1、第十五讲导数的应用第十五讲导数的应用回归课本回归课本1.函数的单调性与导数函数的单调性与导数在区间在区间(a,b)内内,函数的单调性与其导数的正负关系函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果如果f(x)0,那么那么y=f(x)在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增.(2)如果如果f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减.(3)如果如果f(x)=0,那那么么f(x)在这个区间内为常数在这个区间内为常数.2.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数极值的定义函数极值的定义若函数若函数f(x)在点在点x=a处的函数值处的函数值f(a)比它在点比它在点x=
2、a附近其他点附近其他点的函数值的函数值都小都小,且且f(a)=0,而且在而且在x=a附近的左侧附近的左侧f(x)0,则则a点叫函数的极小值点点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值叫做函数的极小值.若函数若函数f(x)在点在点x=b处的函数值处的函数值f(b)比它在点比它在点x=b附近其他点附近其他点的函数值的函数值都大都大,且且f(b)=0,而且在而且在x=b附近的左侧附近的左侧f(x)0,右右侧侧f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值.如果在如果在x0附近左侧附近左侧f(x)0,那么那么f(x0)是极小值是极小值.如果如果f(x)在点在点x0的左的左 右两侧
3、符号不变右两侧符号不变,则则f(x0)不是函数极不是函数极值值.3.函数的最值与导数函数的最值与导数(1)函数函数f(x)在在a,b上有最值的条件上有最值的条件如果在区间如果在区间a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲线的曲线,那么它必有最大值和最小值那么它必有最大值和最小值.(2)求函数求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤求函数求函数y=f(x)在在(a,b)内的内的极值极值.将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与端点处的函数值端点处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其其中中最大最大的一个是最大值的一个是最大
4、值,最小最小的一个是最小值的一个是最小值.4.解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思路考点陪练考点陪练1.已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在且在x=-3时取得极值时取得极值,则则a的值的值为为()A.2B.3C.4D.5解析解析:由题意得由题意得f(x)=3x2+2ax+3.又又f(x)在在x=-3时取得极值时取得极值,所所以以f(-3)=30-6a=0,解得解得a=5.故选故选D.答案答案:D2.(2010重庆统考重庆统考)已知函数已知函数f(x)=x3-3x,则函数则函数f(x)在区间在区间-2,2上的最大值是上的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析解析:f(x
5、)=3x2-3,当当x-2,-1或或1,2时时,f(x)0,f(x)单调递增单调递增;当当x(-1,1)时时,f(x)0,f(x)单调递减单调递减.故极大值为故极大值为f(-1)=2,极极小值为小值为f(1)=-2,又因为又因为f(-2)=-2,f(2)=2,f(x)在在-2,2上的最上的最大值为大值为2.答案答案:C3.f(x)是定义在是定义在(-,+)上的可导的奇函数上的可导的奇函数,且满足且满足xf(x)0,f(1)=0,则不等式则不等式f(x)0的解为的解为()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,+)解析解析:由由xf(x
6、)0时时,f(x)0时时,由由f(x)1,又因为函数为奇又因为函数为奇函数函数,故当故当x0时时,不等式不等式f(x)x-1,故选故选B.答案答案:B 324.(2010)f xxax5x61,3,a(),)B.,3C.(,3,)D13.55.5,5A 安徽联考 设函数在区间上是单调函数 则实数 的取值范围是 2225:fxx2ax5,fx1,3.1,fxx2ax50,ax1,3,t515,2215,52 5,315|55,255;1,axxxxxtxxt 解析 因为由题意得在区间上符号不变若在该区间上为增函数 则有 故 而令显然 在上单调递增 在上单调递减 故最大值为所以 212515,22
7、1157|(1 5)3,|3 2,fxx2ax50,a1a3.12a(,3,223353,).C.xxxxxtt x 若在该区间上为减函数 则有故 而由知 由可知 的取值范围为故选答案答案:C5.已知函数已知函数f(x)的导函数的图象如图所示的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的则下列说法正确的有有_.函数函数f(x)在区间在区间(-3,1)内单调递减内单调递减;函数函数f(x)在区间在区间(1,7)内单调递减内单调递减;当当x=-3时时,函数函数f(x)有极大值有极大值;当当x=7时时,f(x)有极小值有极小值.解析解析:由图象可得由图象可得,在区间在区间(-3,1)内内f(x)的导函数值
