二章机械振动理论基础课件.ppt

1、1第二章第二章 机械振动理论基础机械振动理论基础基本概念基本概念机械振动的运动学机械振动的运动学机械系统的建模基础机械系统的建模基础单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动基本概念基本概念 振动是指物体经过它的平衡位置所作的往复运动或系统的物理量在其平均值(或平衡值)附近的来回变动。振动是自然界最普遍的现象之一。大至宇宙，小至亚原子粒子，无不存在振动。各种形式的物理现象，如声、光、热等都包含振动。人们生活中也离不开振动：心脏的搏动、耳膜和声带的振动，都是人体不可缺少的功能；人的视觉靠光的刺激，而光本质上也是一种电磁振动；生活中不能没有声音和音乐，

2、而声音的产生、传播和接收都离不开振动。在工程技术领域中，振动现象也比比皆是。例如，桥梁和建筑物在阵风或地震激励下的振动，飞机和船舶在航行中的振动，机床和刀具在加工时的振动，各种动力机械的振动，控制系统中的自激振动等。在许多情况下，振动被认为是消极因素。例如，振动会影响精密仪器设备的功能，降低加工精度，加剧构件的疲劳和磨损，从而缩短机器和结构物的使用寿命。振动还可能引起结构的大变形破坏，有的桥梁曾因振动而坍塌；飞机机翼的颤振、机轮的抖振往往造成事故；车、船和机舱的振动会劣化乘载条件；强烈的振动噪声会形成严重的公害。然而，振动也有它积极的一面。振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础。近几十年以来

3、，陆续出现许多利用振动的生产装备和工艺。例如，振动传输、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩、振动消除内应力等。它们极大地改善了劳动条件，成十倍、成百倍地提高了劳动生产率。可以预期，随着生产实贱和科学研究的不断进展，振动的利用还会与日俱增。研究振动问题时，一般将研究对象研究振动问题时，一般将研究对象(如一部机如一部机器、一种结构器、一种结构)称为称为系统系统。机械振动是指机械系统机械振动是指机械系统(即力学系统即力学系统)中的中的振动。任何力学系统，只要它具有弹性和惯振动。任何力学系统，只要它具有弹性和惯性，都可能发生振动。这种力学系统称为振性，都可能发生振动。这种力学系统称为振动系统。振动

4、系统可分为两大类，离散系统动系统。振动系统可分为两大类，离散系统和连续系统。和连续系统。把外界对系统的作用或机器自身运动产生的力，称为把外界对系统的作用或机器自身运动产生的力，称为激励激励或输入或输入；把机器或结构在激励作用下产生的动态行为，称为把机器或结构在激励作用下产生的动态行为，称为响应或响应或输出输出。振动分析振动分析(理论或实验分析理论或实验分析)就是研究这三者间的相互关系。就是研究这三者间的相互关系。工程中常见的振动问题工程中常见的振动问题lA A 机械中的振动问题机械中的振动问题 lB B 结构中的振动问题结构中的振动问题lC C 机械加工过程中的振动问题机械加工过程中的振动问题

5、 振动诊断振动诊断，就是对正在运行的机械设备或，就是对正在运行的机械设备或给非工作状态的系统某种激励，测其振动响给非工作状态的系统某种激励，测其振动响应，对由测量响应得到的各种数据进行分析处应，对由测量响应得到的各种数据进行分析处理，然后将结果与事先制订的某一标准进行比理，然后将结果与事先制订的某一标准进行比较。进而判断系统内部结构的破坏、裂纹、开较。进而判断系统内部结构的破坏、裂纹、开焊、磨损、松脱及老化等各种影响系统正常运焊、磨损、松脱及老化等各种影响系统正常运行的故障。依此采取相应的对策来消除故障，行的故障。依此采取相应的对策来消除故障，保证系统安全运行。保证系统安全运行。第一节第一节

6、机械振动的运动学机械振动的运动学一、机械振动及其分类一、机械振动及其分类机械振动：机械振动：由于受外界条件的影响，机械系统将会由于受外界条件的影响，机械系统将会围绕其平衡位置作往复运动；是一种特殊的运动形围绕其平衡位置作往复运动；是一种特殊的运动形式。式。机械振动分类：机械振动分类：1 1按对系统的输入不同分类按对系统的输入不同分类(1)(1)自由振动自由振动 系统初始干扰或原有的外激振力取系统初始干扰或原有的外激振力取消后产生的振动，即当系统的平衡被破坏后，没消后产生的振动，即当系统的平衡被破坏后，没有外力作用而只靠其弹性恢复力来维持的振动；有外力作用而只靠其弹性恢复力来维持的振动；(2)(

