1、控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题精解例题精解例题精解例题精解例例2.1 弹簧阻尼器器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 统的运动方程。解解：（1）设输入为 ，输出为 ，弹簧与阻尼器并联平行移动。（2）列写原始方程式。由于无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足F=0，则对于A点有 yry0fF021KKfFFF其中，F阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。（3）写中间变量关系式图2.1 机械位移系统K1K2 Ayry0 （4）消中间变量得020110yKyKyKdtdyfdtdyfrr（5）化标准型rrKydtdyTydtdyT00式中，21KKfT为时间常数
2、，单位（秒）；211KKKK为传递系数，无量纲。0201021)()(yKFyyKFdtyydfFKrKrf例例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。（1）写出运动方程式；（2）求取线性化方程。解解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角，摆球质量为m。（2）由牛顿定律写原始方程hmgdtdlmsin)(22式中，l 为摆长；l 运动弧长；h为空气阻力。（3）写中间变量关系式)(dtdlh式中，为空气阻力系数；ld d t为运动线速度。mgldtd22dtdh图2.2单摆运动l（4）消中间变量得运动方程式0sin22mgdtdldtdml此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化。在=0附近
3、，非线性函数sin ，故代入上式可得线性化方程为022mgdtdldtdml例例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。fJM图2.3 机械旋转系统解：解：（1）设输入量为作用力矩M，输出为旋转角速度。（2）列写运动方程式式中，f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为fMfdtdJfMfdtdJ此为一阶线性微分方程，若输出变量改为，则由于=dd t，代入方程得二阶线性微分方程式fMdtdfdtdJ22 例例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题
4、，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角。（2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为 ，于是 cossinlylxxAA),(AAyx画出系统隔离体受力图如图2.5所示。ou图2.5 隔离体受力图yMxllAmgVVHHl coso图2.4 倒立摆系统yuxmgllPMAcossin22HlVldtdJ式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为HdtxdmA22Hlxdtdm)sin(22摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为mgVdtydmA22即（2
5、.1）（2.2）即摆杆围绕中心A点转动方程为mgVldtdm)cos(22小车沿x轴方向运动方程式为HudtxdM22（2.3）（2.4）方程（2.1）（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。（3）当很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sin ，同理可得到c o s 1。则方程式（2.1）（2.4）可用线性化方程表示为HudtxdMmgVHdtdmldtxdmHlVldtdJ222222220用222dtds 的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、x得ugmMsJmlmMMl)()(2将微分算子还原后
6、得udtdgmMdtdlJmlMJMl)()(22此为二阶线性化偏量微分方程。例例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc2（s）/Ur（s）。u ruc2R1R2i1i2C1C2图2.6 RC无源网络解：解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即)()()(sZsIsU如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。（1）用复阻抗写电路方程式：sCsIsIsURsUsUsICCr121111)()()(1)()()(11sCsIsURsUsUsICCC222
7、21)()(1)()()(221（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7 （a）、（b）。（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。（4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。rKPP独立回路有三个：sCRRsCLsCRsCRLsCRsCRL122132222211111111111111回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则2221121121sCRCRLLL由上可写出特征式为222111222112132111111)(1sCRCRsCRsCRsCRLLLLL前向通路只有一条2212122111
8、11111sCCRRsCRsCRP由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为11代入梅逊公式得传递函数1)(111111121221122121222111222112221111sCRCRCRsCCRRsCRCRsCRsCRsCRsCRCRPP图2.7（a）+)(sUr)(1sUC)(1sI)(1sI)(1sUC)(1sUC)(2sI)(2sI)(2sI)(2sUC)(2sUC11RsC1121RsC21+11RsC1121RsC21sCR21)(sUr)(1sUC)(2sUC图2.7（c）+11RsC1121RsC21)(sUr)(1sI)(1sUC)(2s
