1、2.1.1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 问题问题1、根据国务院发展研究中心根据国务院发展研究中心2000年发年发表的表的未来未来20年我国发展前景分析年我国发展前景分析判断，判断，未来未来20年，我国年，我国GDP（国内生产总值）年平（国内生产总值）年平均增长率可望达到均增长率可望达到7.3%，那么，在，那么，在2001 2020年，各年的年，各年的GDP可望为可望为2000年的多少倍？年的多少倍？树龄达树龄达35003500多年多年,树高树高26.326.3米米,周粗周粗15.715.7米米,号称号称“天下第一银杏树天下第一银杏树”.浮来山上浮来山上“千年古刹定林寺千年古刹定林寺”
2、曾是南北曾是南北朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距今已距今已有有15001500多年的历史多年的历史,院内有一棵银杏树院内有一棵银杏树,树龄树龄达达35003500多年多年,号称号称“天下第一银杏树天下第一银杏树”银杏银杏,叶子夏绿叶子夏绿秋黄秋黄,是全球中最古是全球中最古老的树种老的树种.在在200200多多万年前万年前,第四纪冰川第四纪冰川出现出现,大部分地区的大部分地区的银杏毁于一旦银杏毁于一旦,残留残留的遗体成为了印在的遗体成为了印在石头里的植物化石石头里的植物化石.在这场大灾难中在这场大灾难中,只只有中国保存了一部有中国保存了一部分活的银杏树分活的银
3、杏树,绵延绵延至今至今,成了研究古代成了研究古代银杏的活教材银杏的活教材.所以所以,人们把它称为人们把它称为“世世界第一活化石界第一活化石”.考古学家根据什么推断出银杏于考古学家根据什么推断出银杏于200200多万多万年前就存在呢年前就存在呢?问题问题:当生物体死亡后当生物体死亡后,它机体内原有的碳它机体内原有的碳14会会按确定的规律衰减按确定的规律衰减,大约每经过大约每经过5730年衰减为年衰减为原来的一半原来的一半,这个时间称为这个时间称为“半衰期半衰期”.根据此根据此规律规律,人们获得了生物体内含量人们获得了生物体内含量P与死亡年数与死亡年数t之之间的关系间的关系,这个关系式应该怎样表示
4、呢这个关系式应该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题我们可以先来考虑这样的问题:(1)当 生 物 体 死 亡 了当 生 物 体 死 亡 了 5 7 3 0,5 7 3 0 2,57303,年后年后,它体内碳它体内碳14的含量的含量P分别为分别为原来的多少原来的多少?1,221(),231(),.2(2)当生物体死亡了当生物体死亡了6000年年,10000年年,100000年年后后,它体内碳它体内碳14的含量的含量P分别为原来的多少分别为原来的多少?600057301(),210000057301(),.21000057301(),2(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么由以上的实例来推断关系
5、式应该是什么?57301().2tP 考古学家根据上式可以知道考古学家根据上式可以知道,生物死亡生物死亡t年后年后,体内碳体内碳14的含量的含量P的值的值.(4)那么这些数那么这些数 的意义究的意义究竟是什么呢竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么它和我们初中所学的指数有什么区别区别?60001000030000573057305730111(),(),()222这里的指数是分数的形式这里的指数是分数的形式.指数可以取分数吗指数可以取分数吗?除了分数还可以取除了分数还可以取其它的数吗其它的数吗?我们对于数的认识规律是怎样我们对于数的认识规律是怎样的的?自然数自然数 整数整数 分数分数(有理数
6、有理数)实数实数.关系式关系式 就会成为我们后面将要相就会成为我们后面将要相继继 为了能更好地研究指数函数为了能更好地研究指数函数,我们有必我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程要认识一下指数概念的扩充和完善过程,这这就是下面三节课将要研究的内容就是下面三节课将要研究的内容:57301()2tP (5)指数能否取分数指数能否取分数(有理数有理数)、无理数呢、无理数呢?如如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后,从今天开始从今天开始,我们学习指数与指数幂的运我们学习指数与指数幂的运算算.研究的一类基本初等函数研究的一类基本初等函数“指数函数指数函数”的的
7、一个具体模型一个具体模型.?42乘方运算乘方运算16?2开方运算开方运算4和和-4叫做叫做16的平方根的平方根8232叫做叫做8的立方根的立方根一、根式一、根式81?432?5要求：用语言描述式子的含义要求：用语言描述式子的含义3称为称为81的的四次方根四次方根2称为称为-32的的五次方根五次方根定义定义1:如果如果xn=a(n1,且且n N*),则称则称x是是a的的n次方根次方根.定义定义2：式子：式子 叫做叫做根式根式，n叫做叫做根指数根指数，叫做叫做被开方数被开方数naa填空填空:(1)25的平方根等于的平方根等于_(2)27的立方根等于的立方根等于_(3)-32的五次方根等于的五次方根
8、等于_(4)16的四次方根等于的四次方根等于_(5)a6的三次方根等于的三次方根等于_(6)0的七次方根等于的七次方根等于_5252164236aa 32732325007273833254292164322232观察思考：观察思考：你能得到什么结论？你能得到什么结论？27338323252 结论：结论：当当 为为奇数奇数时，正数的时，正数的 次方根是一个正次方根是一个正数，负数的数，负数的 次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，的的 次方根次方根只有一个，记为只有一个，记为 nnnannax 3273 3825322115x511x4229231642n 结论：结论：当当 为为偶数
