1、拉梅公式的推导和应用平面弹性变形问题1ppt课件1 引言l 拉梅公式在工程力学中具有重要地位，尤其是在解决弹性力学的平面问题时，不失为一种理想的数学模型。l 前一部分给出拉梅公式的数学推导，用到了极坐标下的四类基本方程，即平衡方程，几何方程，本构方程，和变形协调方程。根据平面轴对称问题简化四类基本方程。再联合平面轴对称问题下的应力函数，得到平面应力问题的解。最后，根据厚壁问题的边界条件得到拉梅公式。l 后一部分介绍了拉梅公式在工程上的具体应用实例，并给出具体的数值计算。2ppt课件2 拉梅公式的推导l 弹性理论是一类偏微分方程的边界问题1。所以边界的选择决定着工程问题求解的难以。一般要求坐标轴
2、与受力物体的边界相重合，因此对于圆形、环形、楔形或者带小孔的受力物体选用极坐标会更容易解决问题。3ppt课件2.1 四类基本方程：平衡方程：平面上的平衡方程的柱坐标不含z变量：10120rrrrrrfrrrfrrr4ppt课件几何方程：11rrrrrururrurrr5ppt课件-1()1()1rrrrrvEvEG应变 应力 本构方程：-2()12()1rrrrrGvvGvvG应力 应变 6ppt课件协调方程：2222222112110rrrrrrrrrrrr 7ppt课件2.2 极坐标应力公式可以看到应力张量第一不变量与坐标选择无关。222222111()rrrxyrrrrr r 其中 为同
3、时满足两个平衡方程的艾里应力函数。8ppt课件2.3 平面轴对称问题l 平面轴对称问题中，应力不仅与z无关，而且与 无关，因此，由公式可得柱坐标下的正应力为：221;0rrrrr正应力：切应力：9ppt课件l 对于环向闭合的圆域或、环域，或者平板上的圆孔，方向上位移的单值条件要求B值为零。即B=0,22=220rrACrACr 代入（3）式得到：10ppt课件l 求解平面轴对称情况下的协调方程可得：43222432232222211+=0ln+ln=(12ln)2(32ln)20rrrrrrrrrAr BrrCrDABrCrABrCr 其通解为：代入（2）得到：11ppt课件3 拉梅公式的应用
4、例1 均压圆环或圆筒 对于厚壁圆筒。内表面r=a处受压力pi，在外表面r=b处 受压力p0，边界条件为：把式代入以上边界条件可解的：0:;0:;0rirrrraprbp 22220022221();2()iia bAppCa pb pbaba12ppt课件将A和C代回中可得到拉梅公式，它适用于任意壁厚问题。2222022222222220222222=(1)(1)(1)(1)0riirabbappbarbarabbappbarbar拉梅公式：13ppt课件例2 带小孔的等向拉伸平板，此种情况可以简化为pi=0，p0=-q，壁厚很大（b远大于a）的圆环。壁厚t 远小于内径a，即t/a远小于1,此时拉梅公式可简化为薄壁筒公式。2222222/11,=22=;0rbaaat arbaatttpat由，于是薄壁筒的拉梅公式：14ppt课件4 小结 拉梅公式有很广的用途，尤其是解决受均匀载荷的平面问题。但是拉梅公式也有其局限性。拉梅公式不适用的情况：筒所承受的内、外压强若为轴向坐标z的二次函数或更高次函数时，不适于用拉梅公式求解。除上述情况外,经理论分析和计算,筒的结构尺寸或所承受的载荷有突变之处及其附近区域内具有外伸端的过盈配合结构的配合端面附近区域皆不适于用拉梅问题求解。15ppt课件16ppt课件