9、I)(2sUC图2.7（b）+sCR111sCR221sCR21图2.7（d）)(sUr)(2sUC1)(121221122211sCRCRCRsCRCR图2.7（e）)(sUr)(2sUC 例例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。解：解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，A点为虚地，即UA 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2则有)()()()()()(21sZsIsUsZsIsUfcii故传递函数为)()()()()(sZsZsUisUcs
10、Gif对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图2.9所示PI调节器，有CsRsZRsZfi1)()(21故CsRCsRRCsRsZsZsGif121211)()()(+Z fZ ii1i2u iu c图2.8 有源网络u c+u iR1R2C图2.9 PI调节器 例例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知（0）=0，（0）=3。.06322xdtdxdtxd解：解：对方程两端取拉氏变换为0)(6)0(3)(3)0()0()(2sXxssXxsxsXs代入初始条件得到3)()63(2sXss解出X（s）为222)215()5.1(215532633)(ssss
11、X反变换得时域解为)215sin(532)(5.1tetxt 例例2.8 已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。解：解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。如图2.11（a）所示。（2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。（3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。G1G2H+C（s）R（s）图2.10 系统结构图G1H+G2G1R（s）C（s）(a)G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）(b)G1+G21+G1HR（s）C（s）(c)图2.11 系统结构图的简化 例例2.9 已知系统结构图如图2.12所示
12、，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。G1G2+R（s）C（s）图2.12 系统结构图 解：解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。+G1G2（a）+G2G1+1R（s）R（s）C（s）C（s）G1G2+G2+1R（s）C（s）（b）（c）图2.13 系统结构图化简 例例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。iy0F1FF212k1k2（a）R1R2ii1i2eie0（
13、b）C1C2图2.14 系统结构图（a）机械系统（b）电气系统 解：解：（1）列写图2.14（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则：并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：ykFyxfFxxkxxfFFFii202010121)()()(取拉氏变换，并整理成因果关系有：)()(1)()(1)()()()()(202011sYsFsfsXsFksYsXsXksfsFi画结构图如图2.15。+s11 s2k11k2i00FY图2.15 机械系统结构图求传递函数为：skfskfskfskfskfsfksfksfk
14、sfksXsXi1222112211221122110)1)(1()1)(1()11)(1)11)()()(2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量，电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：)()()()(1)()()()()(1)()()(22202010121ssECsIsEsERsIsEsEsCsEsERsIsIsICCii整理成因果关系：)()()(1)()()()1()(22202011sEIRsEsIsCsEs
15、EsEsCRsICCi画结构图如图2.16所示。+C s1R21R2C s21E iE0IE0EC2图2.16 电气系统结构图求传递函数为sCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsEsEi2122112211221122110)1)(1()1)(1()1)(1(1)1)(1()()(对上述两个系统的传递函数，结构图进行比较后可以看出，两个系统是相似的。机电系统之间相似量的对应关系见下表。机械系统电气系统iei0e0yeC2FiF 1i1F 2i2k11/R11/k2R 212C1C2 例例2.11 RC网络如图2.17所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。（1）画出网络结
16、构图；（2）求传递函数U2（s）/U1（s）。解：解：（1）用复阻抗写出原始方程组。21211221222221111111IsCRRIsCIIIRUsCIIIRU）（）（）（输入回路输出回路中间回路（2）整理成因果关系式。sCIIIRUsCRsCRIIsCIIURI2212221211122211111111）（）（由输入回路得由中间回路得由输出回路得即可画出结构图如图2.18所示。u1u2i2i1C1C2R1R2图2.17 RC网络+R 2u1u2I1I2C s1R C s+121R 11C s21图2.18 网络结构图（3）用梅逊公式求出1111111111111221221211212
17、2121212121212121212133221112sCRCRCRsCCRRsCRRsCCRRsCsCRsCsCRRsCRsCsCsCRsCsCRPPPUU）（）（例例2.12 已知系统的信号流图如图2.19所示，试求传递函数C（s）/R（s）。1RCKG1G2G31111-1-1-1-1图2.19 信号流图 解：解：单独回路4个，即，21321GGGGGLa两个互不接触的回路有4组，即，321323121GGGGGGGGGLLcb3个互不接触的回路有1组，即321GGGLLLfed于是，得特征式为3213231213212211GGGGGGGGGGGGLLLLLLfedcba从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其各前向通路总增益用PK 表示，则PK 以及余因子式分别为KGGPKGGGP322321112111GKGGGPKGGP321431311423G因此，传递函数为32132312132123113244332211221)1()1()()(GGGGGGGGGGGGGKGGGKGGPPPPsRsC
