1、普通高中课程标准人教普通高中课程标准人教A版数学选修版数学选修2-3 二项式定理二项式定理:011()()nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC b nN 二项式系数二项式系数(0,1,)knCkn 通项通项1kn kkknTC ab 组合数两个性质组合数两个性质:mn mnnCC 11rrrnnnCCC 01C02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C11C111211331146411510 10511615 20 1561新知引入新知引入 “杨辉三角杨辉三角”(a
2、+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6杨辉三角杨辉三角 此表在我国南宋数学家此表在我国南宋数学家杨辉杨辉12611261年年所著的所著的详解九详解九章算法章算法里就已经出现，并里就已经出现，并且北宋数学家且北宋数学家贾宪贾宪(约公元约公元11 11 世纪世纪)已使用过它已使用过它.杨辉杨辉(南宋南宋)在欧洲，这个表被认为是法国数学家在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角的发现杨辉三角的发现要比欧洲要比欧洲早五百年左右早五百年左右.十十五五一一一一一一
3、一一一一一一一一二二十十六六六六十十五五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五111211331146411510105116152015611101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06Cn=n=6 6-n=n=5 5-n=n=4 4-对称性对称性mn mnnCC111211331146411510 10511615 20 1561新知探究一新知探究一:n=n=3 3-n=n=1 1-n=n=2 2-n=n=1 1-n=n=2 2-n=n=3 3-n=
4、n=1 1-n=n=2 2-1.对称性与首末两端对称性与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数的两个二项式系数相等相等.4+6=102+1=3例如：例如：1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C新知新知探究二探究二:173521135217纵向：纵向：相邻两行的数有什么关系？相邻两行的数有什么关系？在在相邻的两行相邻的两行中中,除除1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两两个
5、数的和个数的和.（“双肩双肩”和和）122223CCC 122445CCC 11rrrnnnCCC 1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C56C16C06C1112113311464115101051161520 1561当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时，中间一项最大时，中间一项最大2.2.增减性与最大值增减性与最大值 新知新知探究三探究三:1?kknnCC与的大小关系横向横向:每行系数大小变化趋势？每行系数大小变化趋势？当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时，中间两项最
6、大时，中间两项最大n=n=6 6-n=n=5 5-n=n=4 4-n=n=3 3-n=n=1 1-n=n=2 2-n=n=1 1-n=n=2 2-n=n=3 3-n=n=1 1-n=n=2 2-n=n=6 6-n=n=5 5-n=n=4 4-n=n=3 3-n=n=1 1-n=n=2 2-26C46C21nk 可知，当 时，二项式系数二项式系数前半部分逐渐增大前半部分逐渐增大的，由对称性可知它的，由对称性可知它的的后半部分是逐渐减小后半部分是逐渐减小的，且的，且中间项中间项取得最大值。取得最大值。增减性与增减性与最大值最大值1112nknkk1n kk 1!()!(1)!(1)!knknnCk
7、 n knCkn k 证明：（法一）证明：（法一）21nk 可知，当 时，二项式系数二项式系数前半部分逐渐增大前半部分逐渐增大的，由对称性可知它的，由对称性可知它的的后半部分是逐渐减小后半部分是逐渐减小的，且的，且中间项中间项取得最大值。取得最大值。增减性与增减性与最大值最大值证明：（法二）证明：（法二）!1!1!1knknknknCCknkn111!1!knkknkn2110111nkknkknk1 2 3 4 5 615101520ro()f r定义域为定义域为 0,1,2,n.,()rnf rC 其图象是其图象是7个个孤立点孤立点.函数角度函数角度图象法图象法直线直线 作为对作为对称轴将
8、图象分成称轴将图象分成对称的两部分对称的两部分 2nr当当n=6时时,rCrf6nO2n2nOn当当n是偶数是偶数时，中间的时，中间的项项 取得取得最大值最大值.2nnC当当n是奇数是奇数时，中间的时，中间的两两项项 和和 相等相等,且同时取得且同时取得最大值最大值.12nnC 12nnC 2nr 对称轴：n为奇数；为奇数；如如n=7n为偶数；如为偶数；如n=64336 67 710203020156()f r()f rrr21n21n新知新知探究四探究四:012:.2nnnnnnCCCC猜想248163264122252324262计算各行二项式系数的和，你能发现什么规律？计算各行二项式系数
9、的和，你能发现什么规律？11121133114641151010511615201561n=n=6 6-n=n=5 5-n=n=4 4-n=n=3 3-n=n=1 1-n=n=2 2-n n01201122(1)=那么，？nrrnnnnnnnnnnnnCCCCCCxxCxCxCx0121,2令则 nnnnnnxCCCC 3.3.各二项式系数的和各二项式系数的和 011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b nnnkknnnnxCxCxCCx.110 xf例例3 3 试证：在试证：在 展开式中，奇数项的二项式系数展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
10、的和等于偶数项的二项式系数的和.典例解析典例解析 即即在在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数项的二项式系数的和.0 02 21 13 3n nn nn nn nC CC CC CC C)()(03120 nnnnCCCC13021 1(1)nnnnnnnnCCCCC 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：1,1ab 011222333()nnnnnnnnnnnnabC aC abC abC abC b证明：证明：()nab1.1.若若 的展开式中，第三项与第七项的二项的展开式中，第三项与第七项的二项式系数相
11、等，则式系数相等，则n=_n=_8()nab2.在在 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值为为 .（结果用组合数表示）（结果用组合数表示）8()ab48C 3.在在 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值 为为 .（结果用组合数表示）（结果用组合数表示）9(1)x5949CC 或11211101210.4nnnnnnnnnnCCCCCCCC 21掌握掌握三三个性质个性质体现体现两两种思想种思想数形结合与数形结合与函数的思想函数的思想二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质主题：主题：“杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质学会学会一一个方法个方法赋值法赋值法作业题：习题作业题：习题1 13 A3 A组组6 6、7 7、8.8.课后探究：课后探究：“杨辉三角杨辉三角”中的一些秘密中的一些秘密.课后作业课后作业
