1、12122 2三角形全等的判定三角形全等的判定 1探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”2会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等重点探究直角三角形全等的条件难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，
2、于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个RtABC，使C90.再画一个RtABC，使C90，BCBC，ABAB.把画好的RtABC剪下来，放到RtABC上，它们全等吗？画一个RtABC，使C90，BCBC，ABAB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作MCN90；(2)在射线CM上截取线段BCBC；(3)以B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A；(4)连接AB.ABC就是所求作的三角形吗？学生把画好的ABC剪下放在ABC上，观察这两个三角形是否全等由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分
3、别相等的两个直角三角形全等简写成“斜边、直角边”或“HL”多媒体出示教材例5如图，ACBC，BDAD，垂足分别为C，D，ACBD.求证：BCAD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法“HL”三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由学生独立思考完成教师点评四、小结与作业1判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边2直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS
4、，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3作业：教材习题12.2第7题本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力1如图，在ABC中，ABAC，若ADBC，则判定ABD和ACD全等的方法是()ASAS BASA CSSS DHL2如图，可直接用“HL”判定RtABC和RtDEF全等的条件是()AACDF，BCEF BAD，ABDECACDF，AB
5、DE DBE，BCEFDC3如图，DEAB于E，DFAC于F，AEAF，根据HL，可判定_ 4如图，BD90，若用HL证明ABC ADC，则还应该补充一个条件，补充的这个条件是 AEDAFDABAD或BCDC6如图，在RtABC和RtABC中，CC90，那么下列各条件中，不能使RtABC RtABC的是()AABAB，BCBCBABBC，ABCACAC，BCBCDACAC，AA7如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC的是()ACBCD BBACDACCBCADCA DBD90BC8如图，AD，AD分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC的BC，BC边上的高，且AB
6、AB，ADAD，若要使ABC ABC，请你补充条件ACAC或BCBC或CC或DACDAC(填一个你认为适当的条件)9如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BECF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明10如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则1与2的和为()A45 B60 C90 D12011如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且ADAE.有下列结论：BC；ADOAEO；BODCOE；图中有四组三角形全等其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个CD12如图，在RtABC中，
7、C90，AC10，BC5，线段PQAB，PQ两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP 时，ABC和PQA全等5或1013如图，在ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BECF.证明：在ABC中，AD是中线，BDCD，CFAD，BEAD，CFDBED90，在BED与CFD中，BEDCFD，BDECDF，BDCD，BEDCFD，BECF14如图，在ABC中，BAC90，ABAC，D在AC上，E在BA的延长线上，BDCE，BD的延长线交CE于F，求证：BFCE.证明：BDCE，ABAC，RtBADRtCAE(HL)，ADBE
8、，BAC90，EBFADB90，EBFE90，BFE90，即BFCE15如图，在ABD和ACE中，F，G分别是AC和DB，AB和EC的交点，现有如下4个论断：ABAC；ADAE；AFAG；ADBD，AECE.以其中3个论断为题设，填入下面的已知栏中，剩余一个论断为结论，填入下面的求证栏中，组成一个真命题，并写出证明过程已知：ADAE，AFAG，ADBD，AECE求证：ABAC证明：ADBD，AECE，DE90，又ADAE，AFAG，RtADFRtAEG，DAFEAG，DAFBACEAGBAC，即BADCAE，ABDACE(ASA)，ABAC16已知点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等
9、，且OBOC.(1)如图，若点O在边BC上，求证：ABOACO；(2)如图，若点O在ABC的内部，求证：ABOACO.证明：(1)过点O分别作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC(HL)，ABOACO(2)过点O分别作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足，由题意知，OEOF，在RtOEB和RtOFC中，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC(HL)，OBEOCF.过O作OHBC于H，由HL可证RtOBHRtOCH，OBHOCH，OBHOBEOCHOCF，即ABOACO方法技能：判定两个直角三角形全等的思路：易错提示：用“HL”证明全等时未指