7、2)强迫振动强迫振动 系统在外力作用下被迫产生的振动；系统在外力作用下被迫产生的振动；(3)(3)自激振动自激振动 由于系统具有非振荡性能源和反馈由于系统具有非振荡性能源和反馈特性，并有能源补充，而产生的一种稳定的周期特性，并有能源补充，而产生的一种稳定的周期性振动。性振动。2 2按系统的输出特性分类按系统的输出特性分类(1)(1)简谐振动简谐振动 振动量的时间历程为单一正弦或振动量的时间历程为单一正弦或余弦函数的振动；余弦函数的振动；(2)(2)非简谐周期振动非简谐周期振动 振动量为时间的周期函数，振动量为时间的周期函数，而又不是简谐振动的振动，即简谐振动之外的周而又不是简谐振动的振动，即简

8、谐振动之外的周期振动；期振动；(3)(3)瞬态振动瞬态振动 振动量为时间的非周期函数，且振动量为时间的非周期函数，且通常只在一定的时间段内发生的振动；通常只在一定的时间段内发生的振动；(4)(4)准周期振动准周期振动 1122()sin(2)sin(2)x txtxt(5)(5)随机振动随机振动 振动量不是时间的确定性函数振动量不是时间的确定性函数 )2sin()sin()(2211txtxtx3 3按系统的自由度之数目分类按系统的自由度之数目分类 (1)(1)单自由度系统的振动单自由度系统的振动 (2)(2)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 (3)(3)弹性体振动弹性体振动 4 4按描述

9、系统的微分方程分类按描述系统的微分方程分类(2)(2)非线性振动非线性振动 (1)(1)线性振动线性振动 二、机械振动按其输出的分类描述二、机械振动按其输出的分类描述1.1.简谐振动简谐振动)2sin()2sin()(0TtAtfAtx 2 2、非简谐周期振动、非简谐周期振动 非简谐周期振动，就是指除简谐振动以外的周期振动。可非简谐周期振动，就是指除简谐振动以外的周期振动。可以用周期性的时间变量函数来描述，即以用周期性的时间变量函数来描述，即 ()(),1,2,3x tx tnTn 非简谐周期振动，可按傅里叶级数展开而分解为简谐振动非简谐周期振动，可按傅里叶级数展开而分解为简谐振动的叠加，即的

10、叠加，即 0111()(cos2sin2)2nnnax tanf tbnf t3 3、准周期振动、准周期振动 所谓准周期振动，也是由一些不同频率的简谐所谓准周期振动，也是由一些不同频率的简谐振动合成的振动。振动合成的振动。1()cos(2)iiiix txf t准周期振动时历曲线及频谱图准周期振动时历曲线及频谱图a时历曲线时历曲线 b频谱图频谱图 至少有一组fm/fn为无理数4 4、瞬态振动、瞬态振动 瞬态振动属于非周期振动，是一种只在某一确瞬态振动属于非周期振动，是一种只在某一确定时间段内才发生的振动，定时间段内才发生的振动，可以用各种脉冲函数或可以用各种脉冲函数或衰减函数描述的振动。衰减函

11、数描述的振动。sin()0()00atAebttx tt5 5、随机振动、随机振动 随机振动是一种非确定性振动，不能用精确的数学关系式随机振动是一种非确定性振动，不能用精确的数学关系式描述，因为这种现象每次观察都是不一样的。描述，因为这种现象每次观察都是不一样的。随机振动虽然具有不确定性，但却具有一定统计随机振动虽然具有不确定性，但却具有一定统计规律性。所谓规律性。所谓统计规律性统计规律性，就是在一定条件下多次，就是在一定条件下多次重复某项实验或观察某种现象所得结果呈现出的规重复某项实验或观察某种现象所得结果呈现出的规律性。律性。第二节第二节 机械振动系统的建模基础机械振动系统的建模基础 机械

12、系统的振动量机械系统的振动量(位移、速度和加速度的幅位移、速度和加速度的幅值值)、频率、频率(或周期或周期)、相位和频谱等，常称为、相位和频谱等，常称为该系统振动的基本参数。该系统振动的基本参数。影响这些基本参数的因素主要是：影响这些基本参数的因素主要是：(1)(1)系统本身结构的动态特性系统本身结构的动态特性质量或转动质量或转动惯量、刚度和阻尼；惯量、刚度和阻尼；(2)(2)系统的工作条件和外部激励的情况。系统的工作条件和外部激励的情况。通过测量通过测量(检测或监测检测或监测)计算或模拟试验计算或模拟试验求得机械系统振动的求得机械系统振动的主要参数主要参数及本身结构的及本身结构的动态特性动态

