 2 1 6 3 .12 分 4 18. （1）证明：如图 1，分别取 AC，BC 的中点 P，Q，连接 DP，EQ，PQ，PH. 1 分 ACD，EBC 均是等边三角形，P 是 AC 的中点，Q 是 BC 的中点， DPAC，EQBC.2 分 平面 ACD平面 ABC 且交于 AC，DP平面 ACD，DP平面 ABC， 平面 EBC平面 ABC 且交于 BC，EQ平面 EBC，EQ平面 ABC， DPEQ. 3 分 又EQ平面 EBC，DP平面 EBC，DP平面 EBC. PH 是ABC 的中位线，PHBC， 4 分 又BC平
12、面 EBC，PH平面 EBC，PH平面 EBC. 5 分 DP平面 EBC，PH平面 EBC，DPPHP，平面 EBC平面 DPH， DH平面 EBC. 6 分 图 1图 2 （2）解：以点 P 为原点、射线 PA为 x 轴正方向、射线 PB 为 y 轴正方向、射线 PD 为 z 轴正方 向，建立如图 2 所示的空间直角坐标系， 则 P(0，0，0)，A(1，0，0)，C(1，0，0)， 3 2 3 2 1 ，E ，7 分 002 ，AC， 3 2 3 2 3 ，AE . 8 分 EQ平面 ABC，平面 ABC 的法向量可取 n(0，0，1) . 9 分 设平面 EAC 的法向量 m(x，y，
13、z) ， 则 ， ， 03 2 3 2 3 02 zyx x ， ， zy x 2 0 可取 m(0，2，1) . 10 分 设二面角 E-AC-B 的平面角为，据判断其为锐角， cos nm nm 51 1 5 5 .12 分 19. 解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 q1p. 1 分 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 qk，呈阳性反应的概率为 1qk. 依题意可知 k X 1 ，1+ k 1 ， 所以 X 的分布列为： X k 1 1+ k 1 Pqk1qk 5 分 （2）方案二中，结合（1）知每个人的平均化验次数为 E(X) kk q k q k 1 1 1 1
14、 1 1 k q k ，6 分 所以当 k2 时，E(X)19 . 0 2 1 2 0.69， 5 此时 669人需要化验的总次数为 462次；7 分 当 k3 时，E(X)19 . 0 3 1 3 0.6043， 此时 669人需要化验的总次数为 404次；8 分 当 k4 时，E(X)19 . 0 4 1 4 0.5939， 此时 669人需要化验的总次数为 397次. 9 分 即 k2 时化验次数最多，k3 时次数居中，k4 时化验次数最少， 10 分 而采用方案一则需化验 669次.11分 故在这三种分组情况下，相比方案一，当k4时化验次数最多可以平均减少669397272（次）. 1
15、2分 20. 解：（1）由抛物线的定义，得 2 5 )2( 2 | p MF，p1. 该抛物线的方程为 y22x. 3 分 （2）由（1）可知，点 M 的坐标为(2，2). 4 分 当直线 l 斜率不存在时，设 A(a，y1),B(a，y2),且 y1+y2=0， 则2 2 4 2 4 2 2 2 2 2121 21 aa yy a y a y kk， a0，y1=y2=0，此时 A，B两点重合，舍去. 5 分 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+b. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立直线 l 与抛物线的方程，得 ， ， xy bkxy 2 2 整理，得 k2
16、x2+(2kb+2)x+b20，6 分 2 21 22 k kb xx ， 2 2 21 k b xx.7 分 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 21 x bkx x bkx x y x y kk ，8 分 整理，得(2k+2)x1x2+(2k+b+2)(x1+x2)+4b0， (2k+2) 2 2 k b +(2k+b+2) 2 22 k kb +4b0， b2b22k(b+1)0，即(b+1)(b22k)0，解得 b1 或 b2+2k.10 分 当 b1 时，直线 l 为 y=kx1，此时直线 l 恒过定点(0，1). 当b2+2k时，直线l为y=kx
17、+2k+2k(x+2)+2，此时直线l恒过定点(2，2)(与点M重合，舍去). 直线 l 恒过定点(0，1). 12 分 21.解：（1）由 f(x)ln xaex+1 知，0x. 1 分 当 a1 时，f(x)ln xex+1， )(xf x 1 ex，显然 )(xf 在(0，+)上单调递减. 2 分 又e 2 2 1 f0， e11f0， )(xf 在 1 2 1， 上存在零点x0，且是唯一零点，当 0 0xx，时，)(xf0；当， 0 xx时， )(xf 0，3分 x0是 f(x)ln xex+1 的极大值点，且是唯一极值点. 4 分 （2）令 f(x)ln xaex+10，则 x x
18、a e 1ln . 5 分 令 ya， x x xg e 1ln )( ，则 ya 和 x x xg e 1ln )( 的图象在(0，+)上有 2 个交点， .0 1ln 1 )(）（x x x xg x e 6 分 6 令1ln 1 )(x x xh，则 xx x h 11 )( 2 0， 7 分 所以 h(x)在(0，+)上单调递减，而 h(1)0，8 分 故当10，x时，h(x)0，即 )(xg 0，g(x) 单调递增； 当 ，1x时，h(x)0，即 )(xg 0，g(x) 单调递减，9 分 故 e 1 ) 1 ()( max gxg.10 分 又0 1 e g，当 x1 时，g(x)0
19、， 结合图象，可知若 ya和 x x xg e 1ln )( 的图象在(0，+)上有 2个交点，只需 e 1 0a， 所以 a 的取值范围为 e 1 0，.12 分 22.解：（1）由 6 sin 2，得 2cos 2 1 sin 2 3 ， 将 xycossin， 代入上式，得直线 l 的直角坐标方程为043yx. 3 分 由曲线 C 的参数方程 sin3 cos2 y x， (为参数)，得曲线 C 的普通方程为1 34 22 yx 5 分 （2）设点 M 的坐标为sin3cos2，则点 M 到直线 l：043yx的距离为 2 |4)sin(13| 2 |4sin3cos2| d，其中 3
20、2 tan. 7 分 当 dr 时，圆 M 与直线 l 相切， 故当 1)sin( 时，r取最小值，且 r 的最小值为 2 134 .10 分 23.解：（1）由 f(x)=|x+1|+|2x4|，得 ， ， ， 133 215 233 )( xx xx xx xf 2 分 由 f(x)5 可得 ， ， 533 2 x x 或 ， ， 55 21 x x 或 ， ， 533 1 x x 解得 3 8 2，x或20，x或 x.4 分 综上， 3 8 0，x . 5 分 （2） ， ， ， 133 215 233 )( xx xx xx xf 当 x2 时，f(x)取得最小值 3， 6 分 函数 yf(x)图象的最低点为(2，3) ，即 m2，n3. 7 分 ma+nb6，2a+3b6，1 23 ba ， 8 分 945 3 8 2 3 254 3 8 2 3 1 23 8383 b a a b b a a bba baba . 9 分 当且仅当 b a a b 3 8 2 3 ，即 a1，b 3 4 时取等号， ，9 83 ba .10 分