10、出是直角三角形12122 2三角形全等的判定三角形全等的判定 1 1经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；归纳获得数学结论的过程；2.2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；问题；3.3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理行有条理的思考并进行简单的推理我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？1 1、边边边、边边边(SS
11、S)(SSS)3 3、角边角、角边角(ASA)(ASA)4 4、角角边、角角边(AAS)(AAS)2 2、边角边、边角边(SAS)(SAS)如图，如图，AB AB BEBE于于B B，DEDEBEBE于于E E，（1 1）若）若 A=DA=D，AB=DEAB=DE，则则ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不不全等全等”）根据）根据 （用简写法）（用简写法）.全等全等ASAABCDEFABCDEF（2 2）若）若 A=DA=D，BC=EFBC=EF，则，则ABCABC与与DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用简写法）（用简写法）.AASAA
12、S全等全等（3 3）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，则，则ABCABC与与DEF DEF （填（填“全全等等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用简写法）（用简写法）.全等全等SASSAS（4 4）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，AC=DFAC=DF，则，则 ABCABC与与DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据_（用简写法）（用简写法）.全等全等SSSSSS 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一想知道这两个直角三角形是否全
13、等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量条直角边被花盆遮住无法测量.A AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1（1 1）你能帮他想个办法吗？）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS).(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角角.(ASA).(ASA)或或(AAS)(AAS)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别
14、对应相等，于是他就肯定边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角两个直角三角形是全等的三角形是全等的”.你相信他的结论吗？你相信他的结论吗？下面让我们一起来验证这个结论下面让我们一起来验证这个结论.A AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1 任意画一个任意画一个RtRtACB ACB，使，使C C9090，再画一个，再画一个RtRtACBACB使使C=C=C C，BCBCBCBC，ABABABAB，（1 1）你能试着画出来吗？与小组交流一下）你能试着画出来吗？与小组交流一下.（2 2）把画好的）把画好的RtRtACBACB放到放到RtRtACBACB上，它们全等吗？上，它们全
15、等吗？你能发现什么规律？你能发现什么规律？作作MCMCN=90N=90;C CM MN N 在射线在射线C CM M上截取线段上截取线段 C CB B=CB;=CB;M MN NB B 以以B B为圆心为圆心,BA,BA为半径画为半径画弧，交射线弧，交射线C CN N于点于点A A;C CM MN NB BA A连接连接A AB B.C CM MN NB BA AC C 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”.HL”.【例例】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度如图，有两个长度相同的滑
16、梯，左边滑梯的高度ACAC与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DFDF相等，两个滑梯的倾斜角相等，两个滑梯的倾斜角ABCABC和和DFEDFE的大小有什么关系？的大小有什么关系？【例题例题】【解析解析】在在RtRtABCABC和和RtRtDEFDEF中中,BC=EF,BC=EF,AC=DF.AC=DF.Rt RtABCRtABCRtDEF(HL).DEF(HL).ABC=DEFABC=DEF(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).).DEF+DFE=90 DEF+DFE=90,ABC+DFE=90ABC+DFE=90.1.1.如图，如图，ACBC,BDAD,ACBC,BDAD
17、,垂足分别为垂足分别为C C，D D，AC=BD.AC=BD.求证：求证：BC=AD.BC=AD.例例5ABCD【证明证明】ACBCACBC,BDAD,BDAD,C C 与与D D都是直角都是直角.在在RtRtABCABC和和RtRtBADBAD中中,又又AB=BAAB=BA AC=BD,AC=BD,RtRtABCRtABCRtBAD(HL),BAD(HL),BC=AD.BC=AD.AFCEDB1.1.如图，如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：求证：BF=DE.BF=DE.【跟踪训练跟踪训练】【证明证明】在在RtRtABFABF和