13、特性，是研究各种振动问题的主要内容。，是研究各种振动问题的主要内容。分析、计算振动特性的一般步骤应是：将分析、计算振动特性的一般步骤应是：将实际机械系统简化为动力学模型；计算或测定实际机械系统简化为动力学模型；计算或测定系统的动态特性参数；根据力学模型查表，或系统的动态特性参数；根据力学模型查表，或者建立并解出系统振动的运动方程，从而求得者建立并解出系统振动的运动方程，从而求得所需要的振动特性及有关参数。所需要的振动特性及有关参数。一、建立力学模型的前期准备一、建立力学模型的前期准备 1 1连续系统的离散化连续系统的离散化 详细做法是：把弹性较小、质量较大的详细做法是：把弹性较小、质量较大的构

14、件简化为不计弹性的构件简化为不计弹性的集中质量集中质量；把质量较；把质量较小、弹性较大的构件简化为不计质量的小、弹性较大的构件简化为不计质量的弹性弹性元件元件；也可把构件中阻尼特性较大的部分简；也可把构件中阻尼特性较大的部分简化为不计质量和弹性的化为不计质量和弹性的阻尼元件阻尼元件。2 2非线性系统的线性化非线性系统的线性化 质量、弹性质量、弹性(刚度刚度)、阻尼等严格地说都、阻尼等严格地说都与系统的运动状态成复杂的关系。但在一定与系统的运动状态成复杂的关系。但在一定的条件下，可将这些复杂的关系简化为线性的条件下，可将这些复杂的关系简化为线性关系，此即线性化过程。如，当位移和速度关系，此即线性

15、化过程。如，当位移和速度较小时，就较小时，就可以认为可以认为弹性力与位移的一次方弹性力与位移的一次方成正比，阻尼力与速度的一次方成正比成正比，阻尼力与速度的一次方成正比等。等。二二 振动系统力学模型的三要素及自由度振动系统力学模型的三要素及自由度 弹簧、质量、阻尼弹簧、质量、阻尼、自由度、自由度1 1弹簧弹簧 系统线性化后，振动体受到的弹性力与其系统线性化后，振动体受到的弹性力与其位移的一次方成正比，这就是说，若某振动位移的一次方成正比，这就是说，若某振动体一端受一个作用力体一端受一个作用力F，则它的另一端必有一，则它的另一端必有一个大小与个大小与F相等，方向与之相反的力作用。力相等，方向与之

16、相反的力作用。力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比的大小与弹簧两端点的相对位移成正比 FKx2 2质量质量 这是表示力和加速度关系的元件。在力学模型这是表示力和加速度关系的元件。在力学模型中，它被抽象为绝对不变形的刚体。中，它被抽象为绝对不变形的刚体。Fma JM 3 3阻尼阻尼l工程实际中的阻尼种类很多，在振动、冲击和噪声领域涉工程实际中的阻尼种类很多，在振动、冲击和噪声领域涉及到的主要有：粘性阻尼及到的主要有：粘性阻尼(线性阻尼线性阻尼)、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼(库仑库仑阻尼阻尼)、结构阻尼、结构阻尼(材料内阻，也称滞延阻尼材料内阻，也称滞延阻尼)。l（1 1）粘性阻尼）粘性阻尼 粘性阻尼

17、是一种最具代表性的理想阻尼粘性阻尼是一种最具代表性的理想阻尼形式，在系统线性化的假设前提下，粘性阻尼力与速度成形式，在系统线性化的假设前提下，粘性阻尼力与速度成正比，而方向与速度相反，即正比，而方向与速度相反，即 Fcv （2）干摩擦阻尼干摩擦阻尼 又称库仑阻尼，根据库仑定又称库仑阻尼，根据库仑定律，两干燥物体接触面间的摩擦力为律，两干燥物体接触面间的摩擦力为NF （3）结构阻尼 结构阻尼是由于材料的内摩擦而产生，故又称内摩擦阻尼，简称内阻。由材料力学的知识知道，当我们对一种材料加载到超过其弹性极限，然后卸载，并继续往反方向加载，再卸载。在这样一个循环过程中，其应力应变曲线会形成一个滞后回线，

18、如图39所示，滞后回线所包围的面积表示了材料在一个循环过程中释放的能量，这部分能量将以热能的形式逸散出去。结构材料实际上不是完全弹性体，在振动过程中，也就是处在加载和卸载过程中，每个振动周期引起一次滞后回线。大量试验表明，每一循环由结构阻尼所引起的能量损失在很大一个频率范围内与频率无关，且其值为式中 b材料内阻尼系数，又称滞迟系数。K与材料尺寸、形状和特性有关的修正系数；A 振动振幅；n 振动振幅的指数。neKbAW (4)等效粘性阻尼 由于粘性阻尼力与速度成线性关系，而使其在处理振动问题时比较方便，因此，当振动系统中存在非粘性阻尼(如摩擦阻尼、结构阻尼等)时，我们通常用一个等效粘性阻尼Ce来

