1、阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训2 2 三角形的三种重三角形的三种重 要线段的应用要线段的应用习题课习题课 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段度认识这三种线段1应用应用三角形的高的应用三角形的高的应用1.如图，已知如图，已知ABBD于点于点B，ACCD于点于点C，AC与
2、与BD交于点交于点E，则，则ADE的边的边DE上的高上的高1.为为_，边，边AE上的高为上的高为_类型类型1 找三角形的高找三角形的高ABDC2.(动手操作题动手操作题】画出图中画出图中ABC的三条高的三条高(要要 标明字母，不写画法标明字母，不写画法)类型类型2 作三角形的高作三角形的高如图如图解解：3如图，在如图，在ABC中，中，BC4，AC5，若，若BC边边 上的高上的高AD4.求：求：(1)ABC的面积及的面积及AC边上的高边上的高BE的长；的长；(2)AD BE的值的值类型类型3 求与高相关线段的问题求与高相关线段的问题(1)SABC BCAD 448.因为因为SABC ACBE 5
3、BE8，所以所以BE .(2)AD BE4 .解解：12121212165165544如图，在如图，在 ABC 中，中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分别为点，垂足分别为点E，F，G.求证：求证：DEDFBG.类型类型4 证与高相关线段和的问题证与高相关线段和的问题连接连接AD，因为，因为SABCSABDSADC，所以所以 ACBG ABDE ACDF.又因为又因为ABAC，所以所以DEDFBG.证明证明：“等面积法等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决为
4、面积的关系来解决1212125【中考中考淄博淄博】如图，如图，ABC的面积为的面积为16，点，点D 是是BC边上一点，且边上一点，且BD BC，点，点G是是AB边上边上 一点，点一点，点H在在ABC内部，且四边形内部，且四边形BDHG是是 平行四边形则图中阴影部分的面积是平行四边形则图中阴影部分的面积是()A3 B4 C5 D6类型类型5 求与高有关的面积求与高有关的面积B14设设ABC的边的边BC上的高为上的高为h，AGH的边的边GH上的高为上的高为h1，CGH的边的边GH上的高为上的高为h2，则有，则有hh1h2.SABC BCh16，S阴影阴影SAGHSCGH GHh1 GHh2 GH(
5、h1h2)GHh.四边形四边形BDHG是平行四边形，且是平行四边形，且BD BC，GHBD BC.S阴影阴影 SABC4.故选故选B.121212121214141142BC h骣桫142应用应用 三角形的中线的应用三角形的中线的应用6.如图，如图，AE是是ABC的中线，已知的中线，已知EC4，DE2，则，则BD的长为的长为()6.A2 B3 C4 D6类型类型1 求与中线相关线段的问题求与中线相关线段的问题A同类变式同类变式7.如图，已知如图，已知BECE，ED为为EBC的中线，的中线，BD8，AEC的周长为的周长为24，则，则ABC的的 周长为周长为()A40 B46 C50 D56同类变
6、式同类变式8在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，ABAC，一腰上，一腰上 的中线的中线BD将这个三角形的周长分成将这个三角形的周长分成15 cm 和和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边两部分，求这个等腰三角形的三边 长长设设ADCDx cm，则，则AB2x cm，BC(214x)cm.依题意，有依题意，有ABAD15 cm或或ABAD6 cm，则有则有2xx15或或2xx6，解得解得x5或或x2.当当x5时，三边长为时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；当当x2时，三边长为时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而，而4413，故不成立，故不成立所以这个等腰三角形的三边长为所
7、以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.解解：9操作与探索：操作与探索：在图中，在图中，ABC的面积为的面积为a.(1)如图，延长如图，延长ABC的边的边BC到点到点D，使，使CD BC，连接，连接DA，若，若ACD的面积为的面积为S1，则，则S1 _(用含用含a的式子表示的式子表示)；类型类型2 求与中线相关的面积问题求与中线相关的面积问题a理由：连接理由：连接AD，由题意可知，由题意可知SABCSACDSAEDa，所以所以SDEC2a，即，即S22a.解解：(2)如图，延长如图，延长ABC的边的边BC到点到点D，延长边，延长边CA 到点到点E，使，使CDBC，AECA，
8、连接，连接DE，若，若 DEC的面积为的面积为S2，则，则S2_(用含用含a的式的式 子表示子表示)，请说明理由；，请说明理由；2a(3)如图，在图的基础上延长如图，在图的基础上延长AB到点到点F，使，使BF AB，连接，连接FD，FE，得到，得到DEF，若阴影部，若阴影部 分的面积为分的面积为S3，则，则S3_(用含用含a的式子的式子 表示表示)6a3应用应用三角形的角平分线的应用三角形的角平分线的应用10(1)如图，在如图，在ABC中，中，D，E，F是边是边BC上上 的三点，且的三点，且1234，以，以AE为为 角平分线的三角形有角平分线的三角形有_；类型类型1 三角形角平分线定义的直接应
9、用三角形角平分线定义的直接应用ABC和和ADF(2)如图，已知如图，已知AE平分平分BAC，且，且124 15，计算，计算3的度数，并说明的度数，并说明AE是是DAF的角的角 平分线平分线因为因为AE平分平分BAC，所以所以BAECAE.又因为又因为1215，所以所以BAE12151530.所以所以CAEBAE30，即即CAE4330.又因为又因为415，所以所以315.所以所以23.所以所以AE是是DAF的角平分线的角平分线解解：11.如图，在如图，在ABC中，中，AD是高，是高，AE是是BAC的的 平分线，平分线，B20，C60，求，求DAE的的11.度数度数类型类型2 三角形的角平分线与
10、高相结合求角的度数三角形的角平分线与高相结合求角的度数在在ABC中，中，B20，C60，所以所以BAC180BC1802060100.又因为又因为AE是是BAC的平分线，的平分线，所以所以BAE BAC 10050.在在ABD中，中，BBADBDA180.解解：1212又因为又因为AD是高，是高，所以所以BDA90，所以所以BAD180BBDA 180209070.所以所以DAEBADBAE 705020.灵活运用三角形内角和为灵活运用三角形内角和为180，结合三角形的，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法高及角平分线是求有关角的度数的常用方法12如图，在如图，在ABC中，中，B
11、E，CD分别为其角平分分别为其角平分 线且交于点线且交于点O.(1)当当A60时，求时，求BOC的度数；的度数；(2)当当A100时，求时，求BOC的度数；的度数；(3)当当A时，求时，求BOC的度数的度数类型类型3 求三角形两内角平分线的夹角度数求三角形两内角平分线的夹角度数(1)因为因为A60，所以所以ABCACB120.因为因为BE，CD为为ABC的角平分线，的角平分线，所以所以EBC ABC，DCB ACB.所以所以EBCDCB ABC ACB (ABCACB)60，所以所以BOC180(EBCDCB)18060120.解解：1212121212(2)因为因为A100，所以所以ABCA
12、CB80.因为因为BE，CD为为ABC的角平分线，的角平分线，所以所以EBC ABC，DCB ACB.所以所以EBCDCB ABC ACB (ABCACB)40，所以，所以BOC180 (EBCDCB)18040 140.1212121212(3)因为因为A，所以所以ABCACB180.因为因为BE，CD为为ABC的角平分线，的角平分线，所以所以EBC ABC，DCB ACB.所以所以EBCDCB ABC ACB (ABCACB)90 ，所以所以BOC180(EBCDCB)180(90 )90 .12121212 12121212第第(1)问很容易解决，第问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个问是对前一问的一个变式，第变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用问就是类比前面解决问题的方法用含含的式子表示的式子表示