18、和RtRtCDECDE中中,AE=CF,AE=CF,AF=CE.AF=CE.又又AB=CD,AB=CD,RtRtABFRtABFRtCDE(HL),CDE(HL),BF=DE.BF=DE.A AB BC CD DE EF F2.2.如图，两根长度为如图，两根长度为12 m12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由等吗？请说明你的理由.BD=CD.BD=CD.ADB=ADC=90ADB=ADC=90,AB=AC AB=AC AD=AD AD=ADR
19、tRtABDRtABDRtACD(HL)ACD(HL)，BD=CD.BD=CD.【解析解析】1.1.如图，如图，ACAC，BDBD是矩形是矩形ABCDABCD的对角线，过点的对角线，过点D D作作DEACDEAC交交BCBC的延长线于的延长线于E E，则图中与，则图中与ABCABC全等的三角形共有（全等的三角形共有（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个【解析解析】选选D.D.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，CDACDA、BADBAD、DCBDCB都和都和ABCABC全等，又全等，又ABC=ABC=DCE=90DCE=90，DEAC,DEAC,所以所以DE
20、C=DEC=ACB;ACB;又又AB=DC,AB=DC,所以所以DCEDCE也和也和ABCABC全等全等2.2.如图，如图，AC=ADAC=AD，C C，D D是直角，将上述条件标注在图是直角，将上述条件标注在图中，你能说明中，你能说明BCBC与与BDBD相等吗？相等吗？C CD DA AB B在在RtRtACBACB和和RtRtADBADB中中,AB=AB,AB=AB,AC=AD AC=AD.Rt RtACBRtACBRtADB(HL).ADB(HL).BC=BDBC=BD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).).【解析解析】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们
21、掌握：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法判定全等的方法:SSS:SSS、SASSAS、ASAASA、AASAAS，还有直角三角形，还有直角三角形特殊的判定方法：特殊的判定方法：HL.HL.12122 2三角形全等的判定三角形全等的判定 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量量.（1 1）你能帮他想个办法吗？）你能帮他想个办
22、法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或或(AAS)如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量量.如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被工作人员测量了每个三角形没有被遮住的遮住的直
23、角边直角边和和斜边斜边，发现它们，发现它们分别对分别对应相等应相等，于是他就肯定，于是他就肯定“两个直角三角两个直角三角形是全等的形是全等的”.你相信他的结论吗？你相信他的结论吗？按照下面的步骤做一做：按照下面的步骤做一做：作作MCN=90;CMN 在射线在射线CM上截取线段上截取线段CB=3cm;CMNB 以以B为圆心为圆心,4cm为半径画弧，交为半径画弧，交射线射线CN于点于点A;CMNBA 连接连接AB.CMNBA画一个画一个RtABC，C=90，一直角边，一直角边BC=3cm,斜边斜边AB=4cm直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 斜边斜边和和一条直角边一条直角边对应相等的两个直
24、角对应相等的两个直角三角形全等三角形全等.简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”.在使用在使用“HL”时时,同学们应同学们应注意注意！(1)“HL”是是仅仅适用于直角三角形的特殊方法适用于直角三角形的特殊方法.(2)注意注意对应对应相等相等.(3)因为因为”HL”仅适用直角三角形仅适用直角三角形,书写格式应为书写格式应为:在在Rt ABC 和和Rt DEF中中 AB=DE AC=DF RtABCRtDEF(HL)ABCDEF判断直角三角判断直角三角形全等条件形全等条件三边对应相等三边对应相等 SSS一锐角和它的邻边对应相等一锐角和它的邻边对应相等 ASA一锐角和它的对边对应相等一
25、锐角和它的对边对应相等 AAS两直角边对应相等两直角边对应相等 SAS斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等 HL 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法角三角形特有的判定方法“HL”.我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.你能够用几种方法说明两个直角三角形全等你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？(1)_,A=D(ASA)(2)AC=DF,_(SAS)(3)AB=DE,BC=EF
26、()(4)AC=DF,_(HL)(5)A=D,BC=EF()(6)_,AC=DF(AAS)BCAEFD把下列说明把下列说明RtABC RtDEF的条件或根据补充完整的条件或根据补充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAASB=E如图，ACBC,BDAD,垂足分别为C，D，AC=BD，求证BC=AD.DCAB2.2.如图，如图，AC=ADAC=AD，C C，D D是直角，将上述是直角，将上述条件标注在图中，你能说明条件标注在图中，你能说明BCBC与与BDBD相等吗？相等吗？CDAB解：在解：在RtACB和和RtADB中中,则则 AB=AB,AC=AD.RtACB RtADB(HL).BC=BD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).3.3.如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD 因为因为ADB=ADC=90 AB=AC AD=AD所以所以RtRtABDRtABDRtACD(ACD(HLHL)所以所以BD=CD小结：这节课你有什么收获呢？与这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流你的同伴进行交流