8、大于零的导函数值大于零,所以所以f(x)单调递增单调递增;在区间在区间(1,7)内内f(x)的导函数值小于零的导函数值小于零,所以所以f(x)单调递减单调递减;在在x=-3左右的导函数符号不变左右的导函数符号不变,所以所以x=-3不是函不是函数的极大值点数的极大值点;在在x=7左右的导函数符号由负到正左右的导函数符号由负到正,所以函所以函数数f(x)在在x=7处有极小值处有极小值.故填故填.答案答案:类型一类型一函数的单调性函数的单调性解题准备解题准备:求函数单调区间的基本步骤是求函数单调区间的基本步骤是:确定函数确定函数f(x)的定的定义域义域;求导数求导数f(x);由由f(x)0(或或f(
9、x)0时时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数在相应的区间上是单调递增函数;当当f(x)0时时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数在相应的区间上是单调递减函数.【典例典例1】已知函数已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若若f(x)在实数集在实数集R上单调递增上单调递增,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(2)是否存在实数是否存在实数a,使使f(x)在在(-1,1)上单调递减上单调递减?若存在若存在,求出求出a的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,说明理由说明理由.分析分析第第(1)问由问由f(x)在在R上是增函数知上是增函数知f(x)0在在R上恒成立上恒成立,进进而转化为最值问题而
10、转化为最值问题;(2)作法同第作法同第(1)问问.解解(1)由已知由已知f(x)=3x2-a,f(x)在在(-,+)上是单调增函数上是单调增函数,f(x)=3x2-a0在在(-,+)上恒成立上恒成立,即即a3x2对对xR恒成立恒成立.3x20,只需只需a0,又又a=0时时,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在在R上是增函数上是增函数,a0.(2)由由f(x)=3x2-a0在在(-1,1)上恒成立上恒成立,得得a3x2,x(-1,1)恒成立恒成立.-1x1,3x23,只需只需a3.当当a3时时,f(x)=3x2-a在在x(-1,1)上恒有上恒有f(x)0(f(x)0f(x)单调递增单调递增,
11、f(x)0f(x)单调递单调递减减.第第(2)问转化为问转化为f(x)极小值极小值m0,此时此时f(x)为增函数为增函数;当当x(1,2)时时,f(x)0,此时此时f(x)为增函数为增函数,因此在因此在x=2处函数取得极小值处函数取得极小值.结合已知结合已知,可得可得x0=2.221f 25,8a4b2c5.fx,fx3ax2b212,29,36.1 2.3545,15.24xc01,2,8a4b2c5,bbaaccaaabc 由知即再结合的图象可知 方程的两根分别为那么即联立得错源二错源二误认为导数为零的点就是极值点误认为导数为零的点就是极值点【典例典例2】求函数求函数f(x)=x4-x3的
12、极值的极值,并说明是极小值还是极大并说明是极小值还是极大值值.32324123fx4x3x.fx0,4x3x0,x0,3.4333273.(0),444256427256xf 00,0.fff 错解令即解得那么又故极小值为极大值为 剖析剖析错解中的错误有两点错解中的错误有两点,认为导数为零的点就是极值点认为导数为零的点就是极值点,其实其实,并非如此并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件条件;极大值大于极小值极大值大于极小值,这也是不准确的这也是不准确的.极值仅描述函极值仅描述函数在该点附近的情况数在该点附近的情况.323212fx4x3x,fx0
13、,4x3x0,x0,x,:3.4正解由当即时解得函数及导函数在区间中的变化情况见下表 f x(,0),x30,430,43,4327420.f x,x,5.6,由上表可知函数在区间上是减函数在区间上还是减函数 于是不是函数的极值点而函数在区间上是减函数 在区间上是增函数因此在处取得极小值 其值为无极大值技法一技法一解决与不等式有关的问题解决与不等式有关的问题【典例典例1】当当x0时时,证明不等式证明不等式ln(1+x)x-x2成立成立.解题切入点解题切入点欲证欲证x0时时,ln(1+x)x-x2,可以证可以证F(x)=ln(1+x)-(x-x2)0,易知易知F(0)=0,因此可以考虑因此可以考
14、虑F(x)在在0,+)上是增函数上是增函数.证明证明设设f(x)=ln(1+x),g(x)=x-x2,F(x)=f(x)-g(x),F(x)=f(x)-g(x)=.当当x0时时,F(x)=0.所以所以F(x)在在0,+)上是增函数上是增函数.故当故当x0时时,F(x)F(0)=0,1(1).1xx21xx2210,2ln 1xln 1x1.x2xxx即所以 方法与技巧方法与技巧运用导数证明不等式是一类常见题型运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的利用导数判定函数的单调性进而求解单调性进而求解.技法二技法二解决与函数周期有关的问题解决与函数周期有关的问题【典例典例2】设设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则则f2005(x)等于等于()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx解析解析f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x)=cosx,f2(x)=f1(x)=-sinx,f3(x)=f2(x)=-cosx,f4(x)=f3(x)=sinx.所以所以fn(x)的周期为的周期为4.所以所以f2005(x)=f4501+1=f1(x)=cosx.故选故选C.答案答案C
