1、椭圆中一类定点问题解法探究高三数学考点概述考点概述 定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置 本专题以椭圆中的斜率关系为条件，通过对几道具体问题的分析，对解决方法进行小结。【典例剖析典例剖析】【例例1】过椭圆C：的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.22+=14xy用变量表示直线MN的方程思路1：设直线AM或AN的斜率思路2：设直线MN的方程，M点与N点坐标，表示直线的垂直关系定点在y轴思路3：先特值化后证明分析：解法解法1：设直线AM的方程为y=kx+1
2、22221418014ykxkxkxxy联立方程222814,4141MMkkxykk 解得22284,44NNkkxykk同理可得，21=5MNkkk从而有22221418()41541kkkMNyxkkk直线的方程：21355kyxk化简得=所以，直线MN过定点 .30,5解法解法2：用解法一求出直线MN的方程，再用特殊值法求出定点.根据题意可以判断出定点在y轴上，把方程化成斜截式精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PP
3、T)(获奖课件推荐下载)解法解法3：由对称思想可知，直线MN过的定点位于y轴上，由特值化易得，直线MN过定点P ，再证明如下：30,5设直线 的方程：y=kx+1AMl22331155=,55MNMPNPMNyykkkkxkxk=MPNPkk有所以，直线MN过定点 .30,522221418014ykxkxkxxy联立方程222814,4141MMkkxykk 解得，22284,44NNkkxykk同理可得，利用斜率相等证明三点共线，也可以使用向量来证明.精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT202
4、0届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)解法解法4：1MNykxm m设直线的方程为：2214ykxmxy联立方程22=16(41)0km由题设可知1122,M x yN x y设2121222844+,4141kmmxxx xkk 则1212221212222()441y ykxmkxmk x xkm xxmmkkAMAN由于，222418440kxkmxm=0AM AN 有11221212121212=,1,111=1AM ANx yx yx xyyx xy yyy 则精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问
5、题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)22222244421414141=0mmkmAM ANkkk 235230,15mmm化简得从而（舍）或-3530,.5MNlykx所以，直线的方程为：过定点用向量的方法表示出垂直关系，也可以使用斜率进行表示，得到m和k的等量关系.121222241yyk xxmmk而精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮
6、复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)【变式变式】已知椭圆C：，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为 ，证明：直线l过定点.2214xy1分析：用变量表示直线AB的方程思路：设直线AB的方程，A点与B点坐标，表示直线的斜率关系，建立等式先特值后证明注意讨论AB的斜率精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)设直线 的方程：y=
7、kx+1定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置【例1】过椭圆C：的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）；其中 ，设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点.或者可以考虑让分子分母消去k的式子变成常数.本质上这三个问题都是描述【变式】已知圆 ：，点 ，点Q在圆C上运动，的垂直平分其中 ，设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点.（3）若等
8、式为含k分式，可以考虑使其分子为0，精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)l交曲线W于A,B两点，在y轴上是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过这个点？找到等量关系，化双参数为单参数，并按参数整理，寻找定点.精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)（1）求椭圆C的方程；直线MN过定点P ，再证明如下：精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT20
9、20届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)解：解：2244A,22tttB t则当lx轴时,设l：x=t0,2tt224242k+=122APBPttktt 有解得t=2（舍）.1lykxm m从而设直线：2214ykxmxy联立方程222418440kxkmxm2216 410km且1122,A x yB x y设2121222844+=,4141kmmxxx xkk有121212121111+APBPyykkxxkxmkxmxx有12122110kx xmxx12121221=1kx xmxxx x 精编优质课PPT2020届江苏省高
10、考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)22244821104141mkmkmkk12mk 解得1:2ml yxm 所以220 xmxy202201xxxyy 令2,1.故过定点找到等量关系，化双参数为单参数，并按参数整理，寻找定点.精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共1
11、9张PPT)(获奖课件推荐下载)1.常见定点问题的处理方法：常见定点问题的处理方法：常见变形方向常见变形方向：2.一些技巧：一些技巧：【解法提炼解法提炼】（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）；（2）利用条件找到k与过定点曲线F（x,y）=0的联系，得到有关k与x，y的等式；00,x y00,x y（3）定点是指存在一个特殊点 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，将等式变形，直到找到 .（2）若等式为整式，变形为“k（）+（）”的形式;（3）若等式为含k分式，可以考虑使其分子为0，或者可以考虑让分子分母消去k的式子变成常数.面对复杂问题时，可以从特殊情况入手，以确定可能的定点，再进行证明
12、.（1）先猜定点位置，再转化方程；精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)【变式变式】已知圆 ：，点 ，点Q在圆C上运动，的垂直平分线交 于点P.（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过 且斜率为k的动直线l交曲线W于A,B两点，在y轴上是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过这个点？1C2218xy21,0C2QC1QC10,3SS分析：（1）考查椭圆的定义（2）以AB为直径的圆过定点的问题，转化成D
13、ADB，设出定点坐标，利用垂直关系解出定点精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)解：解：222,1,11.2acbxy于是方程为 12111 =2 2PCPCPCPQCQ12PCC所以 点轨迹为以，为焦点的椭圆.112212,y,y3lykxA xB x设直线：2222121222141632103912416,3 219 21ykxkxkxxykxxx xkk 联立方程有12121212120*D
14、A DBx xybybx xy yb yyb （）0,DbABD设，因为以为直径的圆过点，=0DADBDA DB 所以有，1122,DAx ybDBx yb 1212222+33 21yyk xxk12121133y ykxkx精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)21212221139181=9 21k x xk xxkk22103250bbb 令，22222218116*03 219 219 2
15、1bkbkkk代入式可得：222226326503 21k bbbkk通分化简，得222613250kbbb即1,0,1.b 可得所以存在定点本质上这三个问题都是描述由椭圆上一个定点引出的两条相关直线与另一个过定点的直线之间的关系.精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)【典例剖析典例剖析】【例例2 2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，直线l与椭圆C交于C，D两点（均异于
16、椭圆的左、右顶点）.设直线AC，BD的斜率分别为 ，若 ，求证：直线l过定点.22143xy12,k k21=3kkl精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)解：解：22222228612,4343DDkkxykk 同理可得12ACykx直线：12222221112143431616120ykxxykxk xk联立方程21122116812,4343CCkkxykk解得1,0lP猜想：直线 过定点，下
17、证之：112211436=+14369=0kkkk12221222122212121243436886114343PCPDkkkkkkkkkk1222124121449kkkk1,0.lP即直线过定点所以P，C，D三点共线，精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)【课后作业课后作业】1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：的左右顶点为A，B，右焦点为F，设过点T（t,m）的直线TA,TB与此椭圆
18、分别交于点 ，其中 ，设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点.22+195xy1122,M x yN x y12m0,0,0yy精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：与直线l：x=m ，四个点 中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上.（1）求椭圆C的方程；（2）若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得 ，再过P作 ，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标.222210 xyababmR31,2 2,0,3,1,3,3，PMPNlMN精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)
