1、与二项式系数的性质与二项式系数的性质杨辉三角杨辉三角2.3.1二项式定理二项式定理3.1.ban式式系系数数并并填填入入下下表表展展开开式式的的二二项项用用计计算算器器计计算算探探究究?,你你发发现现了了什什么么规规律律通通过过计计算算填填表表654321n展展开开式式的的二二项项式式系系nba.些规律些规律发现某发现某助我们助我们也能帮也能帮化有时化有时式的变式的变表示形表示形:,?.,写写成成如如下下形形式式可可将将上上表表为为了了方方便便呢呢除除此此之之外外还还有有什什么么规规律律称称性性每每一一行行中中的的系系数数具具有有对对现现从从上上表表可可以以发发1615201561ba1510
2、1051ba14641ba1331ba121ba11ba654321?律吗律吗式发现一些新的规式发现一些新的规你能借助上面的表现形你能借助上面的表现形探究探究;1,1,:,离离的的项项的的系系数数相相等等等等距距与与这这两两个个每每行行两两端端都都是是在在同同一一行行中中例例如如上上表表中中蕴蕴含含着着许许多多规规律律.CCC,CC,C1,.1,rn1rnr1nrn1rnr1n容容易易证证明明及及别别为为那那么么它它肩肩上上的的两两个个数数分分的的数数为为为为设设表表中中任任一一不不事事实实上上两两个个数数的的和和肩肩上上它它以以外外的的每每一一个个数数都都等等于于除除在在相相邻邻的的两两行行
3、中中十十五五一一一一一一一一一一一一一一二二十十六六六六十十五五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五本本积积商商除除平方平方立立方方三三乘乘四四乘乘五五乘乘左左积积右右积积之之除除而而实实命命方方商商乘乘廉廉以以廉廉皆皆者者藏藏中中算算隅隅乃乃裘裘右右数数积积乃乃裘裘左左13.1图图).13.1(,1261,图图示的形式示的形式记载的是用汉字表记载的是用汉字表在这本书里在这本书里字表示字表示里的表用阿拉伯数里的表用阿拉伯数所不同的只是这所不同的只是这了了一书里就出现一书里就出现法法详解九章算详解九章算著的著的年所年所家杨辉在家杨辉在数学数学表在我国南宋表在我国南宋
4、这个这个值得指出的是值得指出的是.,.,)16621623,calBlaisePas(,11.)11(,”“,值得中华民族自豪的值得中华民族自豪的的成就是非常的成就是非常由此可见我国古代数学由此可见我国古代数学五百年左右五百年左右洲早洲早杨辉三角的发现要比欧杨辉三角的发现要比欧这就是说这就是说帕斯卡三角帕斯卡三角他们把这个表叫做他们把这个表叫做首先发现的首先发现的学家帕斯卡学家帕斯卡这个表被认为是法国数这个表被认为是法国数洲洲在欧在欧世纪世纪不晚于不晚于这表明我国发现这个表这表明我国发现这个表用过它用过它已经已经世纪世纪约公元约公元且我国北宋数学家贾宪且我国北宋数学家贾宪算书算书释锁释锁杨辉指
5、出这个方法出于杨辉指出这个方法出于肩上两个数的和肩上两个数的和都等于它都等于它外的每一个数外的每一个数以以一一还说明了表里还说明了表里里里一书一书详解九章算法详解九章算法在在辉三角辉三角这个表称为杨这个表称为杨).23.1(7,6n.,n.n,2,1,rfrC.,C,C,C,Cbarnnn2n1n0nn 图图个个孤孤立立点点其其图图象象是是例例如如象象我我们们还还可可以以画画出出它它的的图图定定的的对对于于确确义义域域是是其其定定为为自自变变量量的的函函数数可可看看成成是是以以分分析析它它们们来来我我们们还还可可以以从从函函数数角角度度式式系系数数展展开开式式的的二二项项对对于于0 0?.9,
6、8,7n出它们有哪些异同吗出它们有哪些异同吗你能看你能看时的函数图象时的函数图象请你分别画出请你分别画出1234565101520or rf23.1图图.23.1数数的的一一些些性性质质来来研研究究二二项项式式系系和和图图杨杨辉辉三三角角下下面面结结合合.CC,.1mnnmn得得到到这这一一性性质质可可直直接接由由公公式式事事实实上上系系数数相相等等个个二二项项式式的的两两等等距距离离与与首首尾尾两两端端对对称称性性.,rf2nx它它是是图图象象的的对对称称轴轴分分的的图图象象分分成成对对称称的的两两部部将将函函数数直直线线 k!1k1kn2n1nnC2kn 因因为为增增减减性性与与最最大大值
7、值,k1knC1kn;,.,21nk,21nk1k1kn,k1knCC1knkn且且在在中中间间取取得得最最大大值值渐渐减减小小的的分分是是逐逐由由对对称称性性知知它它的的后后半半部部系系数数是是逐逐渐渐增增大大的的二二项项式式时时当当可可知知由由决决定定的的增增减减情情况况由由相相对对于于所所以以中中间间是是奇奇数数时时当当,n.,C.C21nn21nn且且同同时时取取得得最最大大值值相相等等的的两两项项 ,xCxCxCxCCx13nnnrrn22n1n0nn 已已知知各各二二项项式式系系数数和和.CCCC2,1xnn2n1n0nn 则则令令?吗吗组组合合等等式式下下这这个个你你能能用用组组