19、进行近似计算。将非粘性阻尼简化为粘性阻尼的等效原则，是使得一个周期内两者所消耗的能量相等。即使 WeWr设简谐振动表达式为则等效粘性阻尼力为 而等效粘性阻尼在一个简谐振动周期内所作的功为由WeWr可得，等效粘性阻尼系数为)sin(tAx)cos(tACxCFeer202220d)(cosdACttACtxFWeTeTrr2AWCee 干摩擦阻尼的等效粘性阻尼 干摩擦力F 一般可近似认为是一个常力。它在整个强迫振动过程中大小不变，但方向始终与运动方向相反。即在每1/4个周期内，摩擦力作功为FA，而在一个整周期内作功总和为 We4FA将其代入式 ，即可求得干摩擦阻尼的等效阻尼系数为2AWCeeAF

20、Ce4 流体阻尼的等效粘性阻尼 当物体以较高的速度在粘性较小的流体(包括空气、液体)中运动时，物体所受的阻力与速度的平方成正比，即有可得流体阻尼在一个整周期内所作的功为其等效粘性阻尼系数为2xcFr232223233334/04/038)sin(32)(cos4d)(cos4d4d4cAttcAttcAtxctxFWTTre38AcCe 结构阻尼的等效粘性阻尼 由式和式得结构阻尼的等效粘性阻尼系数为neKbAW2AWCee2neKbAC 经过这种等效化以后，振动系统的运动微分方程中的阻尼项在各种阻尼情况下都为线性关系。4.4.自由度自由度 一个自由质点在空间的位置可以用三个直角坐标一个自由质点

21、在空间的位置可以用三个直角坐标来确定，故空间一自由质点的自由度数为来确定，故空间一自由质点的自由度数为3 3；一个自由刚体在空间的位置可以用其上某点的三一个自由刚体在空间的位置可以用其上某点的三个直角坐标及绕三个坐标轴的转角来确定，空间一个直角坐标及绕三个坐标轴的转角来确定，空间一自由刚体的自由度数为自由刚体的自由度数为6 6；一个机械系统被离散化以后，其各集中质量的位一个机械系统被离散化以后，其各集中质量的位置可用某几个独立的坐标来确定，这几个独立坐标置可用某几个独立的坐标来确定，这几个独立坐标称为广义坐标。而决定该系统位置的独立广义坐标称为广义坐标。而决定该系统位置的独立广义坐标的数目称为

22、自由度数。的数目称为自由度数。对于离散化的集中参数系统，其自由度数目是有对于离散化的集中参数系统，其自由度数目是有限的，这种系统的运动状态需用常微分方程来描限的，这种系统的运动状态需用常微分方程来描述，述，常微分方程常微分方程的数目应等于系统的自由度数。的数目应等于系统的自由度数。第三节第三节 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 自由振动自由振动：就是指系统在初始干扰的作用后，仅靠弹性恢：就是指系统在初始干扰的作用后，仅靠弹性恢复力来维持的振动形式。其中，系统中不存在阻尼的叫无阻复力来维持的振动形式。其中，系统中不存在阻尼的叫无阻尼自由振动，而有阻尼的则称之为有阻尼的自由振动。尼自由

23、振动，而有阻尼的则称之为有阻尼的自由振动。一单自由度系统的无阻尼自由振动一单自由度系统的无阻尼自由振动 1 1直线振动直线振动 单自由度系统的无阻尼自由振动的力学模型可用弹簧质单自由度系统的无阻尼自由振动的力学模型可用弹簧质量系统来描述。量系统来描述。一单自由度系统的无阻尼自由振动一单自由度系统的无阻尼自由振动 1直线振动直线振动 单自由度系统的无阻尼自由振动的力学单自由度系统的无阻尼自由振动的力学模型模型可用弹簧可用弹簧-质量系统来描述。由静平衡质量系统来描述。由静平衡条件可得条件可得 stKmg取取x轴向下为正，则由牛顿第二定律可得轴向下为正，则由牛顿第二定律可得 ()stmxKxmgKx

24、 即即 0mxKx单自由度无阻尼自由直线振动的微分单自由度无阻尼自由直线振动的微分方程式。方程式。2nKm令令则可得单自由度系统的无阻尼自由振动微分方程则可得单自由度系统的无阻尼自由振动微分方程的标准形式，即的标准形式，即 20nxxsin()nxAt此即单自由度系统在无阻尼情况下的自由响应的一此即单自由度系统在无阻尼情况下的自由响应的一般形式。般形式。0Kxxm0mxKx设初始条件为：设初始条件为：0t 时，时，0 xx0 xx代入上式，可解得代入上式，可解得 22002nxAx00arctannxx结论：结论：(1)(1)单自由度系统的无阻尼自由振动是一简谐振动，其振动单自由度系统的无阻尼

