1、空间向量与立体几何全章复习与巩固【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量
2、与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0规定：0与任意向量平行单位向量：长度为1的空间向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量相反向量：方向相反但模相等的向量共线向量（平行向量）：如果表示空间向量
3、的有向线段所在的直线互相平行或重合平行于记作，此时=0或=p共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作与同向（4）当=0或p时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：加法交换率：加法结合率：2三角形法则：向量
4、的减法三角形法则：向量的乘法是一个向量，满足：0时，与同向；0时，与异向；=0时， =0向量的数量积1是一个数：；2，或=0要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量、（），/的充要条件是存在唯一的实数，使共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
5、（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，则； 的中点坐标为空间向量运算的的坐标运算设，则 ； ； ； ； ，； 空间向量平行和垂直的条件若，则，；要点诠释：（1）空间任一点的坐标的确定： 过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则如图：（）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是（）与任意空间向量平行或垂直要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明
6、方法线线平行（/）/（分别为直线的方向向量）线线垂直（）（分别为直线的方向向量）线面平行（/），即（是直线的方向向量，是平面的法向量）线面垂直（）/（是直线的方向向量，是平面的法向量）面面平行（/）（分别是平面，的法向量）面面垂直（），即（，分别是平面，的法向量）要点诠释：（）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量 （）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量 一个平面的法向量不是唯一的要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（，是直线上不同的两点，是直线上不同的两点）直线和平面的夹角（其
7、中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）要点诠释：当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。要点七：用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离（为平面的法向量）与平面平行的直线到平面的距离（是平面的公共法向量）两平行平面间的距离（是平面，的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等
8、积转化法（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法要点八：立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）3把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形问题）用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤1建立适当的空间直角坐标系；
9、2写出相关点的坐标及向量的坐标；3进行相关的计算；4写出几何意义下的结论【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算例1在四面体中，为的中点，为的中点，则_(用，表示)【思路点拨】将，看作已知条件，不断的应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则、向量的数乘法则，层层推进，最终得到的向量表示【答案】【解析】 【总结升华】1. 类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化2. 由于四点共线，故最后的结果可以用共面向量定理检查，即若=，则.举一反三：【变式1】如图，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（
10、3）【答案】（1）；（2）；（3）【变式2】如图，在平行六面体中，为与的交点 若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A B C D 【答案】A【解析】法一：法二：；故选A类型二：空间向量的直角坐标运算例2. 设(1，5，-1)，(-2，3，5) (1)当()()时，求的值；(2)当(-3)(+)时，求的值【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算【解析】(1) (1，5，-1)，(-2，3，5)， (1，5，-1)-3(-2，3，5)(1，5，-1)-(-6，9，15)(7，-4，-16)(1，5，-1)+(-2，3，5)(，)+(-2，3，5)(，) ()， ，解得(2
11、)由()()(7，-4，-16)(，)0，解得举一反三：【变式1】已知，设在线段上的一点M满足，则向量的坐标为_【答案】【变式2】（2015秋 齐齐哈尔校级期中）已知，则向量与夹角的余弦值为_.【答案】【变式3】空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC60，则等于( )A B C D0【答案】D 设，则，所以所以OABC所以类型三：共线和共面向量定理的应用例3已知平行四边形，从平面外一点引向量， 求证：（1）四点共面；（2）平面/平面【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明【解析】（1），由共线向量定理可知，点共面（2），/又
12、平面，平面，平面同理平面，平面/平面【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解 若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系即可在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试举一反三：【变式1】与向量平行的单位向量的坐标为（ ）A. (1,1,0) B. (0,1,0) C. (1,1,1) D. 或【答案】D【变式2】已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么 【答案】类型四：空间向量在立体几何中的
13、应用例4如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E，F分别为CD、PB的中点 (1)求证：EF平面PAB；(2)设ABBC，求AC与平面AEF所成角的正弦值【思路点拨】证明线面垂直，求线面所成角的问题，题设中的垂直关系易考虑建立空间直角坐标系，（1）转化为求；（2）先求平面AEF的法向量，再利用公式求解.【解析】(1)建立空间直角坐标系(如图)设ADPD1，AB2a(a0)，则E(a，0，0)，C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)， ， ， ，即EFAB同理EFPB，又ABPBB， EF平面PAB(2)由ABBC，得
14、，即，得，有，设平面AEF的法向量为(x，y，1)，由 得 解得于是设AC与平面AEF所成的角为，与的夹角为，则【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题举一反三：【变式1】(2015 上海)如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 ，因为 ，所以 ，因此直线 与直线 共面，即 ， 四点共面设平面 的法向量为
15、，则 ，又 ，故 解得取 ，得平面 的一个法向量 又 ，故因此直线 与平面 所成角的正弦值为 【变式2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点(1)求证：PBDM；(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值【答案】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，M，D(0，2，0)(1)因为，所以PBDM(2)因为，所以PBAD又因为PBDM，所以PB平面ADMN因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角因为，
16、所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为例5如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EADAAB2CB，EAAB，M是EC的中点(1)求证：DMEB；(2)求二面角M-BD-A的余弦值【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，并设EADAAB2CB2，则(1) ，所以，从而得DMEB(2)设是平面BDM的法向量，则由，及，得 可以取显然，(1，0，0)为平面ABD的一个法向量设二面角M-BD-A的平面角为，则此二面角的余弦值【总结升华】本题主要考查空间想象能力及坐标运算能力，若用立体几何逻辑推理的方法也可以证明计算，但适当建系后解题较直观.举一反三：【变式1】过正方形ABCD的顶点
17、A作线段PA平面ABCD，如果PAAB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为( ) A30 B45 C60 D90【答案】B 设PAABa，则PD，设二面角为，则故选B【变式2】如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PDa，PAPC，求平面APB与平面PBD夹角的大小【答案】在PAD中，PDADa，PA， PDAD，同理在PCD中PDCD如图分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系则A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a) (-a，0，a)，(0，a，0)，(a，a，0)，(0，0，a)设平面PAB的法向量为(x，y，z)由 得令z1，得(1，0，1)同理设平面PDB的法向量为由 得(-1，1，0)， 平面PAB与平面PDB的夹角为60【变式3】如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且 设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长【答案】【解析】以为原点，分别为轴、轴建立空间直角坐标系，由平面,得 即 解得故，所以线段的长为19 / 19