9、偶数时，正数的时，正数的 n次方根有两个，次方根有两个，它们互为相反数正数它们互为相反数正数a的正的正n次方根用符号次方根用符号 表表示；负的示；负的 次方根用符号次方根用符号 表示，它们可以合表示，它们可以合并写成并写成 的形式的形式nnananna)0(aan42934162126x612x负数没有偶次方根负数没有偶次方根（1）当）当n是奇数时，正数的是奇数时，正数的n次方根是一个正数，次方根是一个正数，负数的负数的n次方根是一个负数次方根是一个负数.（2）当）当n是偶数时，正数的是偶数时，正数的n次方根有两个，它们次方根有两个，它们 互为相反数互为相反数.（3）负数没有偶次方根负数没有偶
10、次方根,0的任何次方根都是的任何次方根都是0.记作记作.00=n性质：性质：(4)aann)(543101232_81_2_3_233281一定成立吗？一定成立吗？aann探究探究1、当、当 n 是是奇数奇数时，时，2 2、当、当 n n 是是偶数偶数时，时，aann)0()0(|aaaaaann例例1、求下列各式的值：、求下列各式的值：323424(1)(8)(2)(10)(3)(3)(4)()()a-bab.练习：判断下列说法是否正确：练习：判断下列说法是否正确：（1）2是是16的四次方根；的四次方根；（2）正数的）正数的n次方根有两个；次方根有两个；（3）a 的的n次方根是；次方根是；（
11、4）na0).a(aann解：解：（1）不正确；）不正确；（2）不正确；）不正确；（3）不正确；）不正确；（4）正确。）正确。二、分数指数幂二、分数指数幂 v1复习初中时的整数指数幂，运算性质复习初中时的整数指数幂，运算性质 00,1(0),0naa a aa aa 无意义1(0)nnaaa;()mnm nmnmnaaaaa(),()nmmnnnnaaaba bv2观察以下式子，并总结出规律：观察以下式子，并总结出规律：a0105102 5255()aaaa884242()aaaa12123 43444()aaaa5105102 525()aaaa小结：小结：当根式的被开方数的指数能被根指当根
12、式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）形式，（分数指数幂形式）v思考：思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式式是否也可以写成分数指数幂的形式？如：？如：2323(0)aaa12(0)bbb5544(0)ccc*(0,1)mnmnaaanNn即：v为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*(0,)mnmnaaam nN正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相
13、同*1(0,)mnmnaam nNa即：规定：规定：0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0，0的负分数的负分数指数幂无意义指数幂无意义 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(0,)rsr saaaar sQ()(0,)rSrsaaar sQ()(0,0,)rrra ba b abrQ例例2、求值、求值例例3、用分数指数幂的形式表示下列各式、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中其中a0):435213
14、28116 ;21 ;25 ;8aaaaaa3223 )3()2()1(3例例4、计算下列各式（式中字母都是正数）、计算下列各式（式中字母都是正数）211511336622(1)(2)(6)(3)a ba ba b 31884(2)()m n34232(1)(25-125)25(2)(0)aaaa例例5、计算下列各式、计算下列各式三、无理数指数幂三、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂一般地，无理数指数幂 (0,是是无理数无理数)是一个确定的实数是一个确定的实数.有理数指数幂的有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂运算性质同样适用于无理数指数幂.a思考：请说明无理数指数幂思考：请说明无理数
15、指数幂 的含义。的含义。32小结小结1、根式和分数指数幂的意义、根式和分数指数幂的意义2、根式与分数指数幂之间的相互转化根式与分数指数幂之间的相互转化 3 3、有理指数幂的含义及其运算性质、有理指数幂的含义及其运算性质 课堂练习：课堂练习：课本课本P54练习练习1、2、3。1、已知、已知 ，求，求 的值。的值。ax136322xaxa2、化简、化简 的结果是（的结果是（）46 3943 69)()(aa24816 D.C.B.Aaa aaC3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于等于()A.2-2k B.2-(2k-1)C.-2-(2k+1)D.24、若、若10 x=2，10y=3，则，则 。2310yxC3625、，下列各式总能成立的是（，下列各式总能成立的是（）Rba,babababababababa10104444228822666)(D.C.)(B.).(ABv6.x取何值时，下列式子有意义。2132314)4(,)1)(3(,)1)(2(,1)1(xxxx练习练习计算计算v 若若v 已知已知v 则则b _ a(填大于、小于或等于填大于、小于或等于)v 已知已知 ，求，求 的值的值2211,aaaa求 的 取 值 范 围22()()xabxba343343(8)(32)(23)32xab23642xa xa