25、自由振动是一简谐振动，其振动频率只取决于系统本身的结构特性，而与初始条件无关，频率只取决于系统本身的结构特性，而与初始条件无关，称为称为固有频率固有频率，而振动的振幅值和初相位与初始条件有，而振动的振幅值和初相位与初始条件有关；关；(2)(2)常力只改变系统的静平衡位置，而不影响系统的固有频常力只改变系统的静平衡位置，而不影响系统的固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动。因此，在分率、振幅和初相位，即不影响系统的振动。因此，在分析振动问题时，只要以静平衡位置作为坐标原点就可以析振动问题时，只要以静平衡位置作为坐标原点就可以不考虑常力，这一点对于建立系统的运动微分方程有帮不考虑常力，这一点对

26、于建立系统的运动微分方程有帮助助。2/mKfmKnn2 2扭转振动扭转振动 工程上还有一种需要用角位移工程上还有一种需要用角位移作为广义坐标来表达的作为广义坐标来表达的振动形式，即振动形式，即扭转振动扭转振动，又称，又称角振动角振动。图。图3-113-11所示圆盘直所示圆盘直杆系统即为扭转振动的力学模型。杆系统即为扭转振动的力学模型。现取现取为广义坐标，逆时针方为广义坐标，逆时针方向为正，则通过受力分析，可以建向为正，则通过受力分析，可以建立起系统的扭转振动微分方程为立起系统的扭转振动微分方程为 tJK 即即 0tJK 令令 2tnKJ则有则有 20n 设初始条件为：设初始条件为：0t 时，时

27、，代入上式，可解得代入上式，可解得 0022002nA00arctann)sin(tAn3 3系统固有频率的求解系统固有频率的求解 固有频率是自由振动系统的一个重要特征参量，固有频率是自由振动系统的一个重要特征参量，求解系统固有频率常用方法：求解系统固有频率常用方法：(1)(1)能量法能量法 当系统只受保守力当系统只受保守力(如重力、弹性力等如重力、弹性力等)作用而作用而没有阻尼时，则系统在整个运动过程中将没有能量的损耗没有阻尼时，则系统在整个运动过程中将没有能量的损耗而保持机械能守恒，即有而保持机械能守恒，即有 TV 常数即即对于简谐振动，可以选取两个特殊的瞬时位置，即可选当对于简谐振动，可

28、以选取两个特殊的瞬时位置，即可选当质点正通过静平衡点时为第一瞬时位置，此时速度最大，质点正通过静平衡点时为第一瞬时位置，此时速度最大，即动能最大，而把其势能定义为零，即即动能最大，而把其势能定义为零，即有有 ；把质点到达最大位移时作为第二瞬时位置，此时，系统的把质点到达最大位移时作为第二瞬时位置，此时，系统的势能最大，而速度为零，即动能为零，此时势能最大，而速度为零，即动能为零，此时有有 。1max1,0TTV22max0,TVV由此可得由此可得 maxmaxTV例：例：图图3-12所示为测量低频振幅用的传感所示为测量低频振幅用的传感器中的一个元件器中的一个元件无定向摆的示意图。无无定向摆的示

29、意图。无定向摆的摆轮上铰接一摇杆，摇杆的另一定向摆的摆轮上铰接一摇杆，摇杆的另一端有一敏感质量端有一敏感质量m。在摇杆离转动轴。在摇杆离转动轴O距离距离为为a的某个位置，左右各联结一刚度为的某个位置，左右各联结一刚度为K的的平衡弹簧，以保持摆在垂直方向的稳定位平衡弹簧，以保持摆在垂直方向的稳定位置。置。设已知整个系统对转动轴设已知整个系统对转动轴O的转动惯量为的转动惯量为 3201.76 10 kg.mJ0.0354,30/,am KN m0.856,0.04WN lm试求该系统的固有频率。试求该系统的固有频率。解：取摇杆偏离静平衡位置的角位移解：取摇杆偏离静平衡位置的角位移为广义坐为广义坐标

30、，并设标，并设 sin()nAtcos()nnAt则则 maxnA由此得由此得 在摇杆摆过静平衡位置时，系统的动能最大，为在摇杆摆过静平衡位置时，系统的动能最大，为 Amax当摇杆摆到最大角位移时，系统的势能最大，为当摇杆摆到最大角位移时，系统的势能最大，为 22maxmaxmax222maxmax22222212(1 cos)2121212VKamglKamglKa AmglAKa AWlA由由 maxmaxTV，得，得 2222201122nJ AKa AWlA即即 202nKaWlJ20120.77Hz2nKaWlfJ(2)静变形法静变形法 在某些实际问题中，当不能直接给出其系统的弹性刚

31、度K时，采用静变形法来计算系统的固有频率是比较方便的。由式mgKststmgKmKn2ststngmmgmKstngstnngf212例 设一不计自重的悬臂梁，在自由端有一集中质量m，抗弯刚度未知，试求这个系统的固有频率。解 设测得悬臂梁在自由端质量块m处的静位 移为st，则可得该系统的固有频率为stngf21(3)瑞利法瑞利法 假设系统中弹簧的质量可以忽略不计，这种简化在许多实际问题中可能已经足够准确，但当弹簧本身的质量占有系统总质量的相当比重而不能忽略时，仍采用前面的方法来计算固有频率，就会使计算值偏高。在这种弹簧本身质量不可忽略的情况下，为了得出更精确的计算结果，就要采用瑞利法计算。它运

