1、等距变换的等距变换的合成运算及性质合成运算及性质知识填充在之前的学习中，我们知道，等距变换是一类具有同样性质的变换的总称。因此，对一个图案进行等距变换，可能时对它进行平移、旋转，也可能是轴对称。观察下面的图案，我们可以用什么方法画出中间的花朵图形呢？知识填充方法一：我们先画出一朵花瓣，然后对其进行旋转变换，旋转某一角度，比如300，然后再进行旋转变换，一直旋转3600后跟最初的图案相交。知识填充方法二：我们可以首先利用旋转变换得到上半圆内的花瓣，然后进行轴对称变换，得到下半圆内的花瓣，如下图示。知识填充还可以先画出一片花瓣，然后通过轴对称变换，再对轴对称变换后的整体进行旋转变换方法还有很多，同
2、样的，对其他图形我们依然可以进行这样的几个等距变换“加”起来的变换。这就是我们今天要学的内容等距变换的合成与其性质。要点总结本节课有三个学习要点：（1）知道什么是等距变换的合成（2）了解等距变换群的概念（3）掌握等距变换合成的性质要点总结我们把这种等距变换的合成形象的用乘法的方式来表现，例如，先对点P进行变换再进行变换，那么我们表示为，且有（P）=（P）。要点总结在知道了什么是等距变换的合成后，我们来讨论它的性质。如果现在我们给出轴对称变换，那么同学们可以很快的说出这个变换一定是等距变换，但是反过来，如果我们随便给出一个等距变换，同学们可以很快的答出这是哪种等距变换吗？这就是我们讨论性质的主要
3、思路。要点总结其实等距变换合成的性质很简单，我们只需要找出组成等距变换的三种基本变换之间的差异，不就能很轻松的判断出一个等距变换是哪种等距变换了吗？我们将差异总结如下：非恒等等距变换类型非恒等等距变换类型主要差异主要差异旋转变换有唯一不动点轴反射变换至少有两个不动点平移变换无不动点要点总结了解了什么是等距变换的合成以及它的性质后我们再来思考一个问题。等距变换的合成其实可以看做是三个基本等距变换的排列组合，那么这种排列组合有多少个呢？要点总结答案是非常非常多。因此，为了方便以后讨论，我们把平面上所有等距变换看成一个集合，设为E（2），并把它的合成运算称为等距变换群。“群”是一个非常形象的概念，我
4、们会在以后的学习中详细讲解。典型剖析例1：我们知道从本质上讲，等距变换可以归结为轴反射、旋转和平移三种。下面试着证明：平面内所有等距变换都能由轴对称变换合成。典型剖析证明：等距变换由三种基本变换组成，然后在这三种基本变换的基础上组合。所以，只要将三种基本变换用轴对称变换表示出来，就能证明了。一、轴对称变换。显然可以用轴对称变换表示。二、平移变换。可用两条平行的对称轴，各用一次轴对称变换得到。典型剖析三、旋转变换。如果旋转角，则只需可用两条夹角为/2的对称轴，各做一次轴对称变换，即可得到。综上所述，原命题得证。练习测评练习：刚才我们证明了平面内所有等距变换都能由轴对称变换合成，那平面内所有的等距变换是否都能由旋转变换合成呢？如果是请证明。如果不是，请说明理由。练习测评证明：是，证明如下：等距变换由三种基本变换组成，然后在这三种基本变换的基础上组合。所以，只要将三种基本变换用旋转变换表示出来，即可证明原命题。一、轴对称变换。建立平面直角坐标系，任取图形某固定边，设与坐标系横轴夹角为，则旋转-2度就是轴对称变换。练习测评二、平移变换。先用旋转变换表示出轴对称变换，然后用两条平行的对称轴，各用一次轴对称变换得到。三、旋转变换。显然旋转变换可以由旋转变换表示。因此原命题得证。谢谢观赏谢谢观赏
