1、第四节两类问题两类问题:在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求求 和和展展 开开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在先回忆一下n 阶泰勒公式阶泰勒公式，若函数0)(xxf在具有 n+1 阶导数,此式称为
2、 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 x0=0时麦克劳林公式麦克劳林公式的余项为的余项为)10(!)1()()(1)1(nnnxnxfxR的某邻域内)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数和函数是否为 f(x)?待解决的问题待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,0)(xxf在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意这里并没有等式注意
3、这里并没有等式)()()(000 xxxfxfxf只有解决了以下问题，才能有以上等式。只有解决了以下问题，才能有以上等式。定理定理1.各阶导数,)(0 x则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.若 f(x)能展成 x 的
4、幂级数幂级数,则这种展开式是唯一唯一的,且与它的麦克劳林级数麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立显然结论成立.)0(0fa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收
5、敛半径 R;第三步第三步 判别在收敛区间(R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束（较难）（较难）例例1.将函数xexf)(展开成 x 的幂级数.解解:,)()(xnexf),1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足 )(xRne!)1(n1nxxe!)1(1nxn故nRlim!1n!)1(1nn0(在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束!)1(1nxn是收敛级数的一般项所以应趋于0),(x
6、,!1!31!21132nxxnxxxe)10()!1(!1!31!211132nxexnxxxeenxnxx公式）比较：的泰勒展式（麦克劳林注意与例例2.将xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解:)()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为,R对任何有限数 x,其余项满足 )(xRn)1(sin(2 n!)1(n1nx!)1(1nxn12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnx),(xxsinn0kn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束)10(!)12()2)12
7、(sin()1(sinsin1212!)12(115!513!31nnnnxnnxxxxxxx的麦克劳林公式为而nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似类似可推出:),(x),(x12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx(P220 例3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.将函数mxxf)1()(展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级
8、数在开区间(1,1)内收敛收敛.因此对任意常数 m,机动 目录 上页 下页 返回 结束 11,)(xxF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1(xFx),(xmFmxxF)1()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推导推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项为避免研究余项,设此级数的和函数为设此级数的和函数为2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1()11(x称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在 x1 处的收敛性收
9、敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学代数学中的二项式定理二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 对应1,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx)1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束)11(1112xxxxxn以上的结果都应熟记作为公式用以上的结果都应熟记作为公式用2.间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数
10、展开式及幂级数的运算性质,例例4.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为nnxxx)1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解:xxf11)()11()1(0 xxnnn从 0 到 x 积分,得xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为.11x利用此题可得利用此题可得11)1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对
11、 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.将xsin展成4x解解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数.2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.将3412 xx展成 x1 的幂级数.解解:)3)(1(13412xxxx)3(21)1(21xx 14121x 4121x222)1(xnnnx2)1()1(81141x224)1(xnnnx4)1()1(nnnnn
12、x)1(2121)1(3220)31(x)21(x 18141x1机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxx1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当 m
13、=1 时x11,)1(132nnxxxx),(x),(x)1,1(x)1,1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.函数0)(xxf在处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示提示:后者必需证明,0)(limxRnn前者无此要求.2.如何求xy2sin的幂级数?提示提示:xy2cos21210!)2(1)1(2121nnn,!)2(4)1(2121nnnnxn),(xnx2)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P223 2 (2),(3),(5),(6);3(2);4 ;6 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.将下列函数展开成 x
14、的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,)1(02nnnx)1,1(x)0()(fxf002d)1(nxnnxx01212)1(nnnxnx1 时,此级数条件收敛,4)0(f,12)1(4)(012nnnxnxf1,1x因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束)1(lnxx1,1(x221x331x441x11)1(nnxn2.将在x=0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf)1ln(x)32)(1(322xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(2311机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 附注附注)(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1(xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(nxnnmm!)()1(nxnnmm!)1()1()1(