32、用能量原理，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统振动频率的影响考虑进去，得出更精确的固有频率值。应用瑞利法时，必须先假定一个系统的振动形式，并且固有频率的计算结果准确程度取决于这个假定的振动形式与系统的实际振动形式的接近程度。假定的振动形式越准确，则计算结果就越精确。实践证明，以静变形作为假定的振动形式，所得近似解与准确解比较，一般来说误差是很小的。例 设有如图所示的弹簧质量系统，弹簧的刚度为K，静长度为l，单位长度的质量为，质量块m在光滑平面上作水平往复运动，求该系统的固有频率。解 因为弹簧的质量不可忽略，故可用瑞利法来求解。为此，假定弹簧各截面在振动过程中，任

33、一瞬时的位移和一根等直杆在一端固定另一端受轴向静载荷作用下各截面的位移一样。根据材料力学，这时各截面的轴向位移与它离固定端的距离成正比，设弹簧在联结质量块的一端位移为x，则距固定端处的位移为x/l。设弹簧在联结质量块的一端位移为x，则距固定端处的位移为x/l，因此，当质量m在某一瞬时的速度为 时，弹簧在处的微段d的相应速度为 ，则该微段d的动能为 ，所以，整个弹簧的动能为：x lx/d212lx 2220321321d21xmxllxTls 于是整个系统的总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时，系统动能最大，为系统的势能仍和忽略弹簧质量时的一样，最大势能为由Tma

34、xVmax，得对于简谐振动，有代入上式，得2max2max2maxmax32132121xmmxmxmT2maxmax21KxV2max2max21321KxxmmnAxAxmaxmax，22221321KAAmmn 考虑弹簧质量时，系统的固有频率为3mmKn二、单自由度系统的有阻尼自由振动二、单自由度系统的有阻尼自由振动 工程实际中的阻尼有各种来源，但在线性工程实际中的阻尼有各种来源，但在线性化的假设条件下，都可认为阻尼力的大小与化的假设条件下，都可认为阻尼力的大小与物体的运动速度成正比，即为线性阻尼。这物体的运动速度成正比，即为线性阻尼。这样，有阻尼的单自由度振动系统便可用以下样，有阻尼的

35、单自由度振动系统便可用以下的力学模型来进行描述，即弹簧质量阻的力学模型来进行描述，即弹簧质量阻尼系统。尼系统。与无阻尼自由振动一与无阻尼自由振动一样，仍取质量块样，仍取质量块m的的上下运动轨迹为广义上下运动轨迹为广义坐标方向，并取向下坐标方向，并取向下为正，广义坐标原点为正，广义坐标原点取在静平衡位置，则取在静平衡位置，则由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得()stmxmgcxK x将将 代入，并整理可得代入，并整理可得stmgK0mxcxKx此即为单自由度系统有阻尼自由振动的运动微分方此即为单自由度系统有阻尼自由振动的运动微分方程。程。2cnm2nKm令令 可将上式化为如下的标准形式可将上式

36、化为如下的标准形式 220nxnxx由微分方程解的理论，可设其解为由微分方程解的理论，可设其解为 stxe代入上式得其特征方程为代入上式得其特征方程为 2220nsns其特征根为其特征根为 221,2nsnn 当当 时，得原方程时，得原方程()的通解为的通解为 12ss当当 ，即特征方程有重根时，原方程式，即特征方程有重根时，原方程式()的的通解为通解为12ss12()ntxeCC t 引入一个无量纲量引入一个无量纲量 ，称为，称为相对阻尼系数或阻尼比相对阻尼系数或阻尼比，即即nn当当 ，即，即 ，根式，根式 为实数，为实数，称为称为强阻尼强阻尼状态；状态；nn122nn当当 ，即，即 ，根式

37、，根式 为虚数，为虚数，称为称为弱阻尼弱阻尼状态；状态；nn122nn当当 ，即，即 ，根式，根式 为零数，为零数，称为称为临界阻尼临界阻尼状态；状态；nn122nn1 1、弱阻尼状态、弱阻尼状态(1)(1)弱阻尼状态下的振动响应弱阻尼状态下的振动响应 此时此时 或或 ，利用欧拉，利用欧拉(Euler)(Euler)公式公式nn122222222cossinnnntjn tnneen tjn t可将式可将式 改写为改写为 22221222221222()(cossin)sin()nnjn tjn tntntnnntnxeC eC eebn tbn tAen t式中式中 A，待定常数，由初始条件

