1、第三节函数的奇偶性与周期性第三节函数的奇偶性与周期性2奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)图象特征：图象特征：奇函数的图象关于奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于对称，偶函数的图象关于_对称对称原点原点y轴轴奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x都有都有_，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数都有都有_，那么函数那么函数f(x)是偶函数是偶函数.1奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义f(x)f(x)f(x)f(x)(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个对称区间上的单调性：奇函数在关于原点
2、对称的两个区间上有区间上有_的单调性；偶函数在关于原点对称的两个的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有区间上有_的单调性的单调性(3)奇函数图象与原点的关系：奇函数图象与原点的关系：如果奇函数如果奇函数f(x)在原点有意义，则在原点有意义，则f(0)_.相同相同相反相反03周期性周期性3周期性周期性若若f(x)对于定义域中任意对于定义域中任意x均有均有_(T为不为不等于等于0的常数的常数)，则，则f(x)为周期函数为周期函数若若T是函数是函数yf(x)的一个周期，则的一个周期，则nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的周期的周期f(xT)f(x)1奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它
3、是函数奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？具有奇偶性的什么条件？【提示提示】定义域关于原点对称，必要不充分条件定义域关于原点对称，必要不充分条件2(1)若若yf(xa)是偶函数，函数是偶函数，函数yf(x)的图象有什么的图象有什么对称性？对称性？(2)如果如果yf(xb)是奇函数，函数是奇函数，函数f(x)的图象有什么的图象有什么对称性？对称性？【提示提示】(1)f(x)的图象关于直线的图象关于直线xa对称；对称；(2)f(x)的的图象关于点图象关于点(b，0)中心对称中心对称【答案答案】B【解析解析】yf(x1)的图象是由的图象是由yf(x)的图象向左平的图象向
4、左平移一个单位得到的，而移一个单位得到的，而yf(x)的图象的对称轴为的图象的对称轴为x0.【答案答案】B3已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)，满足，满足f(x4)f(x)，则则f(8)的值为的值为()A1 B0 C1 D2【解析解析】f(x4)f(x)，f(x)是以是以4为周期的周期函数，为周期的周期函数，f(8)f(0)又函数又函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，f(8)f(0)0.【答案答案】B【解析解析】A选项中的函数为非奇非偶函数选项中的函数为非奇非偶函数B、C、D选项中的函数均为奇函数，但选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函选项中的
5、函数不为增函数数【答案答案】D 【思路点拨思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉【思路点拨思路点拨】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转化到区间偶性把自变量转化到区间0，1上上(2)根据根据f(x)f(x)求解求解1解答本题解答本题(2)时因误用时因误用f(0)0而求得而求得a1，当定义域，当定义域包含包含0时，可用时，可用f(0)0，但应注意检验，但应注意检验2(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于奇函数的图象关于原
6、点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真轴对称，反之也真(2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同在关于原点对称的区间上单调性相同(3)f(x)为偶函数为偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数；若奇函数f(x)在在x0时有定义，则时有定义，则f(0)0.【解析解析】(1)设设x0，则，则x0，f(x)(x)2xx2x，f(x)ax2bx.又又f(x)f(x)，a1，b1，ab0.(2)当当x0时，时，f(x)x22x(x1)21，函数函数f(x)在在0，)上为增函数，上为增函数，又函数又函数f(x)是定义在
7、是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且f(0)0.函数函数f(x)在在R上是增函数，上是增函数，由由f(3a2)f(2a)，得得3a22a，解得，解得3a1.【答案答案】(1)0(2)(3，1)(2013福州模拟福州模拟)设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且对上的奇函数，且对任意实数任意实数x，恒有，恒有f(x2)f(x)当当x0，2时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)【思路点拨思路点拨】证明证明f(x4)f(x)，进而运用周期性与，进而运用周期性与奇偶性求解奇偶性求解【尝试解答尝试解答】(1
8、)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)f(1)1.又又f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1.(2013惠州模拟惠州模拟)已知函数已知函数f(x)是是(，)上的偶函上的偶函数，若对于数，若对于x0，都有，都有f(x2)f(x)，且当，且当x0，2)时，时，f(x)log2(x1)，则，则f(2
9、 011)f(2 012)的值为的值为()A2B1C1D2【解析解析】对于对于x0时，都有时，都有f(x2)f(x)，2是是f(x)(x0)的一个周期，的一个周期，又又f(x)是是(，)上的偶函数，上的偶函数，f(2 011)f(2 012)f(2 011)f(2 012)f(1)f(0)log22log211.【答案答案】C函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件充分条件1.若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，则处有定义，则f(0)0.2设设f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是D1，D2，那么在它们的，那么在它们
10、的公共定义域上：奇奇奇，奇公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶偶，奇偶奇偶奇判断函数的奇偶性，一般有三种方法：判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；定义法；(2)图象法；图象法；(3)性质法性质法1.若对于若对于R上的任意的上的任意的x都有都有f(2ax)f(x)或或f(x)f(2ax)，则，则yf(x)的图象关于直线的图象关于直线xa对称对称2若若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数，那么函数f(x)是周期函是周期函数，其中一个周期为数，其中一个周期为T2|ab|.从从2012年的高考试题看，有年的高考试题看，有7个省份考查函数的奇偶个省份考查函数的
11、奇偶性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，多以选求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，多以选择题和填空题的形式出现，属中、低档题目，其中利用函数择题和填空题的形式出现，属中、低档题目，其中利用函数的周期性时，应注意隐含条件的挖掘的周期性时，应注意隐含条件的挖掘易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误【答案答案】2错因分析：错因分析：(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来起来(2)挖掘不出挖掘不出f(1)f
12、(1)，从而无法求出，从而无法求出a、b的值的值防范措施：防范措施：(1)对于周期函数，应注意所给区间包含几个对于周期函数，应注意所给区间包含几个周期，有助于我们挖掘隐含条件周期，有助于我们挖掘隐含条件(2)对于两个字母的求值，应列两个方程求解，这也是促对于两个字母的求值，应列两个方程求解，这也是促使我们挖掘隐含条件的动力使我们挖掘隐含条件的动力【答案答案】101(2012山东高考山东高考)定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x6)f(x)，当，当3x1时，时，f(x)(x2)2；当；当1x3时，时，f(x)x.则则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335B338C1
13、 678D2 012【解析解析】f(x6)f(x)，T6.当当3x1时，时，f(x)(x2)2；当；当1x3时，时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，【答案答案】B【解析解析】D(x)的值域是的值域是0，1，选项，选项A正确当正确当x是有是有理数时，理数时，x也是有理数，且也是有理数，且D(x)1，D(x)1，故，故D(x)D(x)，当，当x是无理数时，是无理数时，x也是无理数，且也是无理数，且D(x)0，D(x)0，即，即D(x)D(x)，故，故D(x)是偶函数，选项是偶函数，选项B正正确当确当x是有理数，是有理数，D(xa)1D(x)；当当x是无理数时，是无理数时，D(xb)D(x)0，故，故D(x)是周期函是周期函数，选项数，选项C不正确显然不正确显然D(x)不是单调函数，选项不是单调函数，选项D正确正确【答案答案】C