8、合合意意义义解解释释一一,这这就就是是说说.2bann系系数数的的和和等等于于的的展展开开式式的的各各个个二二项项式式.,1721353521717n,6n.1nn,1,.二二项项式式系系数数从从而而可可根根据据这这个个表表来来求求延延伸伸下下去去就就可可以以将将二二项项式式系系数数表表这这样样的的各各二二项项式式系系数数相相应应于于可可写写出出的的各各二二项项式式系系数数中中相相应应于于杨杨辉辉三三角角如如根根据据的的二二项项式式系系数数于于应应的的各各二二项项式式系系数数写写出出相相根根据据相相应应于于可可以以性性质质这这个个和和的的数数等等于于它它肩肩上上两两个个以以外外的的每每一一个个
9、数数都都中中除除杨杨辉辉三三角角利利用用例例如如许许多多问问题题利利用用这这些些性性质质可可以以解解决决.,ba:3n二二项项式式系系数数的的和和系系数数的的和和等等于于偶偶数数项项的的奇奇数数项项的的二二项项式式的的展展开开式式中中在在试试证证例例,CCC4n2n0n 为为奇奇数数项项二二项项式式系系数数的的和和分分析析,CCC5n3n1n 为为偶数项二项式系数的和偶数项二项式系数的和.b,a,b,abCbaCbaCaCbannn22n2n1n1nn0nn个系数和个系数和适当赋值来得到上述两适当赋值来得到上述两因此我们可以通过对因此我们可以通过对可以取任意实数可以取任意实数中的中的由于由于
10、.b,a.,b,a,的的值值要要灵灵活活选选取取的的需需我我们们可可以以根根据据具具体体问问题题还还可可以以是是别别的的项项式式也也可可以以取取任任意意多多既既可可以以取取任任意意实实数数实实际际上上,C1CCCC11,1b,1a,bCbaCbaCaCbannn3n2n1n0nnnnn22n2n1n1nn0nn 则得令中在展开式证明,CCCC03n1n2n0n 即 3n1n2n0nCCCC所以.,ban数的和等于偶数项的二项式系和奇数项的二项式系数的的展开式中即在,xCxCxCxCCx1,nnnkkn22n1n0nn 联想到联想到实际上实际上.,01f,xCxCxCxCCx1xf,xnnnkk
11、n22n1n0nn的结果的结果由此很容易得到要证明由此很容易得到要证明那么那么即即的函数的函数把它看成是关于把它看成是关于 中的一些秘密中的一些秘密杨辉三角杨辉三角探究与发现探究与发现.,来探索一下这些性质来探索一下这些性质下面就下面就多有趣的性质多有趣的性质杨辉三角本身包含了许杨辉三角本身包含了许实际上实际上展开式的一些性质展开式的一些性质了二项式了二项式前面借助杨辉三角讨论前面借助杨辉三角讨论行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第n1CCCCC11n654133131212111102n1nr1n1r1n21n11n .?,.1你你的的发发现现填填写写在在
12、空空格格上上将将规规律律吗吗你你能能发发现现每每一一行行的的数数字字观观察察图图形形即即展展开开式式的的系系数数项项式式行行就就是是二二杨杨辉辉三三角角的的第第从从上上述述图图形形可可以以看看到到,ban,nnnnrrn2n1n1nn0nnbCbaCbaCaCba?,.2两两行行的的数数有有什什么么关关系系吗吗你你能能发发现现组组成成它它的的相相邻邻观观察察杨杨辉辉三三角角图图形形.,1,的的两两个个数数相相加加其其余余的的数数都都等等于于它它肩肩上上组组成成的的是是由由数数字字这这个个三三角角形形的的两两条条腰腰都都可可以以发发现现.?,1.3再再连连一一些些数数字字试试试试自自己己你你能能
13、发发现现什什么么规规律律从从连连线线上上的的数数字字如如图图.,rn.CCCC,C1041,C631,C321:,r1nr2rr1rrr31n21n11n纳纳法法来来证证明明上上式式等等式式可可以以用用数数学学归归实实际际上上一一般般地地项项的的和和想想下下列列数数列列的的前前若若干干猜猜根根据据你你发发现现的的规规律律 111111123451111345610101图图?,?,2.4你有什么发现你有什么发现和和仔细观察这些仔细观察这些和和标出其余各行的标出其余各行的处处请你在请你在出出经在斜行上末标经在斜行上末标上的数字的和已上的数字的和已位于前几条斜行位于前几条斜行杨辉三角图形中杨辉三角图形中的斜行中的斜行中如图如图!?,与与同同学学交交流流一一下下排排列列规规律律吗吗数数的的你你还还能能再再找找出出其其他他一一些些律律除除了了这这几几个个数数的的排排列列规规1111111234511113456101011161520156172135352171828567056288113?2图图作业：P37(A组78和B组)