38、决定。待定常数，由初始条件决定。设初始条件为：设初始条件为：0t 时，时，0 xx0 xx代入上式，可得代入上式，可得 0sinxA由此可以解得由此可以解得 22000arctannxnxnx2220200202nxxxnxAnnl由上式可知，系统的振动已不再是等幅的简谐振动，而是由上式可知，系统的振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅按振幅按 规律衰减振动，当规律衰减振动，当t时，时，x0，振动最，振动最终将消失，终将消失，n衰减系数，衰减系数，n越大，表示阻尼越大，振幅越大，表示阻尼越大，振幅l衰减得越快。图衰减得越快。图3-17是这种衰减振动的响应曲线。是这种衰减振动的响应曲线。ntAeA

39、=1 n=1 n=4 =0-0.4-0.200.20.40.60.805101520t/sx(t)A=1 n=0.1 n=4 =0-1-0.500.511.505101520t/sx(t)(2)振动特性讨论 阻尼系统的振动名义周期略为增大。阻尼系统的振动名义周期略为增大。衰减振动的圆频率为衰减振动的圆频率为 22dnnn衰减振动的周期为衰减振动的周期为 2222222221211111dnndnnnnTTTnn 阻尼使系统振动的振幅按几何级数衰减。阻尼使系统振动的振幅按几何级数衰减。相邻两个振幅之比为相邻两个振幅之比为 1dnTiiAeA式中式中减幅系数。减幅系数。工程上，为应用方便起见，常用

40、对数减幅系数工程上，为应用方便起见，常用对数减幅系数代替减幅系数代替减幅系数，即，即lndnT2 2、强阻尼状态、强阻尼状态当当 ，即，即 ，根式，根式 为实根，为实根，原微分方程的通解为原微分方程的通解为 nn122nn2222()()12nnnntnntxC eC e 其中的两个指数函数的指数均为负数，系统不再具其中的两个指数函数的指数均为负数，系统不再具有振动特性，其位移按指数规律衰减。当有振动特性，其位移按指数规律衰减。当|C1|C2|，C10，C20时，运动的时历曲线如时，运动的时历曲线如图图3-18所示，即所示，即强阻尼可以抑制振动的发生。强阻尼可以抑制振动的发生。图图3-18 3

41、-18 强阻尼状态下的响应曲线强阻尼状态下的响应曲线 C1=5 C2=3 n=5 n=4 2222()()12nnnntnntxC eC e-4-3-2-1012345600.511.523、临界阻尼状态在在t=0时时 0 xx0 xx此时此时 ，即，即 ，特征方程有两重根，特征方程有两重根 ；原微分方程的通解为；原微分方程的通解为系统也不具有振动特性。系统也不具有振动特性。nn112ssn 的初始条件下，的初始条件下，系统的响应为系统的响应为12()ntxeCC t图图3-19 3-19 临界阻尼状态系统的响应曲线临界阻尼状态系统的响应曲线 -2-1012345670123453020100

42、1020000000 xxxxxx530 xn临界阻尼的条件nnmcn2KmmKmmmncnc2222第四节第四节 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 在工程实际中，还广泛地存在着一种系统在持续外界在工程实际中，还广泛地存在着一种系统在持续外界激振作用下的振动，即强迫振动。强迫振动由于有外激振作用下的振动，即强迫振动。强迫振动由于有外界激振作用不断向系统补充能量，所以，振动可无限界激振作用不断向系统补充能量，所以，振动可无限持续下去而不会消失。持续下去而不会消失。一、系统在简谐激振力作用下的强迫振动一、系统在简谐激振力作用下的强迫振动简谐激振力是一种最简单外部激振形式，也是分析复简谐

43、激振力是一种最简单外部激振形式，也是分析复杂的激振作用下系统的强迫振动的基础。杂的激振作用下系统的强迫振动的基础。1 1计算力学模型及其运动微分方程计算力学模型及其运动微分方程 简谐激振力作用下的单自由度系统的强迫振动力学简谐激振力作用下的单自由度系统的强迫振动力学模型可用图模型可用图3-203-20来描述。来描述。()stmxFmgcxK x因为因为 stmgK0sinFFt所以所以 0sinmxcxKxFt令令 2cnm2nKm0Fhm22sinnxnxxht其解即为单自由度系统在外界简谐激振作用下的其解即为单自由度系统在外界简谐激振作用下的强迫振动。由微分方程解的理论可知，其通解为强迫振

44、动。由微分方程解的理论可知，其通解为 12()()()x tx tx t其中，其中，为微分方程左边对应的齐次微分方程的为微分方程左边对应的齐次微分方程的解，解，即单自由度系统的自由振动响应即单自由度系统的自由振动响应。由上节的分。由上节的分析可知，在弱阻尼情况下为析可知，在弱阻尼情况下为1()x t22sin()ntnxAen t-0.4-0.200.20.40.60.805101520t/sx(t)由于微分方程的非齐次项是一个正弦函数，可知其特解由于微分方程的非齐次项是一个正弦函数，可知其特解 为一同频率的正弦函数，可设为为一同频率的正弦函数，可设为2()x t2()sin()x tBt整理

45、可得整理可得 22(cos)sin()(2sin)cos()0nBBhtnBht由于在任意时刻，上式都应成立，故有由于在任意时刻，上式都应成立，故有 22sinnxnxxht222arctannn所以所以 222222()sin()()4nhx ttn22222()4nhBn222222()sin()()4nhx ttn引进符号引进符号 0002nF mFhBK mK称为静变位；称为静变位；称为频率比；称为频率比；22nncmcK mmK称为阻尼比（相对阻尼系数）称为阻尼比（相对阻尼系数）0002nF mFhBK mK22nncmcK mmK22222()4nhBn222arctannn代入0

46、2222(1)4BB 22arctan1022222()sin()(1)4Bx tt 2 2、振动特性的讨论、振动特性的讨论(1)(1)振动频率振动频率 系统在简谐激振力作用下的强迫振动是与系统在简谐激振力作用下的强迫振动是与激振力同频率的简谐振动；激振力同频率的简谐振动；(2)(2)振幅和相位振幅和相位 强迫振动的振幅强迫振动的振幅B B和相位差和相位差都只取决于都只取决于系统本身的物理性质和激振力的特性，而与初始条件无关，系统本身的物理性质和激振力的特性，而与初始条件无关，初始条件只影响瞬态振动；初始条件只影响瞬态振动；(3)(3)影响强迫振动的振幅的因素影响强迫振动的振幅的因素0Fhm0

47、BFl 激振力幅值的影响激振力幅值的影响 当其他条件不变时，强迫振动的当其他条件不变时，强迫振动的振幅与激振力的幅值成正比，即振幅与激振力的幅值成正比，即 22222()4nhBn 频率比频率比的影响的影响 频率比频率比对振幅的影响关系复杂，对振幅的影响关系复杂，可用振幅频率特性曲线可用振幅频率特性曲线(简称幅频特性曲线简称幅频特性曲线)来描述，来描述，为此，引入一个新的变量为此，引入一个新的变量 222201(1)4BB 称为振幅放大因子。称为振幅放大因子。a a当当 时，时，即此时的振幅，即此时的振幅B B与激振力与激振力幅值作用引起的静变位差不多，这说明激振力变化幅值作用引起的静变位差不

48、多，这说明激振力变化缓慢，动力影响不大；缓慢，动力影响不大；1222201(1)4BB b b当当 时，时，这说明当激振力频率，这说明当激振力频率很高时，系统由于惯性跟不上迅速变化的激很高时，系统由于惯性跟不上迅速变化的激振力，此时振动消失；振力，此时振动消失；0222201(1)4BB c c当当 时，时，这种现象称为共振，由于，这种现象称为共振，由于阻尼较小时对共振频率影响不大，所以一般称阻尼较小时对共振频率影响不大，所以一般称 为共振频率；为共振频率；1 n222201(1)4BB d d当当 时，时，即系统振动的振幅小于静变位，即系统振动的振幅小于静变位，这就是主动隔振的理论基础。这就

49、是主动隔振的理论基础。21222201(1)4BB 阻尼的影响阻尼的影响 由图由图3-213-21可以看出，阻尼对振幅的影响只可以看出，阻尼对振幅的影响只在共振区附近起作用，当在共振区附近起作用，当 时，阻尼时，阻尼比比 越大，共振振幅越小；当偏离共振区较远时，阻尼越大，共振振幅越小；当偏离共振区较远时，阻尼的影响不大。此外，阻尼的存在还使共振峰向左移动，即的影响不大。此外，阻尼的存在还使共振峰向左移动，即最大振幅不是发生在最大振幅不是发生在 处，而是发生在处，而是发生在 的位置。的位置。0.71.2511由由 可得，最大振幅处的频率为可得，最大振幅处的频率为0B最大振幅为最大振幅为 2222

50、2()4nhBn222212maxnnBn2022max122BnnhBn(4)(4)品质因子品质因子 在共振时的放大因子有时在共振时的放大因子有时称为品质因子，以符号称为品质因子，以符号Q表示。表示。222201(1)4BB 12Q22nncmcK mmKcmKQ(5)(5)相频特性相频特性 强迫振动的位移响应落后强迫振动的位移响应落后于激振于激振力力 ，它，它们之间有一个相位差们之间有一个相位差。0sinFFt22arctan12()sin()xtBt 二、旋转偏心质量引起的强迫振动二、旋转偏心质量引起的强迫振动 偏心质量引起的强迫振动，可用如图偏心质量引起的强迫振动，可用如图3-233-